CÁLCULO

CÁLCULO DIFERENCIAL

El Criterio o prueba de la Tercera Derivada es un método del cálculo matemático en el que se utiliza la tercera derivada de una función para confirmar o comprobar los puntos de inflexión obtenidos a partir de la segunda derivada. Es un caso particular del Criterio de la derivada de mayor orden.

Procedimiento[editar]

1. Calcular las derivadas segunda y tercera de ${\displaystyle f(x)}$
2. Hallar los puntos que cumplen ${\displaystyle f''(x)=0}$
3. Evaluar ${\displaystyle f'''(x)}$ con los valores obtenidos en el paso anterior. Si es diferente de 0; entonces, es un punto de inflexión. En caso contrario, se debe usar el criterio de la derivada de mayor orden: si y solo si el menor orden de las derivadas superiores diferentes de cero es impar; el punto evaluado corresponde a uno de inflexión.
4. En la función original calculamos los valores de las ordenadas según se trate de una o de varias.

Derivada de la función logarítmica[editar]

Tenemos una función ${\displaystyle \,f(x)=\log _{a}x}$, por la definición de derivada:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}x}{h}}}$

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}\log _{a}\left({\frac {x+h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}\log _{a}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}}$

Que podemos trasformar en:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}\log _{a}\left[\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\right]^{\frac {1}{x}}\\&={\frac {1}{x}}\lim _{h\to 0}\log _{a}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\right]\end{aligned}}}$

Como si ${\displaystyle \,h}$ tiende a cero ${\displaystyle {\frac {x}{h}}\,}$ tiende a infinito, podemos hacer el siguiente cambio de variable:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}=\lim _{y\to \infty }\left(1+{\frac {1}{y}}\right)^{y}}$

Y por la definición del número e, tenemos que:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x}}\log _{a}(e)}$

O, lo que es lo mismo:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\ln(a)}}}$

En el caso particular del logaritmo natural:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}}$

Ya que ${\displaystyle \,\ln e=1}$.

Derivada de la función exponencial[editar]

Partimos de una función exponencial ${\displaystyle \,f(x)=a^{x}}$. Vamos a usar la derivada de la función inversa:

${\displaystyle [f^{-1}]^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }[f^{-1}(a)]}}}$

Dado que ${\displaystyle a^{x}\,}$ y ${\displaystyle \log _{a}x\,}$ son funciones inversas, tenemos que:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&={\frac {1}{[{\frac {1}{x}}\log _{a}(e)]\circ [a^{x}]}}\\&={\frac {1}{[{\frac {1}{a^{x}}}\log _{a}(e)]}}\\&={\frac {a^{x}}{\log _{a}(e)}}\end{aligned}}}$

O lo que es lo mismo:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln a}$

En el caso concreto que ${\displaystyle \,a=e}$, tenemos que:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

Ya que ${\displaystyle \,\ln e=1}$.

Derivación (álgebra abstracta)

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Dada un álgebra, una derivación es una aplicación lineal D del álgebra ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ en sí misma (${\displaystyle \scriptstyle D:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$) que para cualesquiera ${\displaystyle \scriptstyle f,g\in {\mathcal {A}}}$ satisface la regla de Leibniz:

${\displaystyle D(fg)=D(f)g+fD(g)\,}$

Ejemplos[editar]

• La derivada ordinaria constituye una derivación sobre el álgebra de funciones reales de variable real.
• El conjunto de derivadas parciales constituye una derivación sobre el conjunto de funciones ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$.
• La derivada covariante constituye una derivación sobre el álgebra tensorial formada por todos los campos tensoriales diferenciables definidos sobre una variedad diferenciable en la que se ha definido una conexión.
• La derivada de Lie con respecto a un campo vectorial es otra derivación diferente sobre el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad.