Geometría - Triángulos

La paralela media es un concepto geométrico que se deriva de la noción de triángulos semejantes.

Si se considera en el interior de un triángulo un segmento de manera que cada uno de sus extremos sea un punto de un lado de ese triángulo y además ese segmento es paralelo al tercer lado, ese segmento será uno de los lados de otro triángulo que será semejante al primero.

Si además cada extremo de ese segmento es el punto medio de un lado del primer triángulo, ese segmento medirá exactamente la mitad del tercer lado de ese primer triángulo, que es aquel lado del que es paralelo.

En algunos países (por ej: Chile) a la paralela media se le llama mediana, mientras que el concepto de mediana se llama allítransversal de gravedad.

Paralela media, en general es la recta que es paralela a otras y a la mitad de la distancia que las separa. En los polígonos, la paralela media, es la recta paralela a la base y que pasa por el punto medio de la altura. La paralela media corta a los lados en sus puntos medios, de ahí que a veces se defina como la recta que une los puntos medios de los lados. Se utiliza sobre todo en triángulos y trapecios para definir áreas; así el área de un triángulo es igual a S = pm·h, donde pm es la longitud de la paralela media y h la altura, siendo la paralela media igual a la mitad de la base, pm = b/2; o para un trapecio S = pm·h, siendo la paralela media igual a la semisuma de las bases, pm = (B+b)/2. La paralela media en un triángulo es igual a la mitad del valor de la base respecto de la que se hace. En los paralelogramos la paralela media es igual a la base respecto de la que se hace. En los rectángulos y cuadrados todas las paralelas medias son perpendiculares entre sí. En el cuadrado y el rombo todas las paralelas medias son iguales. En los trapecios la paralela media es igual a la semisuma de las dos bases que son paralelas. En los trapecios isósceles las paralelas medias son perpendiculares entre sí. En los trapezoides bisósceles las paralelas medias son todas iguales. A laparalela media también se la denomina segmento medio o base media.

Una Red de Triángulos Irregulares (TIN) es una representación de superficies continuas derivada de una estructura de datos espacial generada a partir de procesos de triangulación. Una malla TIN conecta una serie de puntos a través de una red de triángulos irregulares cuyos vértices se corresponden con dichos puntos, los cuales tienen las coordenadas x, y y z de donde se localizan. La teselaciónresultantes configuran el modelo de superficie.

Malla irregular de triángulos modelizando una superficie convexa.

la red de triángulos irregulares
	El modelo TIN tiene varias cualidades de interés: no presupone ni exige la continuidad estadística de la superficie a representar puede generarse incorporando una amplia variedad de estructuras auxiliares se adapta a la complejidad del terreno, variando la densidad local de la red respeta los valores de los datos que son usados como vértices
	La creación de un TIN se compone de dos partes diferentes: la triangulación propiamente dicha la selección de los puntos a usar
	La triangulación es un tópico bien conocido utilizado en numerosas aplicaciones como robótica, análisis de elementos finitos, visión artificial y síntesis de imágenes (Cignoni et al., 1994:2).En el caso de los SIG el método más habitual es el conocido como triangulación de Delaunay, TD: dados 2 puntos Pi y Pj, en un plano T, la perpendicular al segmento Pi Pj en su punto medio divide el plano en dos regiones Vi y Vj la región Vi contiene todos y sólo los puntos cuya distancia a Pi es menor que a Pj y viceversa el concepto se extiende a múltiples puntos Pn de forma que cada uno de ellos se asocia a una región Vn si el concepto se aplica a un dominio cerrado se genera un conjunto de polígonos convexos que teselan el plano denominados regiones de Voronoi si se conectan entre sí los puntos que comparten un borde de una región se obtiene una triangulación de Delaunay
	La forma más trivial de construir un TIN es usar todos los vértices y nodos de las curvas de nivel, así como los puntos singulares como vértices de triángulos. Este modelo masivo no es deseable: por la enorme cantidad de elementos que sería necesario construir y manejar para una zona de cierta extensión. por la redundancia debida a que muchos puntos procedentes de una digitalización rutinaria no aportan una información significativa.
	Formalmente, el problema puede plantearse como sigue: dado un conjunto H de n puntos acotados, elegir un subconjunto mínimo S de H constituido por m puntos, a partir del cual pueda reconstruirse H con el menor error posible.
	Los dos enfoques básicos son: Hacer la selección antes de la triangulación y realizar posteriormente un modelo masivo. La estrategia es suministrar al algoritmo de TD los puntos básicos ya elegidos mediante la adecuada generalización cartográfica de las curvas de nivel y una selección de puntos críticos. Utilizar un algoritmo de TD que realice la selección según realiza la construcción de la red.
	Los métodos de construcción de TIN más utilizados pueden agruparse en las siguientes clases: inserción incremental, que comienza con una triangulación mínima y a la que se añaden progresiva y selectivamente nuevos puntos como vértices de la red. reducción selectiva, por eliminación de puntos a partir de un modelo masivo mediante criterios de incremento mínimo del error.
	La transformación vector-raster
	Los modelos basados en triángulos generan una estructura más difícil de manejar que la matriz regular.Por este motivo, lo más usual es crear un MDE según el modelo TIN y, posteriormente, generar un MDE matricial convencional. Aunque la estructura matricial no puede representar puntos singulares ni estructuras lineales como el TIN, el proceso aprovecha parcialmente la capacidad del TIN para integrar discontinuidades en la generación del MDE por lo que es preferible a la generación directa de la matriz regular a partir de los datos de entrada. La interpolación puede realizarse por dos métodos básicos: interpolación lineal, donde la altitud del punto problema se estima directamente a partir la ecuación del plano definido por los tres vértices del triángulo que lo contiene interpolación quíntica, que considera la superficie definida por el TIN como un continuo y, por tanto, suaviza las zonas de los vértices y lados; para esta interpolación se utiliza una ecuación polinómica bivariable de quinto grado.