ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

Glóbulos de agua, gotitas de agua rozando la superficie del agua sin hundirse.

Una antiburbuja es una gota de líquido rodeada por una fina película de gas, es decir, lo contrario a una burbuja, que es una esfera de gas rodeada por una delgada capa de líquido. Las antiburbujas se forman cuando un líquido cae o fluye de manera turbulenta dentro de ese mismo líquido o de otro distinto. Pueden pasar sobre la superficie de un líquido como puede ser el agua, en cuyo caso también son conocidas como glóbulos de agua; o pueden encontrarse completamente sumergidas en el líquido al que se han dirigido.

Las antiburbujas son un fenómeno común pero muy poco reconocido, en parte por su aspecto parecido al de las burbujas de aire y en parte también debido a su naturaleza efímera. Gracias a algunas mezclas más jabonosas se puede conseguir que sean mucho más duraderas. La primera observación se produjo en el año 1932.

Comportamiento y creación[editar]

Comparación de tres tipos de burbujas: 1) burbujas en la superficie del agua, 2) antiburbujas, 3) burbujas bajo la superficie del agua dentro una antiburbuja.

Antiburbujas.

El comportamiento de las antiburbujas difiere del de las burbujas de airede tres maneras, principalmente. Estas diferencias facilitan su identificación:

• Las antiburbujas se mantienen por la tensión superficial y se mueven velozmente por la superficie del agua. También pueden ser vistas rebotando desde otros objetos en el agua, como, por ejemplo, de burbujas aéreas o desde los lados de otros objetos como recipientes, de forma similar a los rebotes de las bolas de billar.

• En condiciones normales, las antiburbujas tienen una corta vida, mientras que una burbuja de aire con una superficie de jabón puede llegar a durar minutos. A menudo, las antiburbujas no duran más de unos pocos segundos, o incluso menos. Sin embargo, si el potencial eléctrico entre el líquido interno y el externo se encuentra en equilibrio, las antiburbujas puede llegar a resistir tanto o más como las de aire.

• Las antiburbujas refractan la luz de manera distinta a las burbujas de aire debido a su composición, ya que el líquido que se encuentra en su interior provoca la refracción de la luz incidente, de la misma manera en que se producen los arcoiris. Como consecuencia de esta refracción, las antiburbubjas presentan un aspecto brillante.

Se pueden crear antiburbujas de forma bastante sencilla, dejando a un grifo goteando en un recipiente lleno de agua en el que se ha añadido algo de jabón. Éste reduce la tensión superficial de agua y permite a la película de aire que rodea la gota mantenerse por algo más de una fracción de segundo.

Al contrario que las burbujas de jabón, con aire dentro y fuera de ellas, que tienden a hundirse progresivamente hacia el fondo del recipiente; las antiburbujas tienen capacidad para flotar positiva y por tanto tienden a elevarse hacia la superficie del líquido. Por otro lado, mientras que las burbujas de jabón puede rellenarse con gases más ligeros para cambiar su signo y que suban hacia la superficie; las antiburbujas pueden ser rellenadas por líquidos más pesados para hacerlos negativos y que se hundan. Un experimento que se puede realizar es, con una pajita, dejar caer gotitas de una solución de agua azucarada sobre agua jabonosa, lo que producirá antiburbujas que se hundirán.

Las antiburbujas suelen estallar cuando alcanzan el fondo o los bordes del recipiente en el que se encuentra el líquido. Eso se puede prevenir fácilmente echando unas pocas cucharadas de azúcar en el agua jabonosa y dejando unos minutos para que se disuelvan, sin remover la mezcla. De esta manera se consigue una capa más densa de agua azucarada en el fondo del líquido. Después, las antiburbujas de azúcar se posarán sobre el estrato del final del recipiente y podrán llegar a tener varios minutos de vida.

En 2005, los científicos Michiel Postema (Ruhr-Universität Bochum), Nico de Jong (Erasmus MC, Rotterdam) Georg Schmitz (Ruhr-Universität Bochum) y Annemieke van Wamel (Erasmus MC, Rotterdam) presentaron la grabación a alta velocidad de la formación de las antiburbujas con la ayuda de ultrasonidos.

Aplicaciones potenciales de las antiburbujas[editar]

Si las antiburbujas se pueden estabilizar pueden ser usadas para formar un largo y duradero agente anti-espuma que pueda utilizarse como lubricante o como filtro de gases.

Las propias antiburbujas se pueden usar para procesos químicos como la eliminación de contaminantes de una chimenea.

Cambiar el aire en las capas de las antiburbujas por otro líquido podría utilizarse como sistema de envío de drogamediante la creación una capa exterior de líquido-polímero alrededor de la droga. Fortaleciendo el polímero con luz ultravioleta se formaría una cápsula de droga.

La banda o cinta de Möbius o Moebius (/ˈmøːbjʊs/) es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

Banda de Moebius conformada con una cinta de papel, cuyos extremos se han unido girándolos.

Construcción de una cinta de Möbius[editar]

Para construir una cinta de Möbius, se toma una tira de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos antes de pegarlos.

Propiedades[editar]

La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

Banda de Möbius.

Plot paramétrico de una banda de Möbius.

• Es una superficie que sólo posee una cara: Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

• Tiene sólo un borde: Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

• Es una superficie no orientable: Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

• Otras propiedades: Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.

Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.¹​

Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.

Esta forma geométrica se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Geometría[editar]

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$ es mediante la parametrización:

${\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=\left[1+{\cfrac {v}{2}}\cos {\cfrac {u}{2}}\right]\cos(u)\\y(u,v)=\left[1+{\cfrac {v}{2}}\cos {\cfrac {u}{2}}\right]\sin(u)\\z(u,v)={\cfrac {v}{2}}\sin {\cfrac {u}{2}}\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle 0\leq u<2 annotation="" pi="">$ y ${\displaystyle \scriptstyle -0.5\leq v\leq 0.5}$.

Representa una banda doble de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia exterior tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en ${\displaystyle \scriptstyle (0,0,0)\,}$. El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

${\displaystyle \scriptstyle -{\frac {64}{(16v^{4}\cos(u/2)^{4}+128v^{3}\cos(u/2)^{3}+384v^{2}\cos(u/2)^{2}+8v^{4}\cos(u/2)^{2}+512v\cos(u/2)+32v^{3}\cos(u/2)+256+32v^{2}+v^{4})}}}$

En coordenadas cilíndricas ${\displaystyle \scriptstyle (r,\theta ,z)}$, se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

${\displaystyle \log(r)\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=z\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

Topología[editar]

Para transformar un rectángulo en una banda de Möbius, se unen las aristas denominadas A de manera tal que las flechas apunten en el mismo sentido.

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado ${\displaystyle \scriptstyle [0,1]\times [0,1]}$ que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topología cociente) por la relación ${\displaystyle \scriptstyle (x,0)\,}$ ${\displaystyle \sim \,}$ ${\displaystyle \scriptstyle (1-x,1)\,}$ para ${\displaystyle \scriptstyle 0\leq x\leq 1}$, como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.

Como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total ${\displaystyle \scriptstyle Mo\,}$ de un fibrado no trivial teniendo como base el círculo ${\displaystyle \scriptstyle S^{1}}$ y fibra un intervalo, i.e.

${\displaystyle \scriptstyle I\subset Mo\to S^{1}}$

El contraste con el fibrado trivial ${\displaystyle \scriptstyle I\subset S^{1}\times I\to S^{1}}$ es agradable pues se sabe que sólo hay dos de estos fibrados E

${\displaystyle \scriptstyle I\subset E\to S^{1}}$

Es decir, ${\displaystyle \scriptstyle S^{1}\times I}$ y ${\displaystyle \scriptstyle Mo\,}$ son todos los I-fibrados sobre la circunferencia.

Objetos relacionados[editar]

Análoga a la banda de Möbius es la botella de Klein, pues también tiene sólo una superficie, donde no se puede diferenciar «fuera» de «dentro».

Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, la botella no.

Una representación bidimensional de la Botella de Klein inmersa en el espacio tridimensional.

En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable abierta cuya característica de Euler es igual a 0; no tiene interior ni exterior. Otros objetos no orientables relacionados son la banda de Möbius y el plano proyectivo real. Mientras que una banda de Möbius es una superficie con borde, una botella de Klein no tiene borde. Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein. El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), sino el de Superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error.

Construcción[editar]

Comenzamos con un cuadrado, y pegamos los bordes coloreados en el diagrama siguiente, de modo que las flechas coincidan. Más formalmente, la botella de Klein es el cociente del cuadrado [0,1] × [0,1] con sus bordes identificados por la relación (0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1, y (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1:

Este cuadrado es el polígono fundamental de la botella de Klein.

Nótese que éste es un pegado "abstracto" en el sentido de que, al tratar de hacerlo en tres dimensiones, resulta una botella de Klein que se autointerseca. La botella de Klein, propiamente dicha, no tiene autointersecciones. No obstante, hay un modo de visualizar la botella de Klein como figura en cuatro dimensiones.

Para ello, pegamos las flechas rojas del cuadrado, (lados derecho e izquierdo) resultando un cilindro. Para pegar los extremos de manera que las flechas de los círculos coincidan, pasamos un extremo por el lado del cilindro. Nótese que esto crea una autointersección circular. Esta es una inmersión de la botella de Klein en tres dimensiones.

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Añadiendo una cuarta dimensión al espacio tridimensional, conseguimos que la botella pase a través de sí misma sin necesidad de un agujero. Para ello empujamos suavemente un trozo de tubo que contenga la intersección fuera del espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se autointerseca en el plano; las intersecciones se pueden eliminar levantando una línea fuera del mismo.

Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, no tiene borde (donde la superficie se detenga abruptamente), y no es orientable, al tener su inmersión una sola cara.

Una botella de Klein soplada de forma artesanal

Cono fibrado[editar]

Esta superficie (simbolizada por ${\displaystyle K}$) puede considerarse como el espacio total de un fibrado (no trivial) sobre el círculo donde la fibra es también un círculo, i.e. ${\displaystyle S^{1}\subset K\to S^{1}}$. En contraste el toro también es un fibrado, pero es trivial, esto es ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$.

Sección[editar]

La sección de una botella de Klein en bandas de Möbius.

Seccionando una botella de Klein en dos mitades a lo largo de su plano de simetría resultan dos bandas de Möbius, cada una imagen especular de la otra. Una de ellas es la imagen de la derecha. Recuerde que la intersección de la imagen no está realmente allí. De hecho, también es posible cortar la botella de Klein en una única banda de Möbius.

Otro concepto con el mismo nombre[editar]

En la geometría algebraica, una superficie de Klein, que se diferencia de la botella de Klein, es el similar de una superficie de Riemann en el sentido de que una superficie de Klein admite una estructura di-analítica, es decir una estructura analítica que adiciona una posible función de transición a una estructura analítica -consistente en la conjugación compleja- determina una que es anti-analítica.