CÁLCULO

CÁLCULO MULTIVARIABLE

En matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potenciasconvergente. Una función analítica es suave si tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica. Cabe dejar constancia que las clases más importantes de funciones que ocurren en el análisis clásico y en sus aplicaciones a los problemas de mecánica y física, sean analíticas, salvo en algunos puntos singulares de estas funciones.

Definición[editar]

La definición de función analítica es idéntica para los casos real y complejo:

Una función real (compleja) f es analítica en un punto x0 de su dominio si existe una serie de potencias centrada en x0: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\ldots \,,}$ que converge en un entorno U ⊆ R (U ⊆ C) de x0 y que coincide con la función en dicho entorno: ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}{\text{ , para cada }}x\in U}$

De esta definición se puede demostrar la siguiente caracterización alternativa:

Una función analítica en x0 es infinitamente derivable en un cierto entorno U de dicho punto, en el que además su serie de Taylor: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\,,}$ converge (y coincide con f).

Una función se dice analítica en un conjunto U si es analítica en cada punto de U. El conjunto de todas las funciones analíticas en un cierto abierto U se denota por C^ω(U).

Varias variables[editar]

La definición de función analítica puede extenderse para funciones (reales o complejas) de varias variables (definidas en Rⁿ o Cⁿ), sin más que considerar series de potencias de varias variables:

${\displaystyle \sum _{i_{1}\ldots i_{n}=0}^{\infty }a_{i_{1}\ldots i_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{i_{k}}=a_{0\ldots 0}+a_{1\ldots 0}(x_{1}-c_{1})+\ldots +a_{0\ldots 1}(x_{n}-c_{n})+a_{2\ldots 0}(x_{1}-c_{1})^{2}+a_{11\ldots 0}(x_{1}-c_{1})(x_{2}-c_{2})+\ldots }$

Funciones holomorfas[editar]

Artículo principal: Función holomorfa

En el caso de las funciones complejas analíticas, existe un teorema que las caracteriza de manera mucho más sencilla, y que constituye uno de los rasgos fundamentales del análisis complejo:

Una función compleja f : D ⊆ C → C derivable en un intervalo abierto U, es analítica en U.

Un teorema similar se aplica en el caso de funciones complejas de varias variables que sean diferenciables:

Una función compleja f : D ⊆ Cn → C diferenciable en un intervalo abierto U es analítica en U.

Funciones suaves no analíticas[editar]

En variable real pueden encontrarse funciones suaves que no son analíticas. Un ejemplo de ello es la función:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}e^{-1/x^{2}}{\text{ , si }}x\neq 0\\0{\text{ , si }}x=0\end{array}}\right.}$

Esta función es infinitamente derivable para cualquier x ∈ R, y en particular todas sus derivadas en 0 son nulas: f⁽ⁿ⁾(0) = 0. Por tanto, su serie de Taylor alrededor de 0 es identicamente nula, y en ningún entorno de dicho punto coinciden la función y la serie de Taylor.

Una función polinómica es una relación que para cada valor de la variable ${\displaystyle x}$ le asigna un único valor, resultante de substituirlo en el polinomio asociado a la función:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}P:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=P(x)\end{array}}}$

donde ${\displaystyle P(x)\,}$ es un polinomio definido para todo número real ${\displaystyle x\,}$; es decir, una suma finita de potencias de ${\displaystyle x\,}$multiplicadas por coeficientes reales, de la forma:¹​

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}$

Entonces, una función polinómica se define simbólicamente:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}}$

tal que:

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

En esta función, la variable es ${\displaystyle x}$, el mayor de los exponentes a los que está elevada esta variable indica el grado del polinomio, los coeficientes ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ son números reales.²​

Funciones polinómicas básicas[editar]

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Grado	Nombre	Expresión	Representación
0	función constante	y = a	Rectas horizontales o paralelas al eje x
1	función lineal	y = ax + b es un binomio del primer grado	Rectas oblicuas
2	función cuadrática	y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado	Parábolas
3	función cúbica	y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado	Curvas cúbicas

 función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

${\displaystyle f(x)=mx+b}$

donde ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle b}$ son constantes reales y ${\displaystyle x}$ es una variable real. La constante ${\displaystyle m}$ determina la pendiente o inclinación de la recta, y la constante ${\displaystyle b}$ determina el punto de corte de la recta con el eje vertical ${\displaystyle y}$.

En el contexto del análisis matemático, las funciones lineales son aquellas que pasan por el origen de coordenadas, donde ${\displaystyle b=0}$, de la forma:

${\displaystyle f(x)=mx}$

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

${\displaystyle f(x)=mx+b}$

también conocida como transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

Ejemplo[editar]

Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.

Una función lineal de una única variable dependiente ${\displaystyle x}$ es de la forma:

${\displaystyle y=mx+b}$

que se conoce como ecuación de la recta en el plano ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

${\displaystyle y=0,5x+2}$

en esta recta el parámetro ${\displaystyle m}$ es igual a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos ${\displaystyle x}$ en una unidad entonces ${\displaystyle y}$ aumenta en ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$unidad, el valor de ${\displaystyle b}$ es 2, luego la recta corta el eje ${\displaystyle y}$ en el punto ${\displaystyle y=2}$.

En la ecuación:

${\displaystyle y=-x+5}$

la pendiente de la recta es el parámetro ${\displaystyle m=-1}$, es decir, cuando el valor de ${\displaystyle x}$ aumenta en una unidad, el valor de ${\displaystyle y}$ disminuye en una unidad; el corte con el eje ${\displaystyle y}$ es en ${\displaystyle y=5}$, dado que el valor de ${\displaystyle b=5}$.

En una recta el valor de ${\displaystyle m}$ se corresponde al ángulo ${\displaystyle \theta }$ de inclinación de la recta con el eje de las ${\displaystyle x}$ a través de la expresión:

${\displaystyle m=\tan \theta }$.

Funciones lineales de diversas variables[editar]

Las funciones lineales de diversas variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

${\displaystyle f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y}$

representa un plano y una función

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}$

representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n + 1)-dimensional.