Educación básica - Matemáticas

Tipos de interés Imagínese la siguiente situación: dos personas A y B invierten al mismo tiempo un capital C, y con una misma tasa de interés i . Al cabo de un año, A retira los intereses producidos por el capital y vuelve a dejar el mismo capital invertido. En el segundo año, vuelve a retirar los intereses y a invertir el mismo capital, etc. Cada año retira los intereses producidos por su capital C durante ese año. En cambio, al cabo del primer año, el individuo B no retira el interés, lo invierte junto al capital anterior durante un año más. Y así sucesivamente. En el primer caso, los intereses producidos son siempre por el mismo capital C. En el segundo caso, el capital varía, aumenta. La siguiente tabla resume la situación: Interés simple y compuesto Interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial. En el ejemplo anterior, el interés de la persona A es un interés simple. Interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente (en general, los periodos son anuales) los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho periodo. El interés de la persona B en el ejemplo, es un interés compuesto. Fórmula del interés simple El interés  I   que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo  t, y a la tasa de interés  i :                                                  I = C · i  · t donde  i  está expresado en tanto por uno y  t  en años. Ejercicio: Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Resolución: Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06                                 I = 25 000·0,06·4 = 6 000                      ? = C·i·t El interés es de 6 000 pesos Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. Resolución:                                                                                           ? = C·i·t Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año? Resolución:                                              I = ?·i·t El saldo medio ha sido de 48 500 pesos Un préstamo de 20 000 pesos se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? Resolución: Los intereses han ascendido a:                                 22 400 - 20 000 = 2 400 pesos                                                                                                                     I = C·?·t Aplicando la fórmula I = C · i · t                          La tasa de interés es del 12 %. Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido? Resolución: Aplicando la fórmula I = C · i · t                                 12 000 = 300 000 =: 0,08 · t                                                                                           I = C·i·?                              El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses. Fórmula del interés compuesto Sea  C  un capital invertido durante  n  años a una tasa  i  de interés compuesto por cada año. Durante el primer año el capital  C  produce un interés  I1 = C · i .  El capital final será:                                      C1 = C + Ci = C(1 + i) Después del segundo año, el capital C1 produce un interés I2 = C(1+i )·i = C(i + i 2). El capital final C2 será:                         C2 = C1 + I2 = C (1 + i ) + C (i + i 2) = C (i 2 + 2i  + 1) =                              = C · (1 + i )2 Al cabo de  n  años el capital inicial C, invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final Cn,                                                Cn = C (1 + i )n Puesto que el interés es la diferencia entre el capital final y el inicial: I = Cn - C = C (1 + i )n - C,  y sacando factor común  C:                                            La tasa de interés se obtiene despejando en la fórmula de  Cn:                                                Cn = C (1 + i )n                                                                                                                                                         Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante n años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., sin más que convertir éstos a años: Si los periodos de conversión son semestrales, Si los periodos de conversión son trimestrales, Ejercicio: Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %. Resolución: Aplicando la fórmula Cn = C (1 + i )n                                                                                      ? = C( 1 + i )n C5 = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6 El capital final es de 1 763 194 pesos. Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1 583 945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. Resolución:                                                                                                                                                                                                   Como los intereses se han pagado semestralmente, la fórmula que se ha de aplicar es:                                                                        1 583 945 = C (1 + 0,05)14                       1 583 945 = C · 1,97993160, y despejando C:                                    El capital inicial fue de 800 000 pesos. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1 500 000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2 360 279 pesos. Resolución: Cn = 2 360 279; C = 1 500 000; n = 4                                    2 360 279 = 1 500 000 (1 + i )4                                             1 + i = 1,1199999                                                  i = 1,1199999 - 1 = +0,1199999   0,12 La tasa de interés ha sido del 12 %. ANUALIDAD Las anualidades son pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo (generalmente de un año) que se llaman intervalos de pago. Cuando el pago de la anualidad se efectúa al final del intervalo de pago, se llama anualidad ordinaria; y si se efectúa al principio del intervalo de pago, se llama anualidad anticipada. Anualidad ordinaria En una anualidad ordinaria simple, los pagos se efectúan periódicamente según un cierto intervalo de pago que coincide con los periodos de interés y, además, cada pago se realiza al final del primer intervalo, el segundo al final del segundo intervalo, etc... ¿Cómo calcular el capital, valor final , en que se convierte una anualidad en un cierto periodo de tiempo? Ejercicio: Calcular el valor final de una anualidad ordinaria de 10 000 pesos anuales  durante 4 años al 5 % de interés. Resolución: Como es una anualidad ordinaria, el primer pago se efectuará al final del primer año. Los 10.000 pesos del primer pago estarán invertidas durante 3 años, puesto que la anualidad es de 4 años y ya ha transcurrido uno. Luego el primer pago gana intereses durante 3 años. Al final del plazo de la anualidad, esos 10.000 pesos se habrán convertido en                          10 000 (1 + 0,05)3 = 11 576,25 pesos Por el mismo razonamiento, el segundo pago produce intereses durante dos años, por lo que se convierte en                             10 000 (1 + 0,05)2 = 11 025 pesos El tercer pago produce intereses durante 1 año:                              10 000 (1 + 0,05) = 10 500 pesos Y el último pago coincide con el final del plazo de la anualidad, por lo que no produce ningún interés. Llamando  V  al valor final de la anualidad:                  V = 11 576,25 + 11 025 + 10 500 + 10 000 = 43 101                                           V = 43 101 pesos Se observa que el valor final de la anualidad es la suma de los valores finales de cada uno de los pagos invertidos a interés compuesto hasta el final del plazo de la anualidad. Fórmula del valor final de una anualidad ordinaria Sea  R  el pago periódico de una anualidad ordinaria,  i  la tasa de interés por periodo de interés,  n  el número de intervalos de pago (igual al número de periodos de interés por ser una anualidad ordinaria) y  V  el valor final de dicha anualidad. El primer pago  R  se convertirá en  R (1 + i )n - 1,  puesto que está invertido durante (n - 1) periodos de interés. El segundo pago  R,  se convertirá en  R (1 + i )n - 2 El penúltimo pago se convertirá en  R (1 + i )1 El último pago será  R. El valor final será:                     V = R + R (1 + i ) + R (1 + i )2 + ... + R (1 + i )n - 2 + R (1 + i )n - 1 Como puede observarse, se ha obtenido la suma de  n  términos de una progresión geométrica de razón   (1 + i ) y término inicial,  R. Aplicando la fórmula de la suma de los  n  primeros términos de una progresión                                                                                Ejercicio: ¿En cuánto se convierte una anualidad ordinaria de 5 000 pesos anuales, durante 6 años, al 3 %? Resolución:                                                                                                                                      Al final de cada año se depositan en el banco 150 000 pesos. Si el banco paga el 7 % anual, ¿cuánto dinero habría inmediatamente después del 5.º año? ¿Y después del 8.º? Resolución:                   Al final del 5.º año habría 862 611 pesos. Al final del 8.º año habría 1 538 970 pesos.