Geometría - Triángulos

En geometría, el teorema de Routh¹ determina la relación de áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por la intersección de tres cevianas (una por cada vértice).

El teorema de Routh permite calcular el área del triángulo ΔGHI (en rojo), formado por las tres cevianas AD, BE y CF.

Nomenclatura

Sea un triángulo cualquiera ΔABC (el exterior, amarillo en el gráfico), en cuyos lados AB, BC y CA se han marcado los puntos F, D y E, siendo estos tres últimos pies cualesquiera de las cevianas AD, BE y CF.

Los puntos I, G y H conforman al triángulo interior ΔIGH (color rojo el en el gráfico). Donde I, G y H son los puntos de intersección de las cevianas (AD con CF), (AD con BE) y (BE con CF).

Denominando a las razones de los respectivos segmentos de cada lado como r, s y t:

Llamando a las áreas de los triángulos ΔABC y ΔIGH respectivamente como A_ABC y A_IGH.

Enunciado del teorema

Con la nomenclatura antes mencionada, el teorema de Routh afirma que el área del triángulo ΔIGH es:

El teorema de Ceva puede ser considerado como un caso especial del teorema de Routh. En el caso especial de que las tres cevianas AD, BE y CF se intersequen en un solo punto, entonces el área del triángulo ΔIGH es 0. Se puede concluir que ( r s t = 1 ), lo cual es justamente el enunciado del teorema de Ceva.

Criterio de Routh-Hurwitz

Dado , donde es la ecuación característica de algún sistema. 

I. Método de Routh

Para que todos los polos estén en el semiplano izquierdo es necesario que

A. Las 

B. Todos los determinantes, , deben ser positivos. Donde se definen de las matrices formadas del siguiente arreglo:

Note que es cero, por tener una fila de cero, y por lo tanto el arreglo acaba con .

Ejemplo 1: Dada la ecuación característica , determinar si el sistema es estable o no. 

Solución:

Primero observamos que los coeficientes de la ecuación característica son todos positivos. Luego, construimos la matriz para determinar los determinantes. 

De aquí caculamos los determinantes:

Esto nos dice que el sistema es inestable. 

(No es necesario calcularlo, por la fila de ceros al final de la matriz.)

I. Método de Routh-Hurwitz

Si las se cumple, entonces el número de polos en el semiplano derecho es igual al número de cambios en signo de los coeficientes de la primera columna del siguiente arreglo: 

donde

,, y así sucesivamente. 

Teorema de división en una fila:

Los coeficientes de cualquier fila se pueden multiplicar o dividir por un número positivo sin alterar los cambios en signo de la primera columna. 

Ejemplo 2: Determinar cuantas raíces tiene el siguiente polinomio en el semiplano derecho:

. 

Solución:

Construyendo la siguiente tabla de Routh-Hurwitz podemos ver que hay dos cambios de signo. Por lo tanto, el polinomio tiene dos raíces en el semiplano derecho.

Casos especiales: 

I. Existe un cero en la primera columna de la tabla de Routh-Hurwitz y un valor diferente de cero en la misma fila. Esto implica que va haber una división por cero, lo cual está indefinido. 

A. Formas de resolver el problema.

Multiplica el polinomio por (s + 1) y utiliza el método de Routh-Hurwitz sobre el polinomio resultante. Note que los cambios en signo no se afectan.

Sustituir s por 1/x y resolver Routh-Hurwtiz para el nuevo polinomio en x. Esto equivale a invertir los coeficientes de ; es decir .

Reemplazar el cero de la primera columna por un número. Es infinitesimalmente positivo, y por lo tanto diferente de cero. Al menos los cambios en signo se preservan. 

II. Resulta una fila de ceros en la tabla de Routh-Hurwitz.

A. Implicaciones

Existe una ecuación auxiliar, , que sale de los coeficientes de la fila anterior.

Las raíces de son también raíces de , y éstas ocurren en pares de singularidad simétrica con el origen. 

Ejemplo 3: Hallar las raices del siguiente polinomio usando Routh-Hurwitz:

 

Solución:

Construyendo la siguiente tabla de Routh-Hurwitz podemos ver que existe una fila de ceros.

De la fila anterior podemos sacar la siguiente ecuación auxiliar:  

De A(s) tenemos que dos raices son  

Ahora dividiendo el polinomio original por A(s) obtenemos la siguiente ecuación:

 

Estudio de la estabilidad. Método de Routh

Aplicando el criterio de estabilidad de Routh, podremos saber si un sistema de regulación es estable sin necesidad de resolver laecuación característica, es decir sin tener que calcular los polos de la ecuación polinómica sea del grado que sea. lo que simplifica significativamente los cálculos, ya que el criterio de estabilidad de Routh indica si hay o no raíces positivas o con parte real positiva en una ecuación, sin tener que resolverla.

Para que un sistema sea estable la ecuación característica debe cumplir las siguientes premisas:

1. El polinomio en s de la ecuación característica, se escribe ordenado.

El polinomio debe ser completo (todos los coeficientes tienen que ser distintos de cero, an ≠ 0)

2. Si alguno de los coeficientes es nulo o negativo y hay coeficientes positivos, el sistema no es estable

3. Si todos los coeficientes son positivos, con ellos se construye la tabla de Routh, como se indica. Debe tener tantas filas como el número de términos del polinomio de la función característica, se colocan en filas y columnas como sigue: Las dos primeras filas se van llenando con los coeficientes de los monomios de la ecuación característica, alternando la primera fila con la segunda, y así sucesivamente, hasta que se terminan los coeficientes.

Para calcular coeficientes de las siguientes filas de la tabla, se sigue la siguiente pauta.

Tabla de Routh

Imagen 06. Elaboración propia

De la misma forma, vamos calculando las restantes filas, c, d, e, f,... Hasta completar la tabla.

4. El sistema será estable si en la primera columna de la tabla de Routh no existen cambios de signo.

La condición necesaria para que todas las raíces tengan parte real negativa es:

• Que el polinomio esté completo en s, es decir, que todas las potencias en s, desde sn a so, deben figurar en la ecuación.
• Si algún coeficiente distinto de an, es cero, o si hay algún coeficiente negativo, hay varias raíces positivas o raíces imaginarias con parte real positiva y el sistema es inestable.