Geometría - Triángulos

El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental la cual es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.

En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto.

O lo que es equivalente:

Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción:

Demostración 1

Figura bz1 Demostración del teorema de la bisectriz aplicando la «Ley de senos».

Nomenclatura (correspondiente a la Figura bz1):

Aplicando el teorema del seno al triángulo  tenemos:

(bz01)

Los ángulos “y” y “π-y” son suplementarios, lo cual implica que , entonces aplicando ahora el teorema del seno al triángulo  tenemos:

(bz02)

Dividiendo m.a.m. la ecuación (bz01) por la ecuación (bz02) y simplificando obtenemos: , ∎.¹

Demostración 2

Dibujando desde C una línea paralela a la recta AD hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A y encontrándose en el punto E. El triángulo ACE es isósceles porque sus ángulos C y E son congruentes:

porque los dos ángulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AD y EC cortadas por la recta transversal AC

porque son correspondientes a las rectas paralelas AD y EC a las cuales corta la recta BE, además

porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.

Por la propiedad transitiva de la igualdad se tiene que

Por tanto los segmentos AC y AE son congruentes. Por el Teorema de Thales se mantiene la proporción:

y ya que AC y AE son congruentes, también se cumple que

Demostración 3

El triángulo  y el triángulo  comparten altura h, y si (ABD) y (ACD) representan sus respectivas áreas, se cumple que:

Sean F y G los pies de altura de los triángulos ABD y ACD en AB y AC respectivamente. EL ángulo BAD es congruente con el ángulo CAD, por ser AD bisectriz.

Los ángulos AFD y AGD son iguales a π/2 rad (90°) y congruentes entre sí, por ser los pies de las alturas.

Por lo tanto, los ángulos ADF y ADG son congruentes. Entonces el triángulo  y el triángulo  son congruentes, por el criterio ángulo–lago–ángulo (ALA), pues además comparten el lado AD.

Con lo que se obtiene que:

Pero DF y DG son las alturas de los triángulos  y  respectivamente. Por lo tanto la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases:

Por transitividad con lo establecido anteriormente, se tiene que:

Demostración 4

Sean los ángulos:

Entonces:

Considerando el triángulo ABD, por el Teorema del seno se obtiene que: 

Considerando el triángulo ACD se obtiene que: 

Pero se conoce la siguiente identidad: 

Entonces la ecuación queda: 

Dividiendo las dos igualdades se obtiene: 

Simplificando: 

Sea ABC un triángulo cualquiera y l la bisectriz interior al ángulo A. Si ésta corta al lado opuesto BC en D, entonces:

ACCD=ABBD$$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD}$$

Demostración(es)

Demostración: 

Con geometría analítica

Elección de los ejes y asignación de los datos iniciales

Tomemos la bisectriz como el eje x$x$ y al vértice A$A$ como origen.
Supongamos que las coordenadas de C$C$ son (m,c)$(m,c)$ y las de D$D$ son (d,0)$(d,0)$.
Entonces la pendiente de AC$AC$ es c/m$c/m$ y la de AB$AB$ es −c/m$-c/m$.
De aquí que la ecuación de AB$AB$ es −c/m=y/x$-c/m=y/x$.

Plan

Lo que sigue es obtener las coordenadas de B$B$, como la intersección de las rectas AB$AB$ y CD$CD$. Con eso ya tendríamos las coordenadas de los 4 puntos de interés, y ya podríamos aplicar la fórmula de la distancia para demostrar lo pedido.

Desarrollo del plan

Puesto que la ecuación de CD$CD$ es c/(m−d)=y/(x−d)$c/(m-d)=y/(x-d)$, las coordenadas de B$B$ resultan de resolver la ecuación

(x−d)c/(m−d)=−cx/m$$(x-d)c/(m-d)=-cx/m$$

.
De aquí resulta x=md/(2m−d)$x=md/(2m-d)$, y en consecuencia y=−cd/(2m−d)$y=-cd/(2m-d)$. En resumen,

B=(md/(2m−d),−cd/(2m−d))$$B=(md/(2m-d),-cd/(2m-d))$$

.
Ahora sólo falta calcular las longitudes BD,DC,AB$BD,DC,AB$ y AC$AC$ (y comprobar que se cumple lo pedido):
BD2=[d2(d−m)2+c2d2]/[(2m−d)2)]$B{D}^2=[d^2(d-m{)}^2+c^2{d}^2]/[(2m-d{)}^2)]$
DC2=(d−m)2+c2$D{C}^2=(d-m{)}^2+c^2$
AB2=m2+c2$A{B}^2=m^2+c^2$
AC2=[m2d2+c2d2]/(2m−d)2$A{C}^2=[m^2{d}^2+c^2{d}^2]/(2m-d{)}^2$
Se deja al lector la comprobación de BD/DC=d/(2m−d)=AB/AC$BD/DC=d/(2m-d)=AB/AC$.

Nota: el lector debe notar que, en el cálculo de las ecuaciones de rectas, basta con igualar pendientes (con los dos puntos y con uno de ellos y un punto genérico); otra recomendación simplificadora es aplicar la fórmula de distancia sin la raíz cuadrada (i.e., calcular la distancia al cuadrado), y si después se necesita obtener la raíz pues se calcula…

Comentario metódico

Como el lector podrá ver, la demostración de teoremas de geometría usando geometría analítica requiere de tres pasos:

1) elección de los ejes (el paso crítico, pues depende de ello que los cálculos sean más o menos complejos),

2) la aplicación de la herramienta algebraica (la cual, sin embargo, requiere de un plan), y

3) la interpretación de los resultados.

Aparte de eso, el cognizador debería tener mucho cuidado en las manipulaciones algebraicas pues, como se sabe, el álgebra es muy sensible a los errores.

Demostración sintética

La bisectriz AD$AD$ divide al triángulo ABC$ABC$ en otros dos: ABD$ABD$ y ACD$ACD$. La siguiente demostración se basa en el método de áreas y es por ello instructiva:

Respecto a sus bases CD$CD$ y BD$BD$, los dos triángulos ABD$ABD$ y ACD$ACD$ tienen la misma altura, de ahí que la razón de sus áreas sea igual a la razón de sus bases: (ABD)/(ACD)=BD/CD$(ABD)/(ACD)=BD/CD$. Pero calculando su área de otra forma, y tomando en cuenta que el punto D$D$ es equidistante de las bases AB$AB$ y AC$AC$, la razón de sus áreas es AB/AC$AB/AC$. De ahí el resultado.

 Demostración trigonométrica

 

En esta demostración (por ley de los senos) hay que saber que el seno de un ángulo es igual al del ángulo suplementario: siny=sin(π−y)$\sin y=sin(\pi -y)$. 

 

Sea y$y$ el ángulo ∠ADB$\mathrm{\angle }ADB$. Entonces, en el triángulo ABD$ABD$,

BDsinA/2=ABsiny$$\frac{BD}{\sin A/2}=\frac{AB}{\sin y}$$

Y en el triángulo ACD$ACD$,

CDsinA/2=ACsin(π−y)$$\frac{CD}{\sin A/2}=\frac{AC}{\sin (\pi -y)}$$

De aquí que

sinysinA/2=AB/BD=AC/CD$$\frac{\sin y}{\sin A/2}=AB/BD=AC/CD$$

Como se quería.

Prueba trigonométrica con semejanza

 

Desde B$B$ y C$C$ se bajan perpendiculares a la bisectiz del ángulo A$A$. Sean E$E$ y F$F$ los pies de esas perpendiculares.

 

Tenemos entonces los triángulos semejantes BED$BED$ y CFD$CFD$. Por definición del seno de un ángulo y la de bisectriz, sinBAE=BE/AB=CF/AC$\sin BAE=BE/AB=CF/AC$. Es decir, BE/CF=AB/AC$BE/CF=AB/AC$. Pero, por semejanza, BE/CF=BD/DC$BE/CF=BD/DC$. Y el resultado se sigue.