curva de Lévy C es un fractal autosimilar. Descrita por primera vez por Ernesto Cesàro en 1906¹y G. Farber en 1910,² hoy lleva el nombre del matemático francés Paul Pierre Lévy quien, en 1938, fue el primero en exhibir sus propiedades de autosimilaridad y proveer una construcción geométrica.

Curva de Lévy C

Construcción

Primeras ocho etapas en la construcción, sistema de Lindenmayer.

Sistema-L

Utilizando un sistema de Lindenmayer, la construcción de la curva de Lévy C parte de un segmento de recta, este segmento se toma por la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, y se reemplaza por los dos catetos de dicho triángulo. De este modo, en esta etapa la curva consiste únicamente de dos segmentos de recta perpendiculares.
En la etapa siguiente, los dos segmentos son tomados como las hipotenusas de dos triángulos rectángulos isósceles, y se les reemplaza por los dos catetos correspondientes, y así sucesivamente.
Después de n etapas, la curva consistirá de 2ⁿ segmentos de recta, cada uno de longitud 2^n/2 con respecto al segmento de partida.
El sistema de Lindenmayer asociado puede describirse entonces del siguiente modo:

Variables:	`F`
Constantes:	`+ −`
Inicio:	`F`
Reglas:	`F → +F−−F+`

donde "F" significa "avanza recto", "+" significa "gira a la derecha 45°", y "−" significa "gira a la izquierda 45°". En el límite, el resultado de este proceso infinito es el fractal conocido como curva de Lévy C, dado su parecido con la letra C.

Variantes

Es posible construir variantes de esta curva utilizando ángulos diferentes de 45°, siempre y cuando sean menores a 60°.

Curva de Lévy C generada por IFS

Sistema IFS

La construcción de la curva de Lévy por medio de un sistema de funciones iteradas se basa en un conjunto de dosaplicaciones contractivas lineales de factor 1/√2. La primera introduce una rotación de 45°, y la segunda una rotación de -45°.

Propiedades

La dimensión de Hausdorff de la curva es igual a 2 (contiene conjuntos abiertos).
Su frontera tiene una dimensión estimada de 1.934007183Weisstein, Eric W. «LevyFractal». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research..
Es un teselado del plano.⁴
Es un caso particular de la curva de De Rham.

GENERACION DE LA CURVA DE LEVY

Existen diferentes formas de escribir programas para generar curvas fractales; sin embargo a continuación describiremos un algoritmo de generación en el cuál dada una forma base (figura geométrica original) y un motivo (transformación), obtenemos diferentes aproximaciones a fractales geométricos; al realizar P transformaciones sobre la figura geométrica original.

Por ejemplo, para obtener la curva de Levy Fig.1 tomamos, como forma base un segmento líneal FIG.2; sobre esta figura se aplicarán Ptransformaciones establecidas por el motivo FIG.3.

Para la curva C ó curva de Levy la forma base estará definida por los puntos U(U_x,U_y) y V(V_x,V_y), puntos extremos del segmento lineal. Si P=1 el motivo tendrá por efecto dividir al segmento lineal, en dos segmentos con diferente orientación a la original. En el caso de la curva C los puntos extremos del segmento original, pertenece a la curva transformada; en este caso el motivo actúa de tal forma que es posible imaginarse que la curva ó forma original se comporta como una liga, y por lo tanto la transformación se manifiesta en que el punto medio se baja o se sube t unidades. El motivo siempre se define sobre el segmento lineal unitario RS (R(0,0), S(1,0)), para el caso de la curva de Levy el motivo estará especificado por las coordenadas del punto T(0.5,t) Fig.3. El valor de 0.5 corresponde a que la tranformación actúa sobre el punto medio de un segmento lineal de la forma base, moviéndolo t unidades hacia arriba o hacia abajo3.

En la FIG.4 se puede apreciar el efecto de una sola transformación (P=1) establecida por el motivo sobre la forma base fig.2; mientras que en laFIG.5 se observa la transformación de la figura original para el caso en que el orden es 2. La fig.1 se obtuvo para el caso en que P=12; esto es, se realizaron 12 transformaciones para la obtención de esta aproximación de fractal.

Este ejemplo de generación de fractal para la curva de Levy, puede también aplicarse en la creación de otros fractales; partiéndo de distintas formas base y diversos motivos, a continuación describimos matemáticamente un algoritmo para la generación aproximada de fractales.

curva de Peano, nombre en honor al matemático italiano Giuseppe Peano, es un tipo de curva continua que "recubre" todo el plano (específicamente, la curva es un conjunto denso del plano). Este tipo de curvas se obtienen mediante una sucesión de curvas continuas sin intersecciones que convergen a una curva límite. La curva límite de o curva de Peano de hecho es un objeto fractal interesante, ya que aunque su dimensión topológica es 1 su dimensión fractalde Hausdorff-Besicovitch es 2.

Técnicamente la curva de Peano es el límite de una sucesión de curvas con las siguientes propiedades:

Cada una de las curvas es continua y la sucesión converge uniformemente.
Cada función es inyectiva, y es homeomorfa a un intervalo.

Esas dos propiedades implican que la curva límite satisfará las siguientes condiciones:

Será una curva continua.
La curva de Peano es equipotente a la región [0; 1]x[0; 1]; sin embargo la dimensión de la curva peaniana es 1 y del cuadrado es 2.

La construcción puede generalizarse a cualquier dimensión n y pueden construirse curvas (con dimensión topológica 1) pero cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch iguala la del espacio. Esto último implica que la clausura topológica en el espacio euclídeo de dicha curva tiene un volumen n-dimensional diferente de cero.

Curva de Peano.

Curvas de Peano

La curva de Peano es un tipo de curva que rellena un cuadrado de tamaño 1x1 (unidad). La construcción de dicha curva puede realizarse mediante dos métodos distintos:

1. Con el primer método se parte inicialmente de un cuadrado unidad al que se le hacen nueve subdivisiones iguales. Después, se unen los centros de cada subdivisión con una línea de forma que se vayan recorriendo subdivisiones contiguas en todo momento. La figura de abajo indica un ejemplo de recorrido inicial.

Una vez hecho esto, a cada una de las subdivisiones del cuadrado se le aplica el mismo procedimiento que al cuadrado anterior, de modo que se tienen otras nueve subdivisiones por cada subdivisión anterior. El recorrido se hace de forma análoga al anterior (siempre recorriendo subdivisiones contiguas), pero además se deben recorrer primero las nueve subdivisiones de la primera subdivisión del recorrido anterior y continuar por las de la subdivisión siguiente, de este modo:

Así, estas transformaciones se van aplicando sucesivamente para cada una de las subdivisiones obtenidas en cada etapa, de forma que en la etapa n-ésima se obtiene una serie de 9ⁿ subdivisiones recorridas en un orden establecido de forma que recubren sucesivamente las subdivisiones de la etapa anterior.

Con un valor de n suficientemente grande, el área de las subdivisiones hechas tiende a 0, y la curva trazada tiende a ocupar toda la superficie del cuadrado, de modo que se consigue rellenar la superficie. A esta curva se la conoce también como curva de Peano ternaria (por cada cuadrado se obtienen 3x3 subdivisiones).

2. En esta segunda definición se parte de una única línea a la que se le aplica la siguiente transformación:

èèèèè

Ahora, aplicando sucesivamente esta transformación a cada una de las líneas de la figura de la derecha un número n de veces se obtiene el relleno del cuadrado cuyas esquinas opuestas se corresponden con cada uno de los extremos de la recta inicial. Estas imágenes representan distintos pasos de la evolución de la línea:

Esta curva, con esta primera definición, puede representarse como un L-sistema, con un axioma inicial y reglas de producción. Los símbolos usados en su definición tienen la siguiente interpretación gráfica:

· F: dibujar una línea desde una posición inicial determinada a otra final.

· +: rotar la posición un cierto ángulo α en sentido antihorario.

· -: rotar la posición un cierto ángulo α en sentido horario.

Esta es su definición:

Axioma inicial: F

Primer paso: FF+F+F+FF+F+F-F

Segundo paso: FF+F+F+FF+F+F-FFF+F+F+FF+F+F-F+FF+F+F+FF+F+F-F+FF+F+F+FF+F+F-F+FF+F+F+FF+F+F-FFF+F+F+FF+F+F-F+FF+F+F+FF+F+F-F+FF+F+F+FF+F+F-F-FF+F+F+FF+F+F-F

L-sistema: Curva de Peano

Axioma: F

Reglas de producción: F è FF+F+F+FF+F+F-F ; + è + ; - è -

Parámetro α: 90 grados

Las dos definiciones dadas están interrelacionadas, ya que se puede obtener una definición a partir de la otra. Para eso se toma la curva inicial de la primera definición y se hacen las subdivisiones de modo que los recorridos en cada subdivisión sean iguales a como eran en el ejemplo inicial pero estén separados, de este modo: