miércoles, 3 de febrero de 2016

Figuras geométricas epónimas


bruja de Agnesi (pronunciado 'añesi'), también llamada la Hechicera de Agnesi o la Bruja de Maria Agnesi (nombrada así por Maria Agnesi), o simplemente la curva de Agnesi 1 es la curva definida por lo siguiente:
Bruja de Agnesi.gif
Generación de la curva.
A partir de una circunferencia, y un punto cualquiera O de la circunferencia, siendo T el punto diametralmente opuesto a O. Para cualquier otro punto A de la circunferencia, la prolongación de la línea secante OA corta a la perpendicular a OT que pasa por T en B. La línea paralela a OT que pasa por B, y la línea perpendicular a OTque pasa por A se cortan en P. Tomando como variable el punto A se define que la curva de los puntos P es el de bruja.
La asíntota de esta curva es la línea tangente a la circunferencia que pasa por el punto O.

Historia

Esta curva fue estudiada por Pierre de Fermat en 1630, Guido Grandi en 1703, y por Maria Gaetana Agnesi en 1748.
Grandi llamó a la curva versoria, del latín vertere, que significa virar, girar, y versiera en italiano es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. María Gaetana Agnesi escribió a su vez la versiera, añadiendo el artículo femenino la la versiera di Agnesi que significa la curva de Agnesi.
Los principios de esta curva fueron traducidos al inglés por el profesor de la Universidad de Cambridge, John Colson, con poco conocimiento del italiano, comol'avversiera di Agnesi, debido a que confundió versiera con avversiera (que en italiano significa 'diablesa', 'demonia'). Se tradujo como witch, "mujer contraria a Dios", esto es, "bruja", y el error de la traducción al inglés permanece hasta nuestros días. Este término se sigue usando en inglés y en las lenguas que copiaron el nombre de ese idioma, incluido el español. En otros idiomas se habla de loci (en latín, 'lugares' geométricos, curvas) de Agnesi. En italiano se denomina versiera.2 3

Ecuaciones

La curva Bruja de Agnesi, puede representarse analíticamente como función en el plano xy, tanto en su forma cartesiana y= f(x), como paramétricamente.

Ecuación cartesiana

Tomando el punto O como origen de coordenada, y que T en el lado positivo del eje y, y tomando como radio de la circunferencia el valor a.
Versiera006.svg
Según la figura tenemos las siguientes ecuaciones, por la definición de tangente en el triángulo OAErectángulo en E y el triángulo OBD rectángulo en D, Semejantes entre sí:
\tan \alpha = \cfrac{\overline{AE}}{\overline{EO}} = \cfrac{\overline{BD}}{\overline{DO}}
En el triángulo ACF rectángulo en F, y por el teorema de Pitágoras, tenemos que
{(\overline{AC})}^2 = {(\overline{AF})}^2 + {(\overline{CF})}^2
Podemos ver también las siguientes igualdades:
\left \{ \begin{array}{rcl} \overline{CO} & = & \overline{CF} + \overline{FO} \\ \overline{FO} & = & \overline{AE} \\ \overline{BD} & = & 2 \cdot \overline{CO} \\ \overline{AF} & = & \overline{EO} \\ \overline{AC} & = & \overline{CO} = a \\ \overline{AE} & = & \overline{PD} = y \\ \overline{DO} & = & x \\ \end{array} \right .
Que se puede resumir en las relaciones:
\left \{ \begin{array}{l} \tan \alpha = \cfrac{y}{\overline{EO}} = \cfrac {2a}{x} \\ \left . \begin{array}{l} a^2 = {(\overline{EO})}^2 + {(\overline{CF})}^2 \\ a = \overline{CF} + y \end{array} \right \} \rightarrow {(\overline{EO})}^2 = y \; (2a-y) \end{array} \right .
Partiendo de las ecuaciones deducimos:
\left . \begin{array}{l} \cfrac{y}{\overline{EO}} = \cfrac {2a}{x} \\ {(\overline{EO})}^2 = y \; (2a-y) \end{array} \right \} \rightarrow \cfrac{y}{ \sqrt{y \; (2a-y)}} = \cfrac {2a}{x}
Elevando la ecuación al cuadrado tenemos:
\cfrac{y^2}{y \; (2a-y)} = \cfrac {4a^2}{x^2} \rightarrow \cfrac {y}{2a-y} = \cfrac {4a^2}{x^2} \rightarrow \cfrac {2a-y}{y} = \cfrac {x^2}{4a^2} \rightarrow \cfrac {2a}{y} -1 = \cfrac {x^2}{4a^2}
Operando con la expresión tendremos que:
\cfrac {2a}{y} = \cfrac {x^2}{4a^2} + 1 \rightarrow \cfrac {2a}{y} = \cfrac {x^2}{4a^2} + \cfrac {4a^2}{4a^2} \rightarrow \cfrac {2a}{y} = \cfrac {x^2 + 4a^2}{4a^2}
Que invirtiendo la fracción y simplificando dará como resultado:
\cfrac {y}{2a} = \cfrac {4a^2}{x^2 + 4a^2} \rightarrow y = \cfrac {8a^3}{x^2 + 4a^2}
Entonces la curva tiene por ecuación cartesiana:
y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}
Nota: si tomamos a a=1/2, entonces la ecuación toma una forma muy sencilla:
y = \frac{1}{x^2+1}.

Ecuación paramétrica

Paramétricamente, si  \alpha \,  es el ángulo entre OD y OB, o lo que es lo mismo entre OE y OA, medido en sentido trigonométrico, entonces la curva se define por las ecuaciones:
Partiendo, al igual que en la ecuación cartesiana, de:
\left \{ \begin{array}{l} \tan \alpha = \cfrac{y}{\overline{EO}} = \cfrac {2a}{x} \\ {(\overline{EO})}^2 = y \; (2a-y) \end{array} \right .
Primero despejaremos la x respecto de  \alpha \, :
\tan \alpha = \cfrac {2a}{x}
Con lo que fácilmente se puede ver, que:
x = \cfrac {2a}{\tan \alpha} = 2a\cot \alpha
Ahora despejaremos la y respecto de  \alpha \, , partiendo de:
\left . \begin{array}{l} \tan \alpha = \cfrac{y}{\overline{EO}} \\ {(\overline{EO})}^2 = y \; (2a-y) \end{array} \right \} \rightarrow \tan \alpha = \cfrac{y}{ \sqrt{y \; (2a-y)}}
Sabiendo que:
\tan \alpha = \cfrac{ \sin \alpha}{\cos \alpha}
Tendremos:
\cfrac{ \sin \alpha}{\cos \alpha} = \cfrac{y}{ \sqrt{y \; (2a-y)}}
Elevando esta expresión al cuadrado, tendremos:
\cfrac{ \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} =\cfrac{y^2}{ y \; (2a-y)} \rightarrow \cfrac{ \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} =\cfrac{y}{2a-y} \rightarrow \cfrac{\cos^2 \alpha}{ \sin^2 \alpha} = \cfrac{2a-y}{y} \rightarrow \cfrac{\cos^2 \alpha}{ \sin^2 \alpha} = \cfrac{2a}{y} - 1
Operando con la expresión:
\cfrac{2a}{y} = \cfrac{\cos^2 \alpha}{ \sin^2 \alpha} + 1 \rightarrow \cfrac{2a}{y} = \cfrac{\cos^2 \alpha}{ \sin^2 \alpha} + \cfrac{ \sin^2 \alpha}{ \sin^2 \alpha} \rightarrow \cfrac{2a}{y} = \cfrac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{ \sin^2 \alpha}
Sabiendo que:
1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \,
Tendremos:
\cfrac{2a}{y} = \cfrac{1}{ \sin^2 \alpha} \rightarrow \cfrac{y}{2a} = \sin^2 \alpha \rightarrow y = 2a \sin^2 \alpha
x = 2a \cot \alpha \,
y = 2a \sin^2 \alpha \,
Estas ecuaciones dependen del ángulo  \alpha \,  y de la correspondiente función trigonométrica, veamos un forma paramétrica más sencilla eliminando las funciones trigonométricas.
Partimos de las ecuaciones:
x = \cfrac {2a}{\tan \alpha}
y = 2a \sin^2 \alpha \,
y sabemos que:
\tan \alpha = \cfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
haciendo el inverso:
\cfrac{1}{\tan \alpha} = \cfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
por la relación del coseno respecto al seno:
\cfrac{1}{\tan \alpha} = \cfrac{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha}
aplicando la raíz al denominador:
\cfrac{1}{\tan \alpha} = \sqrt{\cfrac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}
operando la fracción:
\cfrac{1}{\tan \alpha} = \sqrt{\cfrac{1}{\sin^2 \alpha} - 1}
si llamamos t a:
t = \cfrac{1}{\tan \alpha}
tendremos que:
t = \sqrt{\cfrac{1}{\sin^2 \alpha} - 1}
eliminando la raíz:
t^2 = \cfrac{1}{\sin^2 \alpha} - 1
operando:
t^2 + 1 = \cfrac{1}{\sin^2 \alpha}
lo que resulta:
\sin^2 \alpha = \cfrac{1}{t^2 + 1}
Con estos resultados y las ecuaciones originales, tenemos:
\left . \begin{array}{l} x = \cfrac {2a}{\tan \alpha} \\ \\ y = 2a \sin^2 \alpha \\ \cfrac{1}{\tan \alpha} = t \\ \sin^2 \alpha = \cfrac{1}{t^2 + 1} \end{array} \right \} \longrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x = {2a}t \\ y = \cfrac{2a}{t^2 + 1} \end{array} \right .
Con lo que tenemos las ecuaciones paramétricas:
x = {2a}t \,
y = \cfrac{2a}{t^2 + 1} \,
Donde t es un parámetro real, el signo de t es el mismo que el de x, así si t es negativo x será negativo, y si t es positivo x será también positivo. Independientemente del valor de t, y siempre tomara valores positivos, para t igual a cero, x valdrá cero é y valdrá 2a.
Cuando t tiende a infinito, x también tiende a infinito é y se hace cero.

Representación gráfica

La curva Bruja de Agnesi, definida por la función:
y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}
en el plano cartesiano xy, y donde el parámetro a es el radio de la circunferencia. También puede representarse según el parámetro d, diámetro de la circunferencia, donde d= 2a:
y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2} \rightarrow \quad y = \frac{2^3 a^3}{x^2+2^2 a^2} \rightarrow \quad y = \frac{(2a)^3}{x^2+(2a)^2} \rightarrow \quad y = \frac{d^3}{x^2+d^2}
Estas dos expresiones son equivalentes, siendo la expresada según el diámetro d, más sencilla al carecer de coeficientes, las dos se pueden ver al consultar bibliografía y tiene por representación gráfica:
Versiera015.svg

Estudio de la función.

Para estudiar la función de la curva Bruja de Agnesi, tomaremos su expresión cartesiana explícita:
y = \frac{d^3}{x^2+d^2}
donde d es el diámetro de la circunferencia. Pudiéndose ver las siguientes propiedades:
  • Está definida para todos los valores de x reales:
\forall x \in \mathbb{R} : \quad \exists y \in \mathbb{R} \quad / \quad y = \frac{d^3}{x^2+d^2}
\forall x \in \mathbb{R} : \quad f(x) = f(-x) \,
esto es:
f(-x) = \frac{d^3}{(-x)^2+d^2} = \frac{d^3}{x^2+d^2} = f(x)
cuando x tiende a infinito la función se hace cero:
\underset {x \to +\infty} {L \acute{\imath}m} \; \frac{d^3}{x^2+d^2} = 0
y cuando x tiende a menos infinito también se hace cero:
\underset {x \to -\infty} {L \acute{\imath}m} \; \frac{d^3}{x^2+d^2} = 0

Derivada primera de la función

Partiendo de la función, calculamos su derivada:
\cfrac{dy}{dx} \; \frac{d^3}{x^2+d^2} = \cfrac{-2 d^3 x}{(x^2 + d^2)^2}
Esta derivada solo vale cero cuando x vale cero, por lo tanto puede presentar un extremo relativo para x = 0.

Derivada segunda de la función

Derivando nuevamente tendremos la segunda derivada de la función:
\cfrac{d^2y}{dx^2} \; \frac{d^3}{x^2+d^2} = \cfrac{dy}{dx} \; \cfrac{-2 d^3 x}{(x^2 + d^2)^2} = \cfrac{2 d^3(3x^2 - d^2)}{(x^2 + d^2)^3}
La segunda derivada valdrá cero cuando:
3x^2 - d^2 = 0 \;
Esto es:
3x^2 = d^2 \;
despejando la x, tenemos:
x^2 = \frac{d^2}{3} \;
Lo que resulta:
x =\pm \frac{d}{\sqrt{3}} \;
Para los valores:
x = \frac{d}{\sqrt{3}} \quad x = - \frac{d}{\sqrt{3}}
La función presenta puntos de inflexión.
Versiera018.svg

Si llámanos:
x_1 = \frac{d}{\sqrt{3}}
Podemos ver que en el intervalo:  ( -\infty , -x_1) \;  la función es convexa, en el intervalo  ( -x_1 , x_1) \;  es cóncava y en  ( x_1 , \infty) \;  convexa, los puntos  -x_1 , x_1 \;  son puntos de inflexión y para  x = 0 \;  presenta un máximo.

Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión son
B, C (\pm\frac{d}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{4})
, la inclinación de la curva en estos puntos es
tg\phi = \mp\frac{3\sqrt{3}}{8}
4

Propiedades

  • La zona comprendida entre la bruja y su asíntota es cuatro veces el área del círculo (es decir, 4 \pi a^2 \, )
  • El centroide de la curva se encuentra en (  0, \frac {a} {2} ).

Aplicaciones

La bruja de Agnesi encuentra aplicación en la descripción física de los fenómenos de resonancia, por ejemplo, un átomo afectado por una radiación monocromática, emite radiación cuya intensidad depende de la frecuencia de la radiación emitida, y la relación entre los dos radiaciones viene dada por la bruja de Agnesi, con el máximo en la longitud de onda de luz incidente.
En Estadística, la distribución de Cauchy de una variable aleatoria se expresa por una bruja de Agnesi.

María Gaetana Agnesi (Milán, 16 de mayo de 1718 – Milán, 9 de enero de 1799) destacó en varias disciplinas, como la lingüística, filosofía y matemática. En 1748 publicó Instituzioni analítiche ad uso della gioventù italiana, tratado al que se atribuye haber sido el primer libro de texto, que trató conjuntamente el cálculo diferencial y el cálculo integral. Esta obra gozó de notable éxito y fu traducida al inglés y francés. Es entonces cuando su nombre quedó inmortalizado para siempre en los tratados de Geometría.
La “bruja de Agnesi” se trata de una curva que Fermat había estudiado en 1703, y para la que Grandi, en 1718, había dado un método de construcción. Lo de “bruja” fue un error de traducción. Grandi llamó a la curva versoria en latín, y versiera en italiano. Es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. María Gaetana Agnesi escribió a su vez la versiera, añadiendo el artículo femenino. John Colson, un traductor de Cambridge con poco conocimiento del italiano, llama a la curva witch (‘bruja’), debido a que “confundió” versiera conavversiera (que en italiano significa diablesa o bruja.
El método de construcción de la curva es sencillo; para obtener un punto cualquiera de la curva:
  • Trácese una circunferencia, con centro en el punto (0, a/2)
  • Desde el origen, (0, 0), trácense rectas que crucen con la recta y=a (recta OA en la figura, en la que a=10)
  • El punto P de la “bruja” será aquel en que se crucen las rectas BP (horizontal que pasa por el corte entre OA y la circunferencia) y AP (vertical que pasa por el corte entre OA y la recta y=a).
Con un poco de geometría se demuestra que la ecuación de la “bruja de Agnesi” es:
y=\frac{a^3}{x^2+a^2}
Y las ecuaciones paramétricas son:
\begin{Bmatrix}x=at\\y=\frac{a}{1+t^2}\end{Bmatrix}
Agnesi, en su tratado, no presenta ecuaciones paramétricas, pese a que el tratamiento hubiera sido más sencillo, a través de  x=a \cot\theta  y  y=a \sin^2\theta

Curva de Agnesi ("Curva de la Bruja")


¿Qué propiedades posee esta curva?

Tanto a la izquierda como a la derecha se va acercando al eje OX, pero no llega nunca a tocarlo. Es decir, el eje OX es una asíntota horizontal de la curva.
Siendo una curva infinita, si se calcula su área mediante integración, obtenemos que el área que encierra la curva con el eje OX es π.

La curva de Agnesi es esencial en la integración de funciones racionales y se usó para calcular cifras decimales de π.

Su expresión analítica es f(x)=a³/(x²+a²).

Tres aspectos más a destacar a partir de su gráfica:

M es el punto máximo
A y B son los puntos de inflexión
Tiene asíntota horizontal en y=0
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