Matemáticas - Matrices

  SUMA DE MATRICES Y PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

DEFINICIÓN 1.11  Si       y       son matrices, entonces la suma   A + B   se define como la matriz   C   de orden   m x n,   A + B = C,   donde    .

La suma de matrices solo esta definida para matrices del mismo orden  (tienen el mismo número de filas y de colunas).

Ejemplo 20 TEOREMA 1.4  (Propiedades de la suma de matrices)
Sean   A, B y C   matrices de   R_{m x n},   entonces se verifican las siguientes propiedades:

1.                                    Clausurativa.

2.  A + B = B + A                              Conmutativa.

3.  A + (B + C) = (A + B) + C          Asociativa.

4.  A + 0 = 0 + A = A                       Modulativa donde   O   es la matriz nula  (todas sus componentes son cero)

 5.  A + (-A) = 0                                Invertiva donde       - A   es la inversa aditiva de   A.

DEMOSTRACIÓN.

2.  Sea       y    ,   entonces   ,   pero como las matrices son reales se tiene

que       ya que    ,    se cumple porque la suma de reales

cumple la propiedad conmutativa.

5.  Sea       una matriz y definamos la matriz    ,   donde       para    ,  

 ,   luego       para    ,       y por tanto       y a la matriz   B  

se le llama la inversa aditiva de   A   y se denota   - A.

Las demostraciones  1,  3  y  4  se dejan como ejercicio al lector.

DEFINICIÓN 1.12  (Diferencia de Matrices).

Sean   A   y   B   matrices de orden   m x n,   definamos la diferencia    .

En palabras   A   menos   B   es igual a la suma de   A   mas el inverso aditivo de    B.

DEFINICIÓN 1.13  (Producto de un Escalar por una Matriz).

Dada una matriz       y       un escalar   (     un número real)   definimos el producto del escalar       por

la matriz   A   como    _.

Ejemplo 21

TEOREMA 1.5  (Propiedades del producto por un escalar)

Sean   A  y  B   matrices de   R_{m x n}   y       escalares:

1.   

2.       distributiva del producto por un escalar con respecto a la suma de escalares.

3.       distributiva del producto por un escalar con respecto a la suma de matrices.

4.                    Asociatividad del producto por un escalar.

5.                                       Identidad.

DEMOSTRACIÓN.

1.  Sea       y    .

 .   Como       y       son números reales, entonces       son números reales para    ,  

    y por lo tanto   .

3.  Sean       y       matrices de   R_{m x n}    y    .

    por definición de suma de matrices.

                           por definición de producto de un escalar por una matriz.

                           propiedad distributiva del producto en los reales con respecto a la suma de reales.

                          Definición de suma de matrices.

                           Definición del producto de un escalar por una matriz.

Las demostraciones de las propiedades  2, 4 y 5  quedan como ejercicio.

DEFINICIÓN 1.14  (Matriz Traspuesta).

La traspuesta de una matriz       es la matriz    ,   donde       y    .   Si   A   es una matriz cuadrada, es decir   m = n   puede ocurrir que    .  Una matriz que cumpla que       se llama matriz simétrica.

La diagonal principal de una matriz       es el conjunto ordenado de los componentes       donde    .