CÁLCULO

CÁLCULO DE VARIACIONES

Isoperimetría significa literalmente "con un perímetro igual". En matemática, la isoperimetría es el estudio general de las figuras geométricas que tienen contornos iguales.

El problema isoperimétrico en el plano[editar]

En una región no convexa, una "melladura" en su perímetro puede ser "reflejada" (hacia afuera), para aumentar el área de la región, manteniendo el mismo perímetro.

Una región alargada puede hacerse más redonda, manteniendo fijo su perímetro y aumentando así su área.

El problema isoperimétrico clásico data de la antigüedad. El problema se puede enunciar como sigue: Entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fijo, ¿qué curva (si la hay) maximiza el área de la región que encierra? Se puede demostrar que esta cuestión es equivalente al siguiente problema: Entre todas las curvas cerradas en el plano que cierra un área fija, ¿qué curva (si la hay) minimiza el perímetro?

Este problema está relacionado conceptualmente con el principio de mínima acción de la física, en que puede ser reescrito: ¿cuál es el principio de acción que encierra la mayor área, con la mayor economía de esfuerzo? El filósofo siglo XV, Nicolás de Cusa, consideró la acción rotatoria, el proceso por el que se genera un círculo, como el reflejo más directo, en el dominio de las impresiones sensoriales, del proceso por el que se crea el universo. El astrónomo alemán Johannes Kepler invocó el principio isoperimétrico al discutir la morfología del sistema solar, en Mysterium Cosmographicum (El misterio sagrado del Cosmos, 1596).

Dos grandes figuras de las matemáticas del siglo XVIII, Joseph-Louis de Lagrange y Leonhard Euler, hicieron sendas notables contribuciones para la resolución de problemas de isoperímetro similares, problemas que habían sido un asunto de discusión durante más de medio siglo, mediante una nueva técnica: el cálculo de variaciones.¹​ Sin embargo, no abordaron la demostración del problema concreto de la curva de una longitud dada capaz de abarcar una mayor área.

Aunque el círculo parece ser la solución obvia al problema, probar este hecho es bastante difícil. El primer avance hacia la solución lo hizo el geómetra suizo Jakob Steiner en 1838, usando un método geométrico llamado simetrización de Steiner. Steiner mostró que si existía una solución, entonces tenía que ser el círculo. La prueba de Steiner la completaron más adelante varios otros matemáticos.

Steiner comienza con algunas construcciones geométricas²​ fáciles de entender; por ejemplo, se puede demostrar que cualquier curva cerrada que encierra una región que no es completamente convexa puede ser modificada para encerrar un área mayor "volteando" las áreas cóncavas para que se vuelvan convexas. Se puede demostrar además que cualquier curva cerrada que no sea completamente simétrica puede ser deformada para encerrar un área mayor. La única forma que es perfectamente convexa y simétrica es el círculo, aunque esto, en sí mismo, no representa una prueba rigurosa del teorema isoperimétrico (ver los enlaces externos).

El teorema se suele enunciar en forma de una desigualdad que relaciona el perímetro y el área de una curva cerrada en el plano. Si P es el perímetro de la curva y A es el área de la región cerrada por la curva, entonces la desigualdad establece que

${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2}.}$

Para el caso de un círculo de radio r, tenemos A = πr² y P = 2πr, e introduciendo estos valores en la desigualdad se muestra que el círculo maximiza de hecho el área entre todas las curvas de perímetro fijo. De hecho, el círculo es la única curva que maximiza el área.

Hay docenas de pruebas para esta desigualdad clásica. Varias se comentan en el artículo de Treiberg enlazado más abajo. En 1901, Adolf Hurwitz dio una prueba puramente analítica de la desigualdad isoperimétrica clásica basada en las Series de Fourier y en el teorema de Green.

Las formulaciones modernas de los problemas isoperimétricos se dan a veces en términos de geometría subriemanniana. En particular, el problema de Dido encuentra la expresión en términos del grupo de Heisenberg: dado un arco que conecta dos puntos, la "altura" z de un punto en el grupo de Heisenberg corresponde al área bajo el arco.

El teorema isoperimétrico se generaliza a espacios de mayor dimensión: el dominio con volumen 1 con la superficie mínima es siempre una esfera.

el principio de Dirichlet en teoría del potencial expresa que, si la función u(x) es la solución de la ecuación de Poisson

${\displaystyle \Delta u+f=0\,}$

en un dominio ${\displaystyle \Omega }$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con condición de frontera

${\displaystyle u=g{\text{ sobre }}\partial \Omega ,\,}$

entonces u puede ser obtenido como el minimizador de la energía de Dirichlet

${\displaystyle E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}$

entre todas las funciones doblemente diferenciables ${\displaystyle v}$ tales que ${\displaystyle v=g}$ sobre ${\displaystyle \partial \Omega }$ (proporcionando la existencia de al menos una función que hace la integral de Dirichlet finita). Este concepto es llamado en honor al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Puesto que la integral de Dirichlet está acotada inferiormente, la existencia de un ínfimo está garantizada. Que ese ínfimo se alcanza fue dado por hecho por Riemann (quién acuñó el término principio de Dirichlet) y otros hasta que Weierstraß dio un ejemplo de un funcional que no alcanzaba su mínimo. Más tarde, Hilbert justificaría el uso, por parte de Riemann, del principio de Dirichlet.

El principio de Fermat, en óptica, es un principio de tipo extremal y que establece:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo.

Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma moderna del principio de Fermat. Esta dice que:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria.

Esto quiere decir que, si se expresa el trayecto recorrido por la luz entre dos puntos ${\displaystyle O_{1}}$ y ${\displaystyle O_{2}}$ por medio de una funcional llamada camino ópticodefinida como ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]}$ la trayectoria real de la luz seguirá un camino extremal respecto de esta funcional:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]=\delta \int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})ds}=0.}$

La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales. En esta forma, el principio de Fermat recuerda al principio de Hamilton o a las ecuaciones de Euler-Lagrange.

El principio en su forma moderna fue declarado por Pierre de Fermat en una carta de 1662, de ahí que lleve su nombre.

Siguen ahora algunos ejemplos de la aplicación del principio para deducir las leyes de la óptica geométrica.

Ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso[editar]

La ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso real en un sistema óptico es:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}n({\vec {r}})-{\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]=0}$

y se deduce a partir del principio de Fermat.

mostrarDeducción de la ecuación

La interpretación de la ecuación es importante. La trayectoria permanece en el plano en el que varía el índice de refracción ${\displaystyle n({\vec {r}})}$. Eso puede observarse escribiendo la ecuación en términos de los vectores unitarios ${\displaystyle {\hat {u}}_{t}}$ y ${\displaystyle {\hat {u}}_{n}}$:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}n({\vec {r}})={\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}+n({\vec {r}}){\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\hat {u}}_{t}+{\frac {n({\vec {r}})}{\rho ({\vec {r}})}}{\hat {u}}_{n}}$

siendo ${\displaystyle \rho }$ el radio de la circunferencia osculatriz en el punto ${\displaystyle {\vec {r}}}$ a la trayectoria.

Teorema de Malus-Dupin[editar]

Artículo principal: Teorema de Malus-Dupin

Ley de la reflexión[editar]

Artículo principal: Ley de Snell

Si se supone que un rayo de luz sale del punto A en dirección a la superficie plana, que suponemos reflectora, y viaja hasta el punto B ¿Cuál será la trayectoria seguida por la luz? En este caso la luz viaja durante todo el camino por el mismo medio, con el mismo índice de refracción y, por tanto, a la misma velocidad. Así, el tiempo necesario para recorrer el camino entre A y B (pasando por la superficie P) será la distancia APB dividida por la velocidad de la luz en ese medio. Como la velocidad es una constante, la trayectoria real, según el principio de Fermat, será la más corta.

Es fácil ver que la distancia APB es la misma que la distancia A'PB, donde A' es la imagen de A. A' está sobre la recta perpendicular al espejo que pasa por A, a la misma distancia del espejo que A y al otro lado del mismo. La distancia mínima A'PB es, obviamente, la línea recta A'P2B, con lo que la trayectoria real es AP2B. El análisis completo de la situación muestra que P2 es tal que los ángulos de incidencia y de reflexión en el punto son iguales, de lo que se deduce la fórmula de la ley de la reflexión: ${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{t}}$

Ley de la refracción[editar]

Artículo principal: Ley de Snell

Sea un medio de propagación con índice de refracción ${\displaystyle n_{1}\ }$ y un segundo medio de propagación con índice de refracción ${\displaystyle n_{2}\ }$ tales que situamos la superficie que separa los dos medios de modo que coincida con el eje de las abcisas.

Sean ${\displaystyle A=(x_{A},\;y_{A})}$ y ${\displaystyle B=(x_{B},\;y_{B})}$ dos puntos fijos situados del plano, de modo que A está situado en el primer medio, y B en el segundo medio.

Sea un rayo de luz que se propaga de A a B atravesando la superficie que separa los dos medios en el punto ${\displaystyle P=(x,\;0)}$.

El siguiente paso es deducir el tiempo que tarda el rayo en recorrer ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ y ${\displaystyle {\overline {PB}}}$.

Sean ${\displaystyle v_{1}}$ y ${\displaystyle v_{2}}$ la velocidad de propagación de la luz en el primer y segundo medio respectivamente.

${\displaystyle t_{1}={\frac {\overline {AP}}{v_{1}}}={\frac {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}{v_{1}}}}$; ${\displaystyle t_{2}={\frac {\overline {PB}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}{v_{2}}}}$

${\displaystyle t={\frac {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}{v_{2}}}}$

Si se busca el valor de ${\displaystyle x\ }$ cuando ${\displaystyle t\ }$ es mínimo, es equivalente si encontramos el valor de ${\displaystyle x\ }$ para el cual la función derivada de ${\displaystyle t\ }$ toma el valor 0.

${\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=-{\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}}}+{\frac {x-x_{B}\ }{v_{2}\ {\sqrt {(x-x_{B}\ )^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}}}={\frac {x_{B}-x\ }{v_{2}\ {\sqrt {(x-x_{B}\ )^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\overline {AP}}}}={\frac {x_{B}-x\ }{v_{2}\ {\overline {PB}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{v_{1}\ }}\sin {\alpha _{1}}={\frac {1}{v_{2}\ }}\sin {\alpha _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{v_{1}\ }}\sin {\alpha _{1}}={\frac {c}{v_{2}\ }}\sin {\alpha _{2}}}$

${\displaystyle n_{1}\ \sin {\alpha _{1}}=n_{2}\ \sin {\alpha _{2}}}$

Historia[editar]

Pierre de Fermat

Herón de Alejandría (Heron) (c. 60) describió un principio de reflexión, que declaraba que un rayo de luz que va desde el punto A al punto B, sufriendo cualquier número de reflexiones en espejos planos, en el mismo medio, tiene un trayecto con menor longitud que cualquier trayecto cercano.¹​

Ibn al-Haytham (Alhazen), en su Libro de Óptica (1021), amplió el principio tanto a la reflexión como a la refracción, y expresó una temprana versión del principio del menor tiempo. Sus experimentos se basaron en trabajos anteriores sobre la refracción realizados por el científico griego Claudio Ptolomeo.²​

El principio generalizado del menor tiempo en su forma moderna fue declarado por Pierre de Fermat en una carta fechada el 1 de enero de 1662 enviada a Cureau de la Chambre.³​ Se encontró con las objeciones efectuadas en mayo de 1662 por Claude Clerselier, un experto en óptica y líder portavoz de los cartesianos en ese momento. Entre sus objeciones, Clerselier establecía:

(...) Fermat's principle can not be the cause, for otherwise we would be attributing knowledge to nature: and here, by nature, we understand only that order and lawfulness in the world, such as it is, which acts without foreknowledge, without choice, but by a necessary determination.

El principio de Fermat no puede ser la causa, pues de lo contrario estaríamos atribuyendo conocimiento a la naturaleza: y aquí, por naturaleza, entendemos sólo que el orden y la legalidad en el mundo, tal como es, que actúa sin conocimiento previo, sin elección, sino por una determinación necesaria.

Claude Clerselier (1622)

El original, en francés, de Mahoney, es el siguiente:

Le principe que vous prenez pour fondement de votre démonstration, à savoir que la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples, n’est qu’un principe moral et non point physique, qui n’est point et qui ne peut être la cause d’aucun effet de la nature.

El principio que usted toma para fundamentar su demostración, a saber, que la naturaleza actúa siempre por las vías más cortas y las más simples, no es más que un principio moral y no uno físico, que no es ni puede ser la causa de ningún efecto de la naturaleza.

Mahoney

De hecho el principio de Fermat no se sostiene por sí solo, y ahora se sabe que se puede derivar de principios anteriores, como el principio de Huygens. Históricamente, el principio de Fermat ha servido como principio rector en la formulación de las leyes de la Física con el uso del cálculo variacional (véase el principio de mínima acción).