Polinomios

función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = mx + b

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:

f(x) = mx

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f(x) = mx + b

cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto deálgebra lineal.

Función lineal.

Ejemplo

Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

y = mx + b

que se conoce como ecuación de la recta en el plano x, y.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y = 0,5x + 2

en esta recta el parámetro m es igual a ¹/₂ (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en ¹/₂ unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y = 2.

En la ecuación:

y = –x + 5

la pendiente de la recta es el parámetro m = –1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de ydisminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y = 5, dado que el valor de b = 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo θ de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

m = tanθ

Funciones lineales de varias variables

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

f(x, y) = a₁x + a₂y

representa un plano y una función

f(x₁, x₂, ..., x_n) = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n

representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n + 1)-dimensional.

Función lineal

Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición    f: R —> R  /  f(x) = a.x+b  donde a y b son números reales, es una función lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a  a.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,  g: g(x) = -3x+7,   h: h(x) = 4

Definición:  Las funciones lineales son polinomios de primer grado.    ver grafica     ejes

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.

Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7        b(x) = -4x+3     f(x) =  2x + 5 + 7x - 3

De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla,   f(x) =  9x + 2 

Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.

Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos  f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números  reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.

Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"

Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado.  Para graficarla haremos una tabla de valores.

f: R ——> R / f(x) = 2x-6

Le vamos dando valores a "x".   ¿Que valores le podemos dar?  Cualquiera que este dentro del dominio.  

Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6        f(5) = 4

Entonces al 5 le corresponde el 4.   Nuestro punto es el (5,4).  

¿Cómo se coloca en un par de ejes coordenados?       ¿Que tal si repasamos esto?

Y ahora que ya sabemos colocar los puntos, podemos hacer la gráfica de una función lineal. Con el botón "paso a paso" iremos construyendo juntos la gráfica de una recta. Cuando termines,  con el botón "de nuevo" podrás hacer otra gráfica.

f: R —> R  /  f(x) = a.x+b

Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es  proporcional   al incremento de los valores en el codominio, siempre que a  no sea cero.

Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.

Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,  g: g(x) = -3x+7,   h: h(x) = 4

f: f(x) = 2x+5   si x es 3,  entonces f(3) = 2.3+5 = 11

                      si x es 4,  entonces f(4) = 2.4+5 = 13

                      si x es 5,  entonces f(5) = 2.5+5 = 15

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades.

Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g: g(x) = -3x+7  si  x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 =  0+7 = 7

                       si  x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4

                       si  x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.

h: h(x) = 4          si  x= 0   ,  entonces h(0) = 4

                      si  x= 98 , entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x),   NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.

¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j?

Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3

Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos.

Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia.

La representación gráfica de h es una linea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos.

Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función. El dominio es muy importante.

Cuando no se especifíca el dominio y codominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.

Veamos otro ejemplo:                           

Esta función, llamada q,  ¿ será lineal ? Supongamos, además, que es una función de R en R.

Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales.  Esto es, si cambian en la misma razón.

Dominio  x	Codominio y
4	1
7	2
13	4
16	9

Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3            Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1            

Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6          Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2.    Por ahora, parece que si

Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3        Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5      Se rompió la relación

Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con esto. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal ?   

  Primero lo piensas y luego toca el botón "lineal".  

RESUMEN:   Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresion analítica es   f: R —> R  /  f(x) = a.x+b    cona y b números reales.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente a y la ordenada en el origen  es   b.