Unidades de medida

Unidades de energía

 constante de Rydberg, llamada así por el físico Johannes Rydberg, es una constante física que aparece en la Fórmula de Rydberg. Fue descubierta cuando se midió el espectro del hidrógeno, y construida sobre resultados de mediciones cuánticas de Anders Jonas Ångström y Johann Jakob Balmer.

Es una de las mejor determinadas, con una incertidumbre experimental relativa de menos de 7 partes por trillón. La capacidad de medirla directamente a una tan alta precisión confirma las proporciones de los valores de las otras constantes físicas que la definen, y puede ser utilizado para probar rigurosas teorías físicas como laelectrodinámica cuántica.

Cada uno de los elementos químicos tiene su propia constante de Rydberg. Para todos los átomos similares al Hidrógeno (átomos con un solo electrón en su última órbita) la constante de Rydberg ${\displaystyle R_{M}\,}$ puede ser derivada de la constante de Rydberg del "infinito", de esta forma:

${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{e}/M}}=R_{\infty }{\frac {M}{M+m_{e}}}}$

Donde

${\displaystyle R_{M}\ }$ es la constante de Rydberg para cierto átomo con un electrón con la masa en reposo ${\displaystyle m_{e}\ }$

${\displaystyle M\ }$ es la masa de su núcleo atómico.

La constante de Rydberg del "infinito" es (de acuerdo a los resultados del CODATA en el 2010):

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{e}e^{4}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{3}4\pi c}}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=1.0973731568539(55)\cdot 10^{7}\,\mathrm {m} ^{-1}}$

Donde

${\displaystyle \hbar \ }$ es la constante de Planck reducida.

${\displaystyle m_{e}\ }$ es la masa en reposo del electrón.

${\displaystyle e\ }$ es la carga elemental.

${\displaystyle c\ }$ es la velocidad de la luz en el vacío y

${\displaystyle \epsilon _{0}\ }$ es la permitividad.

Esta constante se utiliza a menudo en la física atómica en forma de energía:

${\displaystyle hcR_{\infty }=13.6056923(12)\,\mathrm {eV} \equiv 1\,\mathrm {Ry} }$

Expresiones alternas

La constante de Rydberg también puede ser expresada con las siguientes ecuaciones.

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{e}c}{4\pi \hbar }}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}}$

y

${\displaystyle hcR_{\infty }={\frac {hc\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}={\frac {hf_{C}\alpha ^{2}}{2}}={\frac {\hbar \omega _{C}}{2}}\alpha ^{2}}$

Donde

${\displaystyle h\ }$ es la constante de Planck.

${\displaystyle c\ }$ es la velocidad de la luz en el vacío.

${\displaystyle \alpha \ }$ es la constante de estructura fina.

${\displaystyle \lambda _{e}\ }$ es la longitud de onda de Compton de un electrón.

${\displaystyle f_{C}\ }$ es la frecuencia de Compton de un electrón.

${\displaystyle \hbar \ }$ es la constante de Planck reducida y

${\displaystyle \omega _{C}\ }$ es la frecuencia angular de Compton de un electrón.

La constante de Rydberg para el hidrógeno

Usando el valor obtenido por CODATA en el 2002 para el cociente entre la masa de un electrón con la masa de un protón de ${\displaystyle m_{e}/m_{p}=5.4461702173(25)\cdot 10^{-4}\ }$, en la fórmula general para la constante de Rydberg para cualquier elemento similar al hidrógeno ${\displaystyle R_{M}\ }$, encontramos que la constante para el hidrógeno, ${\displaystyle R_{H}\ }$.

${\displaystyle R_{H}=10967758.341\pm 0.001\,\mathrm {m} ^{-1}}$

Usando ${\displaystyle R=R_{H}\ }$ en la fórmula de Rydberg para los átomos similares a hidrógeno, podemos obtener que el espectro de emisión del hidrógeno,

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R_{\mathrm {H} }Z^{2}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

Donde

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {vac} }}$ es la longitud de onda de la luz emitida en el vacío.

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }}$ es la constante de Rydberg para el hidrógeno.

${\displaystyle n_{1}}$ y ${\displaystyle n_{2}}$ son enteros tal que ${\displaystyle n_{1}$.

Z es el número atómico, que es 1 para el hidrógeno.

Derivación de la constante de Rydberg

La constante de Rydberg para el hidrógeno puede ser derivada usando la condición de Bohr, la fuerza centrípeta, el campo eléctrico, y la energía total de un electrón en órbita alrededor de un protón (correspondiente al caso de un átomo de hidrógeno).

• Condición de Bohr, el momento angular de un electrón puede tener solo ciertos valores discretos:

${\displaystyle L=m_{e}vr=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar }$

Donde n = 1,2,3,… (algún entero) y es llamado el número cuántico principal, ${\displaystyle h\;}$ es la constante de Planck, y ${\displaystyle \hbar =h/(2\pi )}$ la constante de Planck racionalizada y ${\displaystyle r\;}$ es el radio de órbita de un electrón.

• Fuerza necesaria para mantener el movimiento circular (a.k.a. fuerza centrípeta),

${\displaystyle F_{\mathrm {centripeta} }={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}\ }$

Donde, ${\displaystyle m_{e}\ }$ es la masa en reposo del electrón y ${\displaystyle v\ }$ es la velocidad del electrón.

• Fuerza eléctrica de atracción entre un electrón y un protón:

${\displaystyle F_{\mathrm {electrica} }={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\ }$

Donde, ${\displaystyle e\ }$ es la carga elemental, ${\displaystyle \epsilon _{0}\ }$ es la permitividad.

La expresión para la energía total (suma de la cinética y la potencial eléctrica) de un electrón a una distancia ${\displaystyle r\;}$ de un protón es

${\displaystyle E_{\mathrm {total} }=-{\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}\ }$

La expresión anterior puede derivarse a partir de un tratamiento mecanocuántico riguroso del átomo de hidrógeno, pero Bohr la dedujo a partir de la cuantización del momento angular y de las expresiones clásicas de las energías cinética y potencial eléctrica. Para comenzar, tomamos la condición primaria de Bohr y la solucionamos en términos de la velocidad orbital permitida del electrón${\displaystyle v}$:

${\displaystyle v={\frac {nh}{2\pi rm_{e}}}\ }$

Ya que el campo eléctrico que atrae el eletrón al núcleo es la fuerza centrípeta que lleva al electrón una órbita circular alrededor del protón, podemos fijar: ${\displaystyle F_{\mathrm {centripeta} }=F_{\mathrm {electrica} }}$ para obtener

${\displaystyle {\frac {m_{e}v^{2}}{r}}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\ }$

Sustituyendo la expresión previa para la velocidad de la órbita del electrón ${\displaystyle v\ }$ in y resolviendo para ${\displaystyle r\ }$ se obtiene: ${\displaystyle r={\frac {n^{2}h^{2}\epsilon _{0}}{\pi m_{e}e^{2}}}\ }$

Este valor de ${\displaystyle r}$ supuestamente representa los únicos valores permitidos para el radio orbital de un electrón que orbita alrededor de un protón asumiendo que la condición de Bohr sostiene la naturaleza de la onda de un electrón. Si ahora se sustituye ${\displaystyle r}$ en la expresión para la energía total de un electrón una cierta distancia de un protón, se tiene:

${\displaystyle E_{\mathrm {total} }={\frac {-m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}.{\frac {1}{n^{2}}}\ }$

Para eso el cambio de energía en un electrón sustituyendo de un valor de ${\displaystyle n}$ a otro es

${\displaystyle \Delta E={\frac {m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {inicial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\ }$

Simplemente cambiamos las unidades a longitud de onda ${\displaystyle \left({\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}\rightarrow \Delta {E}=hc\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)\right)\ }$ y obtenemos:

${\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)={\frac {m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {inicial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\ }$

Donde

${\displaystyle h\ }$ es la constante de Planck,

${\displaystyle m_{e}\ }$ es la masa en reposo de un electrón,

${\displaystyle e\ }$ es la carga elemental,

${\displaystyle c\ }$ es la velocidad de la luz en el vacío, y

${\displaystyle \epsilon _{0}\ }$ es la permitividad.

${\displaystyle n_{\mathrm {inicial} }\ }$ and ${\displaystyle n_{\mathrm {final} }\ }$ siendo el número de electrones en la última capa del átomo de hidrógeno

Por lo tanto hemos encontrado que la constante de Rydberg para el hidrógeno es:

${\displaystyle R_{H}={\frac {m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}$

electronvoltio (símbolo eV) es una unidad de energía que representa la variación deenergía cinética que experimenta un electrón al moverse desde un punto de potencial Va hasta un punto de potencial Vb cuando la diferencia Vba = Vb-Va = 1V, es decir, cuando la diferencia de potencial del campo eléctrico es de 1 voltio. Equivale a 1,602176565 × 10^-19 J, obteniéndose este valor de multiplicar la carga del electrón (1,602176565 × 10^-19 C) por la unidad de potencial eléctrico (V).

Es una de las unidades aceptadas para su uso en el Sistema Internacional de Unidades, pero que no pertenece estrictamente a él.

En física de altas energías, el electronvoltio resulta una unidad muy pequeña, por lo que son de uso frecuente múltiplos como el megaelectronvoltio MeV o el gigaelectronvoltio GeV. En la actualidad, con los más potentesaceleradores de partículas, se han alcanzado energías del orden del teraelectronvoltio TeV (un ejemplo es el gran colisionador de hadrones, LHC, que está preparado para operar con una energía de hasta 13 teraelectronvoltios¹ ). Hay objetos en nuestro universo que son aceleradores a energías aún mayores: se han detectado rayos gamma de decenas de TeV y rayos cósmicos de petaelectronvoltios (PeV, mil TeV), y hasta de decenas de exaelectronovoltios (EeV, equivalente a mil PeV).

Algunos múltiplos típicos son:

1 keV = 10³ eV

1 MeV = 10³ keV = 10⁶ eV

1 GeV = 10³ MeV = 10⁹ eV

1 TeV = 10³ GeV = 10¹² eV

1 PeV = 10³ TeV = 10¹⁵ eV

1 EeV = 10³ PeV = 10¹⁸ eV

En física de partículas se usa indistintamente como unidad de masa y de energía, ya que en relatividad ambas magnitudes se refieren a lo mismo. La relación de Einstein, E = m·c², da lugar a una unidad de masa correspondiente al eV (despejando m de la ecuación) que se denomina eV/c².

1 eV/c² = 1,783 × 10^-36 kg

1 keV/c² = 1,783 × 10^-33 kg

1 MeV/c² = 1,783 × 10^-30 kg

1 GeV/c² = 1,783 × 10^-27 kg

Nota: La ventaja de expresar la masa de las partículas en múltiplos del electronvoltio es que cuando hablamos de su aniquilación o del costo de producción de estas, el paso de energía a masa es directo. Es decir que si se ha destruido un electrón se habrán generado 511 keV de energía ya que la masa de esa partícula es de 511 keV/c² que es un valor idéntico al de su energía en reposo. Por eso, frecuentemente se omite poner c² en las unidades y se habla de electronvoltios tanto si nos referimos a masa como a energía.