Matemáticas - Matrices

 matriz idempotente¹ es una matriz la cual es igual a su cuadrado, es decir:

A es idempotente si A × A = A.²

Si representamos el producto  por , entonces  es idempotente sólo si: .

En general, la idempotencia hace referencia a una operación que, si se repite, produce el mismo resultado que si se llevara a cabo una sola vez. En el caso de la matriz idempotente se cumple que: , lo que es válido, para cualquier valor natural de n(valor entero, no negativo, ni nulo). La ecuación anterior muestra que realizar el producto un número finito de veces produce el mismo resultado que realizarlo una sola vez. Un caso particular de matriz idempotente es una matriz de proyección.

Ejemplos de matrices idempotentes son si la matriz es nula o la matriz unidad: .

Algunas formulas de matrices idempotentes:

Si el determinante está comprendido entre {0 y 1}

Por ejemplo, las siguientes matrices son idempotentes:

Nota: No debe ser necesariamente simétrica.

O sea: la matriz elevada al cuadrado va a ser la misma matriz sin elevarla.

EJEMPLOS

EJEMPLO 23

Dadas las matrices

EJEMPLO 24

Sean  ,           ,           ,        Calcular a.  2(B + C)   y   2B + 2C            b.  A (B + C)   y   AB + AC           c.  BC   y   CB             d.  BD   y   DB

EJEMPLO 25

Sea

EJEMPLO 26

,               por lo tanto   A   es una matriz idempotente.  ,             ,        B   y   C   son matrices idempotentes.  ,                  por lo tanto   D   es nilpotente de índice  3.

EJEMPLO 27

Considere el sistema El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial de la siguiente forma

EJEMPLO 28

Análisis de precios de comestibles. Suponga que uno quiere comparar los costos totales de ciertos comestibles.  La siguiente tabla, puede ser vista como una matriz, da el costo en pesos de una libra de cada uno de los productos en tres supermercados.                     Carne         Pan        Papas     Manzana       Café   Supermercado 1       70              40           13                 30              330 Supermercado 2       85              38           10                 28              310      = A Supermercado 3       75              42           12                 30              325 Si se compran  5  libras de carne,  3  libras de pan,  10  libras de papas,  4  libras de manzana y  2  libras de café, podemos representar las cantidades compradas en la matriz El costo total está dado por el producto vemos que el costo total en el supermercado  1  es de  1380,  en el supermercado  2  de  1371  y en el supermercado  3  de  1391,  como vemos el costo mas económico de los productos se presenta en el supermercado  2.  A pesar de que el problema puede resolverse sin matrices, estos brindan una forma conveniente y resumida de resolver el problema.

EJEMPLO 29

Interés compuesto anualmente. Supongamos que queremos calcular la cantidad de dinero que se tiene al cabo de   n   años si invertimos   $100   a un interés compuesto anual de   5,   6   y   7%.   Si colocamos   P   pesos durante un año a un interés   r,   entonces el valor que se tiene al final del año es Capital final =   El producto da la cantidad que se tiene al invertir   $100   por un año a los intereses de   5,   6   y   7%   respectivamente.  Al final del segundo año, el monto está dado por                                                   En general, el monto al final de   n   años está dado por   .   El proceso de calcular      es un proceso iterativo que puede programarse en un computador.