Geometría - Triángulos

El teorema de Ceva es un teorema de geometría elemental.

El teorema establece que dado un triángulo ABC, y los puntos D, E, y F que se encuentran sobre los lados BC, CA, y ABrespectivamente, los segmentos AD, BE y CF son concurrentes si y solo si

donde AF es la distancia entre A y F (la distancia en una dirección sobre una línea es definida como positiva, y en la dirección opuesta es definida como de signo negativo).

El teorema de Ceva, caso 1: las tres líneas son concurrentes en un punto O dentro de ABC.

El teorema de Ceva, caso 2: el punto O se encuentra fuera de ABC.

Enunciado alternativo

Proposición directa

Sean A,B,C vértices de un triángulo cualquiera y los puntos L,M, N en sus respectivos lados opuestos. El teorema de Ceva expresa si las rectas Al, BM y CN pasan por un mismo punto entonces

Proposición recíproca

Si en cada lado de un triángulo se escoge un punto (no coincidente con el vértice) de tal modo que el producto de las razones, en que los puntos señalados dividen los lados del triángulo, sea igual a 1, entonces las rectas que unen los vértices del triángulo y los puntos de lados opuestos pasan por un mismo centro (punto).En forma sucinta si  entonces Al, BM, y CN pasan por el mismo punto. ¹

Existe una forma trigonométrica equivalente del teorema de Ceva, que establece que , AD,BE,CF son concurrentes si y solo si

Teorema de Ceva

Sean X, Y, Z tres puntos cualesquiera de los lados BC, CA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas, término que procede del matemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734).

Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.

El teorema de Ceva afirma:
Si las tres cevianas AX, BY y CZ son concurrentes, entonces

Demostración del teorema

La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CZ se cortan en un punto P. Denotamos por (ABX) el área del triángulo determinado por esos tres puntos.

Entonces


De la misma forma, se obtiene que


Multiplicando,


El recíproco del teorema de Ceva es cierto también. Es decir, se cumple que si

entonces las tres cevianas son concurrentes.


El teorema Ceva, un teorema de concurrencia, tiene un correspondiente teorema de alineación: el teorema de Menelao. Este teorema dice lo siguiente,
        Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que

Demostración del teorema de Ceva: BXXC=área(ABX)área(AXC)=área(PBX)área(PXC)=área(ABX)−área(PBX)área(AXC)−área(PXC)=$\frac{BX}{XC}=\frac{\text{área}(ABX)}{\text{área}(AXC)}=\frac{\text{área}(PBX)}{\text{área}(PXC)}=\frac{\text{área}(ABX)-\text{área}(PBX)}{\text{área}(AXC)-\text{área}(PXC)}=$ =área(ABP)área(CAP)$=\frac{\text{área}(ABP)}{\text{área}(CAP)}$ Analogamente se deduce: CYYA=área(BCP)área(ABP)$\frac{CY}{YA}=\frac{\text{área}(BCP)}{\text{área}(ABP)}$ y AZZB=área(CAP)área(BCP)$\frac{AZ}{ZB}=\frac{\text{área}(CAP)}{\text{área}(BCP)}$ Multiplicando las tres igualdades anteriores se obtiene el resultado deseado. TEOREMA RECÍPROCO: Si tres cevianas de un triángulo ABC cumplen la relación: BXXC×CYYA×AZZB=1$\frac{BX}{XC}\times \frac{CY}{YA}\times \frac{AZ}{ZB}=1$, entonces las tres cevianas son concurrentes. Consideremos las dos primeras cevianas AX y BY y llamemos P a su punto de intersección . Una nueva ceviana determinada por C y pasando por P corta al lado opuesto AB en Z'. Como consecuencia del teorema de Ceva se cumple: BXXC×CYYA×AZ′ZB′=1$\frac{BX}{XC}\times \frac{CY}{YA}\times \frac{A{Z}^{\prime }}{Z{B}^{\prime }}=1$ Como además: BXXC×CYYA×AZZB=1$\frac{BX}{XC}\times \frac{CY}{YA}\times \frac{AZ}{ZB}=1$, resulta que: AZ′Z′B=AZZB$\frac{A{Z}^{\prime }}{Z^{\prime }B}=\frac{AZ}{ZB}$ de lo que se deduce que Z=Z′$Z=Z^{\prime }$ y por tanto las cevianas son concurrentes.