ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - FRACCIONES

cuerpo de fracciones de un dominio de integridad ${\displaystyle A}$ al mínimo cuerpo que contiene a dicho dominio. Dicho cuerpo siempre existe y se denota por ${\displaystyle Q(A)}$, ${\displaystyle \mathrm {Quot} (A)}$ (del inglés: quotient field) o ${\displaystyle \mathrm {Frac} (A)}$.

El ejemplo más sencillo de un cuerpo de fracciones es el de los números racionales, que son el cuerpo de fracciones de los números enteros. El cuerpo de fracciones de cualquier otro dominio de integridad se construye de manera análoga a este.

Construcción[editar]

Sea un anillo conmutativo ${\displaystyle A}$, que a su vez sea un dominio de integridad, es decir, que carezca de divisores de cero. Denotaremos por ${\displaystyle A^{*}}$ al conjunto ${\displaystyle A\setminus \{0\}}$. El proceso de construcción del cuerpo de fracciones de ${\displaystyle A}$ es el siguiente:¹​

• Formamos el producto cartesiano ${\displaystyle A\times A^{*}}$, compuesto por todos los pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$, donde ${\displaystyle a,b\in A}$, y ${\displaystyle b\neq 0}$.
• Definimos la relación ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ definida por:

${\displaystyle (a,b){\mathcal {R}}(c,d)\iff a\cdot d=b\cdot c}$.

Esta ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es una relación de equivalencia.

mostrarDemostración

• Denotamos por ${\displaystyle Q(A)}$ al conjunto cociente ${\displaystyle (A\times A^{*})/{\mathcal {R}}}$, y por ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ a la clase de equivalencia del par ordenado ${\displaystyle (a,b)}$.

Como se verá más adelante, a este conjunto ${\displaystyle Q(A)}$ se le puede dotar de estructura de cuerpo con las operaciones adecuadas. Además, el anillo ${\displaystyle A}$ es un subanillo de ${\displaystyle Q(A)}$,²​ ya que podemos identificar cada elemento ${\displaystyle a\in A}$ con el elemento ${\displaystyle {\frac {a}{1}}\in Q(A)}$.³​ Otra propiedad interesante es que este cuerpo es, salvo isomorfismo, el menor cuerpo que contiene a ${\displaystyle A}$. Es decir, si existe un cuerpo ${\displaystyle K}$ tal que ${\displaystyle A\subset K}$, entonces ${\displaystyle Q(A)\subseteq K}$.⁴​ En particular, si ${\displaystyle A}$ es un cuerpo entonces es isomorfo a su cuerpo de fracciones.⁵​

Operaciones del cuerpo[editar]

Suma[editar]

Definimos la suma en el cuerpo de fracciones como ${\displaystyle +:Q(R)\times Q(R)\longrightarrow Q(R)}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle +\left({\tfrac {a}{b}},{\tfrac {c}{d}}\right):={\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {(a\cdot d)+(b\cdot c)}{b\cdot d}},\ \forall {\tfrac {a}{b}},{\tfrac {c}{d}}\in Q(R)}$

Es sencillo comprobar que es una operación interna bien definida, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro ${\displaystyle {\tfrac {0}{b}}}$ para cualquier ${\displaystyle b}$, y que todo elemento ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\in Q(R)}$ tiene por elemento opuesto a ${\displaystyle {\tfrac {-a}{b}}}$. Así, ${\displaystyle (Q(R),+)}$tiene estructura de un grupo abeliano.

Producto[editar]

Definimos la multiplicación en el cuerpo de fracciones como ${\displaystyle \cdot :Q(R)\times Q(R)\longrightarrow Q(R)}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle \cdot ({\tfrac {a}{b}},{\tfrac {c}{d}}):={\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}={\tfrac {a\cdot c}{b\cdot d}},\ \forall {\tfrac {a}{b}},{\tfrac {c}{d}}\in Q(R)}$.

Es sencillo comprobar que es una operación interna bien definida, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro ${\displaystyle {\tfrac {a}{a}}}$ para cualquier ${\displaystyle a}$, y que todo elemento ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\in (Q(R)\setminus \{0\}}$ tiene por elemento simétrico (elemento inverso) a ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$. Así, ${\displaystyle (Q(R)\setminus \{0\},\cdot )}$ es un grupo abeliano.

Distributividad[editar]

Se demuestra sin dificultad que el producto (·) es distributivo respecto de la suma (+). ⁶​Esto hace que ${\displaystyle (Q(R),+,\cdot )}$ quede dotado de estructura de cuerpo.

Ejemplos[editar]

• El cuerpo de fracciones del anillo de los números enteros es el cuerpo de los números racionales, ${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathrm {Quot} (\mathbf {Z} )}$.
• Sea ${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} |a,b\in \mathbb {Z} \}}$ el anillo de enteros gaussianos. Entonces ${\displaystyle \mathrm {Quot} (R)=\{c+d\mathrm {i} |c,d\in \mathbf {Q} \}}$, es el cuerpo de los racionales gaussianos ${\displaystyle \mathbf {Q} (i)}$, ejemplo de cuerpo de números algebraicos y cuerpo cuadrático.
• El cuerpo de fracciones de un cuerpo es canónicamente isomorfo a ese mismo cuerpo.
• Dado un dominio de integridad ${\displaystyle A}$, su anillo de polinomios en n indeterminadas ${\displaystyle A[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ es también un dominio de integridad, y por lo tanto se puede construir su cuerpo de fracciones. ⁷​⁸​ A dicho cuerpo se le denomina cuerpo de funciones racionales con coeficientes en ${\displaystyle A}$ en n indeterminadas, y se denota ${\displaystyle K(X_{1},\dots ,X_{n})}$.

división de polinomios (también división polinomial o división polinómica) es un algoritmoque permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo.

El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga. Es fácilmente realizable a mano, porque separa un problema de división complejo, en otros más pequeños.

Sean los polinomios ${\displaystyle f(x)}$ y ${\displaystyle g(x)}$, donde ${\displaystyle g(x)}$ no es el polinomio nulo, entonces existe un único par de polinomios ${\displaystyle q(x)}$ y ${\displaystyle r(x)}$ tal que:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}}$

o la más conocida

${\displaystyle f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)}$

con el grado de ${\displaystyle r(x)}$ menor que el grado de ${\displaystyle g(x)}$ y el grado de ${\displaystyle q(x)}$ es la diferencia entre el grado de de f y de g (para ${\displaystyle {\text{gr}}(f)\geq {\text{gr}}(g)}$ en el caso general ${\displaystyle {\text{gr}}(q)=\langle {\text{gr}}(f)-{\text{gr}}(g)\rangle _{+}}$ ). La división sintética permite obtener el cociente ${\displaystyle q(x)}$ y el resto ${\displaystyle r(x)}$ dado un dividendo ${\displaystyle f(x)}$ y un divisor ${\displaystyle g(x)}$. El problema se expresa como un problema de división no algebraico:^{[cita requerida]}

${\displaystyle g(x){\overline {\vert f(x)}}}$

Todos los términos con exponentes menores que el mayor deben escribirse explícitamente, incluso si sus coeficientes son cero.

Condiciones de divisibilidad[editar]

Si A es un anillo, la división polinomial en A[X] no es siempre posible. Por ejemplo, en Z[X], los polinomios con coeficientes enteros, no es posible dividir X² por 2X + 3, porque el cociente (trabajando en R[X]) es: X/2, y no pertenece a Z[X].

La única condición para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible. En el ejemplo de abajo, la división por X - 1 (1X - 1) no causa problemas porque el coeficiente dominante es 1, que inversible en Z.

División por un binomio[editar]

Artículo principal: Regla de Ruffini

El cociente y el resto de una división de un polinomio con coeficiones enteros en x entre x+a se pueden hallar usando la división larga, o utilizando la regla de Ruffini. Tiene la propiedad de que el cociente de esta división será un polinomio en x cuyo grado es una unidad menor que el grado del dividendo y cuyo coeficiente del término general del cociente es igual al coeficiente del término general del dividendo.

Ejemplo[editar]

Encontrar:

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}}$

Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicó previamente, se incluye explícitamente el término x, aunque su coeficiente sea cero):

${\displaystyle x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}}$

1. Dividir el primer término del dividendo por el término de mayor grado del divisor. Poner el resultado arriba de la línea horizontal (x³ ÷ x = x²).

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}}$

2. Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer término del eventual cociente). Escribir el resultado debajo de los primeros dos términos del dividendo (x² * (x-3) = x³ - 3x²).

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}}$

3. Restar el producto obtenido en el paso previo de los términos correspondientes del dividendo original, y escribir el resultado debajo. Tener cuidado al realizar esta operación de colocar el signo que corresponda. ((x³-12x²) - (x³-3x²) = -12x² + 3x² = -9x²) Luego, "desplazar hacia abajo" el próximo término del dividendo.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}}$

4. Repetir los tres pasos previos, excepto que esta vez utilizar los dos términos que se acaban de escribir en el dividendo.

${\displaystyle {\begin{matrix}\;x^{2}-9x\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}}$

5. Repetir el paso 4. Esta vez, no hay nada para "desplazar hacia abajo".

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}$

El polinomio arriba de la línea horizontal es el cociente, y el número que queda (-123) es el resto.

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}}$

Este método es una reminiscencia de los métodos de división utilizados en clases elementales de aritmética.

División según las potencias crecientes[editar]

En algunos casos es interesante considerar que X es pequeño frente a 1 y hacer las divisiones al revés, empezando por las constantes (que son los términos mayores) y terminando por los Xⁿ, con n grande. Formalmente, se modifica la definición del grado: d ^o (Xⁿ) = - n. La diferencia es que ya no hay unicidad, y es necesario fijarse por antelación una precisión, es decir un grado máximo al resto.

Por ejemplo, dividamos ${\displaystyle 1}$ por ${\displaystyle 1-X}$ al orden 3: el resto deber haber como término más fuerte (aquí el monomio de menor exponente) a lo mejor X⁴. La igualdad obtenida (en azul) equivale a:

${\displaystyle {\frac {1-X^{4}}{1-X}}=1+X+X^{2}+X^{3}}$

la que, además de ser cierta, es un caso especial de la suma de términos de una sucesión geométrica:

${\displaystyle 1+q+q^{2}+...+q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$

y cada valor de n corresponde a una división euclidiana con una precisión distinta.

Otro punto de vista es considerar a ${\displaystyle 1+X+X^{2}+...+X^{n}\ }$ como el inicio del desarrollo de ${\displaystyle {\frac {1}{1-X}}}$ en serie de Taylor.

Más generalmente, la serie de Taylor de una función racional se obtiene mediante la división euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador.

Por ejemplo, considérese la función trigonométrica tangente: ${\displaystyle \tan ={\frac {\sin }{\cos }}}$, y busquemos su desarrollo alrededor de 0 al orden 5. Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno, y dividirlas descartando sistemáticamente los términos de orden mayor que aparecen en el cálculo. Como la función tangente es par, sólo hay tres monomios (en X, X³ y X⁵) que buscar.

El resultado es ${\displaystyle \tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+O(x^{7})}$

La división euclidiana también existe en los anillos de polinomios de múltiples variable K[X,Y,Z...], donde hay varias maneras de definir el grado (parcial, total...) y otras tantas de proceder a la división.

División de polinomios

Vamos a estudiar la división de un polinomio por un número, por un monomio y por otro polinomio

1. División de un número por un polinomio

La división de un polinomio por un número es otro polinomio que tiene:

El mismo de grado

Sus coeficientes resultan de dividir cada uno de los coeficientes del polinomio entre el número

Se dejan las mismas partes literales.

Ejemplos:

2 : (2x³ − 4x² + 6x − 2) = x³ − 2x² + 3x − 1

3 : (6x³ − 3x² + 9x − 4) = 2x³ − x² + 3x − 

2. División de un monomio por un polinomio

En la división de un monomio por un polinomio se divide el monomio por cada uno de los monomios que forman el polinomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.

Ejemplos:

2x : (2x⁴ − 4x³ + 8x² − 12x) = x³ − 2x² + 4x − 6

2x²: (2x⁶ − 4x⁴ + x²) = x⁴ − 2x² + 

3. División de un polinomio por un polinomio

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico con los polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.