AMIGOS PARA SIEMPRE: Geometría

En geometría las medianas (en algunos países también llamadas transversales de gravedad^{[cita requerida]}) de un triángulo son, cada uno de los tres segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

Las medianas de un triángulo (líneas rojas) se cortan en el baricentro del mismo.

Propiedades

Las transversales de gravedad de un triángulo (líneas verdes) se cortan en el baricentro (centro de gravedad).

Las medianas tienen las siguientes propiedades:

Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos, de los cuales es un lado común; dichos triángulos, en general, no son congruentes, pero sí de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura) dichas regiones son los dos triángulos ΔABI y ΔACI de igual área.
Una línea isogonal a la mediana respecto a los lados que parten del vértice respectivo se llama simediana y la intersección de las tres simedianas se llama punto simediano, que es punto isogonal del punto mediano o centroide.¹
Las tres medianas se intersecan en un único punto, llamado el baricentro, gravicentro ^{[cita requerida]}, o centroide, punto mediano² marcado con G en la figura.
Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados $a, b, c$ , medianas $m_a, m_b, m_c$ y perímetro $p$ , se cumple la siguiente desigualdad:³

$\frac{3}{4}p< \left( m_a+m_b+m_c\right)<\frac{3}{2}p$

Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados $a, b, c$ y medianas $m_a, m_b, m_c$ , $pr_a$ la proyección de $m_a$ sobre a, los elementos indicados verifican las siguientes ecuaciones:³

m_a^2+m_b^2+m_c^2\;=\;\tfrac{1}{4}\;(a^2+b^2+c^2).

b^2+c^2 = 2m_a^2+\frac{a^2}{2}

m_a= \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}

2apr_a = b^2-c^2

⁴

Relación con el centro de gravedad

Cada una de las tres medianas de un triángulo pasa por el centroide del mismo, el cual es coincidente con el centro de gravedad de un objeto con forma de triángulo (si éste es de densidad uniforme). Así, dicho objeto estaría en equilibrio en cualquier transversal de gravedad (línea que pase a través del centro de gravedad ), Las medianas son solo tres transversales de gravedad, del grupo infinito de transversales de gravedad del triángulo.

Experimental

Si recortamos una región triangular de cartón homogéneo ( en especial de espesor uniforme), y la apoyamos sobre la punta del dedo índice, comúnmente, el cartón caerá, aunque se mantendrá estable si y solo si el punto de apoyo coincide con el baricentro.⁵

Además, si se suspenden tres tubos fluorescentes en triángulo, con cables de peso despreciable, de un punto S, la vertical del punto S cortará el plano del triángulo de los tubos, por el baricentro de dicho triángulo.⁶

Teorema de la mediana

fig. m1: Esquema con áreas → (

{\scriptstyle{ \color{Red} a^2}\;+\;{ \color{Orange} b^2 }\; =\; { \color{Blue} \frac{1}{2}\;c^2 }\;+\;{ \color{OliveGreen} 2\;M^2 }}

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)

Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual a la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.

Apolonio de Perga

Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP =PB = ½ c, entonces :

$a^2+b^2=\frac{1}{2}\;c^2 + 2\;M^2$

Medianas (fórmulas de aplicación práctica)

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo). Éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

M_a=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-a^2}

M_b=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-b^2}

M_c=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-c^2}

a=\sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-4 M_a^2}

b=\sqrt{\frac{a^2}{2}-c^2+2 M_a^2}

c=\sqrt{\frac{a^2}{2}-b^2+2 M_a^2}

a=\sqrt{\frac{b^2}{2}-c^2+2 M_b^2}

b=\sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-4 M_b^2}

c=\sqrt{-a^2+\frac{b^2}{2}+2 M_b^2}

a=\sqrt{-b^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}

b=\sqrt{-a^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}

c=\sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-4 M_c^2}

( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: M_a, M_b y M_c )⁷ — ( Semilados: m_a=n_a = ½ a , m_b=n_b = ½ b y m_c=n_c = ½ c ).

En el triángulo isósceles

m_a = h_a = b_A = \frac{1}{2}\sqrt{4b^2 - a^2}

;

m_b = m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + b^2}

⁸

En el triángulo rectángulo

m_a = \frac{a}{2}

m_b = \frac{1}{2}\sqrt{4a^2 - 3b^2} =\frac{1}{2}\sqrt{a^2 +3c^2}= \frac{1}{2}\sqrt{b^2 +4c^2}

m_c = \frac{1}{2}\sqrt{4a^2 - 3c^2} =\frac{1}{2}\sqrt{a^2 +3b^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4b^2 +c^2}

⁹ ¹⁰

Triángulo mediano

Se conoce con el nombre de triángulo mediano respecto a otro triángulo al que tiene como vértices los puntos medios de un triángulo cualquiera dado.

Proposiciones

Los lados de un triángulo mediano son las bases medias de un triángulo dado.
El baricentro de un triángulo coincide con el baricentro del triángulo mediano.
El área de un triángulo mediano es 1/4 del área del triángulo original.
Un triángulo mediano es semejante al triángulo inicial¹¹
En cualquier triángulo isósceles la mediana correspondiente a la base es a la vez altura y bisectriz y es parte de la línea mediatriz de tal base.¹²

Mediana de un trapecio

En cualquier trapecio, se llama mediana al segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Recibe también el nombre de paralela media.¹³

La mediana del trapecio es paralela a las bases e igual a la semisuma de las mismas.

La Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

El punto de corte de las tres medianas se llama baricentro.

Ejercicio

Hallar las ecuaciones de las medianas y el baricentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

Ecuación de la mediana que pasa por A y el punto medio de BC

En primer lugar hallamos el punto medio de Bc

Calculamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Ecuación de la mediana que pasa por B y el punto medio de AC

Ecuación de la mediana que pasa por C y el punto medio de AB

Baricentro

ortocentro (símbolo H) al punto donde se cortan las tres alturas de untriángulo.

El nombre deriva del término griego orto, que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.¹

El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si éste es acutángulo; coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla en el exterior del triángulo si es obtusángulo.

El triángulo abc es el triángulo órtico del triángulo ABC.

Dado un triángulo cualquiera (excluyendo un triángulo rectángulo), el 'triángulo órtico o triángulo pedal respecto del dado, es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de éste, es decir, las proyecciones de los vértices sobre los lados.*El ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico (como se observa en la figura).

El ortocentro es el incentro del triángulo órtico (como se observa en la figura).

Las alturas de un triángulo son las bisectrices de los ángulos del triángulo pedal.²

En el caso de un triángulo rectángulo, las alturas de los ángulos agudos tienen como un pie común: el vértice del ángulo recto, que con el pie sobre la hipotenusa, a lo más, forman un segmento, en este caso no hay triángulo pedal.

Construir el ortocentro de un triángulo

Construimos un triángulo cualquiera ABC.
Trazamos las alturas de los vértices. Para ello trazamos rectas perpendiculares a los lados del triángulo y que pasen por el vértice opuesto al lado. El ortocentro es el punto D.

Notar que el ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo.

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lunes, 22 de febrero de 2016

Geometría - Triángulos