AMIGOS PARA SIEMPRE: Matemáticas

matriz involutiva es una matriz cuadrada (tiene igual número de filas que de columnas) que es su propia inversa. Es decir, la multiplicación por la matriz A es una involución si y sólo si A² = I. Esto es simplemente una consecuencia del hecho de que cualquier matriz no singular multiplicada por su inversa es la identidad.

\begin{array}{cc} \mathbf{I}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ; & \mathbf{I}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \mathbf{R}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ; & \mathbf{R}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \\ \mathbf{S}=\begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} ; & \mathbf{S}^{-1}=\begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ \end{array}

Donde

I es una matriz identidad (la cual es involutiva por defecto);

R es una matriz identidad con un par de filas intercambiadas;

S es una matriz diagonal cuyos elementos en su diagonal son ±1.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa, es decir vale la relación A^T = -A.

Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas) :

A = \left [ \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right ]

es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y

a_{ji} = -a_{ij}

para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia,

a_{ii} = 0

para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

A = \left [ \begin{array}{ccccc} 0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ -a_{12} & 0 & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & \cdots & a_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ -a_{1n} & -a_{2n} & -a_{3n} &\cdots& 0\\ \end{array} \right ]

Ejemplo

La matriz

A = \left [ \begin{array}{rrr} {0} & {-2} & {4}\\ {2} & {0} & {2}\\ {-4} & {-2}&{0}\\ \end{array} \right ]

es antisimétrica, ya que

A^T = \left [ \begin{array}{rrr} {0} & {2} & {-4}\\ {-2} & {0} & {-2}\\ {4} & {2}&{0}\\ \end{array} \right ] =-A

La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto. Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimétrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.

Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre será 0.

Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica

Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:

A = \frac{1}{2}\left(A+A^T\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)

donde la parte antisimétrica es

\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)

matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices

A

B

, donde

A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 2 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}

Entonces la matriz aumentada

(A|B)

se representa de la siguiente manera:

(A|B)= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

Sea

C

una matriz cuadrada de dimensiones 2x2 donde

C = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 0 \end{bmatrix}

Para encontrar la inversa de

C

, se crea

(C|I)

, donde

I

es la matriz identidad de dimensiones 2x2. A continuación se transforma en la matriz identidad la parte de

(C|I)

correspondiente a

C

, usando únicamente transformaciones de matriz elementales en

(C|I)

(C|I) = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 0\\ -5 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

(I|C^{-1}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \end{bmatrix}

En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Dado el conjunto de ecuaciones:

\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\ 3x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 2 \\ 6x_1 + 5x_2 + 9x_3 = 11 \end{cases}

la matriz aumentada estaría formada por:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 7 \\ 6 & 5 & 9 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 11 \end{bmatrix}

dando como resultado final:

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 7 & 2 \\ 6 & 5 & 9 & 11 \end{bmatrix}

matriz banda cuando es una matriz donde los valores no nulos son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una banda de valores no nulos que completan la diagonal principal de la matriz y más diagonales en cada uno de sus costados.

Escrito formalmente, una matriz n×n A=(a_i,j ) es una matriz banda si todos sus elementos son cero fuera de una zona diagonal cuyo rango se determina por las constantes k₁ y k₂:

a_{i,j}=0 \quad\mbox{si}\quad j<i-k_1 \quad\mbox{ o }\quad j>i+k_2; \quad k_1, k_2 \ge 0.\,

Los valores k₁ y k₂ son el semiancho de banda izquierdo y derecho respectivamente. El ancho de banda de una matriz es k₁ + k₂ + 1, y se puede definir como el número menor de diagonales adyacentes con valores no nulos.

Una matriz banda con k₁ = k₂ = 0 es una matriz diagonal

Una matriz banda con k₁ = k₂ = 1 es una matriz tridiagonal; cuando k₁ = k₂ = 2 se tiene una matriz pentadiagonal y así sucesivamente.

Una matriz banda con k₁ = k₂ = p, dependiendo del número p, se le puede llamar matriz p-banda, formalmente se puede definir como

a_{i,j}=0 \quad\mbox{si}\quad |i - j| > p \quad; \quad p \ge 0.\,

Una matriz con k₁ = 0, k₂ = n−1, se obtiene la definición de una matriz triangular inferior. De forma similar, para k₁ = n−1, k₂ = 0 , se obtiene la definición de una matriz triangular superior.

banda de almacenamiento

Una m -by- n matriz de bandacon kl subdiagonales y ku superdiagonals se pueden almacenar de forma compacta en una matriz bidimensional con kl + ku +1 filas y n columnas. Columnas de la matriz se almacenan en columnas correspondientes de la matriz, y diagonales de la matriz se almacenan en hileras de la matriz. Este esquema de almacenamiento se debe utilizar en la práctica sólo si , a pesar de rutinas LAPACK funcionan correctamente para todos los valores de KL y ku . En LAPACK, matrices que mantenga las matrices de almacenamiento en banda tienen nombres que terminan en `B '. $Kl, ku \ ll \ min (m, n)$
Para ser precisos, un _ij se almacena en AB ( ku +1+ i - j , j ) para . Por ejemplo, cuando m = n = 5 , kl = 2 y ku = 1 : $\ Max (1, j-ku) \ leq i \ leq \ min (m, j + kl)$

Banda de matriz A	almacenamiento de banda en serie AB
$\ Left (\ begin {array} {ccccc} a_ {11} y A_ {12} & & & \\ a_ {21} y A_ {22} y A_ {23} ... {43} ..._ y a_ {44} y A_ {45} \\ & & a_ {53} y A_ {54} y A_ {55} \ end {array} \ right)$	$\ Begin {array} {ccccc} \ ast y a_ {12} y A_ {23} y A_ {34} y A_ {45} \\ a_ {11} y un _... ... a_ {43} & a_ {54} & \ ast \\ a_ {31} y A_ {42} y A_ {53} & \ ast & \ ast \ end {array}$

Los elementos marcados $\ Ast$ en la parte superior izquierda e inferior derecha de la matriz AB No es necesario establecer, y no son referenciados por las rutinas LAPACK.
Nota: cuando una matriz de banda se suministra para la LU factorización, el espaciodebe ser permitido para almacenar un adicional kl superdiagonals, generados por relleno como resultado de intercambios de fila. Esto significa que la matriz se almacena de acuerdo con el esquema anterior, pero con kl + ku superdiagonals.
Matrices banda triangular se almacenan en el mismo formato, ya sea con kl = 0 si triangular superior, o ku = 0 si triangular inferior.
Para matrices de banda simétricos o hermitianos con kd subdiagonales o superdiagonals, sólo el triángulo superior o inferior (según lo especificado por Uplo) necesitan ser almacenados:

si Uplo = `T ', una _ij se almacena en AB ( kd +1+ i - j , j ) para ; $\ Max (1, j-k) \ leq i \ leq j$
si Uplo = `L ', una _ij se almacena en AB ( 1+ i - j , j ) para . $J \ leq i \ leq \ min (n, j + k)$

Por ejemplo, cuando n = 5 y kd = 2 :

Uplo	Hermitiana banda matriz A	almacenamiento de banda en serie AB
`U '	$\ Left (\ begin {array} {ccccc} a_ {11} y A_ {12} y A_ {13} & & \\ \ bar {a} _ {12} & a ... _... 44} & a_ {45} \\ & & \ bar {a} _ {35} y \ bar {a} _ {45} y A_ {55} \ end {array} \ right)$	$\ Begin {array} {ccccc} \ ast & \ ast y a_ {13} y A_ {24} y A_ {35} \\ \ ast y a_ {12} ... ... 3 y a_ {34} y a_ {45} \\ a_ {11} y A_ {22} y A_ {33} y A_ {44} y A_ {55} \ end {array}$
`L '	$\ Left (\ begin {array} {ccccc} a_ {11} y \ bar {a} _ {21} y \ bar {a} _ {31} & & \\ a_ {21 ... ... y a_ {44} y \ bar {a} _ {54} \\ & & a_ {53} y A_ {54} y A_ {55} \ end {array} \ right)$	$\ Begin {array} {ccccc} a_ {11} y A_ {22} y A_ {33} y A_ {44} y A_ {55} \\ a_ {21} y un ... ... a_ {43 } y A_ {54} & \ ast \\ a_ {31} y A_ {42} y A_ {53} & \ ast & \ ast \ end {array}$