CÁLCULO

CÁLCULO DIFERENCIAL

integración simbólica es el problema de encontrar una fórmula para la antiderivada, o integral indefinida, de una función, f(x), i.e. encontrar la función diferenciable F(x) de tal manera que:

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x).}$

Esto también se escribe como:

${\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx.}$

Discusión[editar]

El término simbólico se usa para distinguir este problema de la integración numérica, en donde el valor de F de una cierta abscisa o cierto conjunto de abscisas, en lugar de una fórmula general para F, se busca.

Ambos problemas tenían importancia práctica y teorética antes de la edad de las computadoras digitales, pero ahora son más del campo de las ciencias de la computación, porque las computadoras se usan lo más frecuentemente para evaluar los instantes individuales hoy día.

Evaluar la derivada de una expresión es un processo directo para cual es fácil crear un algoritmo. La pregunta opuesta de evaluar la integral es mucho más difícil. Muchas expresiones que son relativamente sencillas no tienen integrales que se pueden expresar en una forma cerrada.

Un método que se llama el algoritmo de Risch es capaz de determinar si la integral de una función elemental(función hecha de una cantidad finita de funciones exponenciales, logaritmos, constantes, y radicaciones por composición y combinaciones usando los cuatro operaciones elementales) sea elemental y devolverlo si es verdad. En su forma original, el algoritmo de Risch no era apto para una implementación directa, y su implementación completa se llevaba mucho tiempo. Se implementó por la primera vez en el programa "Reduce". En el caso de funciones transcendentes;James H. Davenport resolvió e implementó el caso de funciones puramente algebraicas en Reduce; Manuel Bronstein resolvió e implementó el caso general en Axiom.

Sin embargo, el algoritmo de Risch sólo se aplica a las integrales indefinidas y la mayoría de las integrales de interés a los físicos, químicos teoréticos e ingenieros son 'integrales definidas que a menudo están relacionadas con las Transformadas de Laplace, las Transformadas de Fourier y las Transformadas de Mellin. Carente de un algoritmo general, los desarrolladores de los sistemas algebraicos computacionales, han implementado heurísticas basadas en el casamento de patrones y la explotación de funciones especiales, particularmente la función gamma incompleta¹​ Aunque esta estrategia es heurística en vez de algorítmico, Sin embargo, es un método eficaz de resolver muchas integrales definidas encontradas por aplicaciones prácticas de la ingeniería. Los sistemas anteriores tal como Macsyma tenían algunas integrales definidas relacionadas con funciones elementales dentro de una tabla de consulta. Aunque este método particular, que conllevan las derivadas de funciones especiales con respecto a sus parámetros, transformaciones de variables, casamentos de patrones, y otras manipulaciones, fue liderado por los desarrolladores del sistema Maple²​ y luego fueron emulados por Mathematica, Axiom, MuPAD y otros sistemas.

Ejemplo[editar]

Por ejemplo:

${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

es un resultado simbólico para una integral indefinida (C es una constante de integración),

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {(-1)^{3}}{3}}={\frac {2}{3}}}$

es un resultado símbolico para una integral definida, y

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx\approx 0,6667}$

es un resultado numérico para la misma integral definida.

 linealización se refiere al proceso de encontrar la aproximación lineal a una función en un punto dado. En el estudio de los sistemas dinámicos, la linealización es un método para estudiar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Este método se utiliza en campos tales como la ingeniería, la física, la economía, y la biología.

Linealización de una función[editar]

El resultado de la linealización de una función es una función lineal que normalmente se utiliza con finalidades de cálculo. La linealización es un método eficaz que se utiliza para aproximar el resultado de una función en un punto cualquiera ${\displaystyle x=a}$ a partir de la pendiente y del valor de la función ${\displaystyle y=f(x)}$ al punto ${\displaystyle x=b}$, siempre que f(x) sea derivable a ${\displaystyle [a,b]}$ (o a ${\displaystyle [b,a]}$)y que ${\displaystyle a}$ sea cercano a ${\displaystyle b}$. En resumen, la linealización aproxima el resultado de la función cerca del punto ${\displaystyle x=a}$.

Por ejemplo, se puede saber que ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$. Pero, sin calculadora, ¿cuál debería ser una buena aproximación de ${\displaystyle {\sqrt {4,001}}={\sqrt {4+0,001}}}$?

Para cualquier función dada ${\displaystyle y=f(x)}$, ${\displaystyle f(x)}$ se puede aproximar si es cercana a un punto donde es derivable y conocida. El requisito más básico es que, si ${\displaystyle L_{a}(x)}$ es la linealización de f(x) a x = a, ${\displaystyle L(a)=f(a)}$. La ecuación lineal de una ecuación cualquiera es una recta, dado un punto ${\displaystyle (H,K)}$ y la pendiente ${\displaystyle M}$. La fórmula general de esta ecuación es: ${\displaystyle y-K=M(x-H)}$.

Usando el punto ${\displaystyle (a,f(a))}$, ${\displaystyle L_{a}(x)}$ deviene ${\displaystyle y=f(a)+M(x-a)}$. Como las funciones derivables son localmente lineales, la mejor pendiente para sustituir en la ecuación, ha de ser la pendiente de la línea tangente a ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle x=a}$.

Mientras el concepto de linealidad local se aplica principalmente a puntos arbitrariamente próximos a ${\displaystyle x=a}$, este concepto de relativamente próximo funciona relativamente bien para aproximaciones lineales. Después de todo, una linealización es solamente una aproximación. La pendiente ${\displaystyle M}$ ha de ser, más exactamente, la pendiente de la recta tangente a ${\displaystyle x=a}$.

Una aproximación de f(x) a (x, f(x))

Visualmente, la figura muestra la recta tangente a ${\displaystyle f(x)}$ en x. A ${\displaystyle f(x+h)}$, donde ${\displaystyle h}$ es cualquier valor pequeño, positivo o negativo, f(x+h) es muy cercano al valor de la recta tangente al punto ${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$.

La ecuación para la linealización de una función a ${\displaystyle x=a}$es:

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a)\,}$

Para ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle f(a)}$ es ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle a}$. La derivada de ${\displaystyle f(x)}$ es ${\displaystyle f'(x)}$, y la pendiente de ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle a}$ es ${\displaystyle f'(a)}$.

Ejemplo[editar]

Para encontrar ${\displaystyle {\sqrt {4,001}}}$, se puede usar el hecho que ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$. La linealización de ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ en ${\displaystyle x=a}$ es ${\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}$, porque la función ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ define la pendiente de la función ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ en ${\displaystyle x=a}$. Haciendo ${\displaystyle a=4}$, la linealización a 4 es ${\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}$. En este caso ${\displaystyle x=4.001}$, por tanto ${\displaystyle {\sqrt {4,001}}}$es aproximadamente ${\displaystyle 2+{\frac {4,001-4}{4}}=2.00025}$. El valor exacto es cercano a 2.00024998, por tanto la aproximación dada por la linealización es extraordinariamente precisa.

Aplicaciones de la linealización[editar]

La linealización permite usar herramientas desarrolladas para el estudio de sistemas lineales en el estudio del comportamiento de sistemas no lineales en torno a un punto dado. La linealización de una función es el término de primer orden del desarrollo en la serie de Taylor en torno al punto de interés. Para sistemas definidos por la ecuación

${\displaystyle {\frac {d{\mathbf {x}}}{dt}}={\mathbf {F}}({\mathbf {x}},t)}$,

el sistema linealizado se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d{\mathbf {x} }}{dt}}=D{\mathbf {F} }({\mathbf {x_{0}} },t)\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {x_{0}} })}$

donde ${\displaystyle {\mathbf {x_{0}}}}$ es el punto de interés y ${\displaystyle D{\mathbf {F}}({\mathbf {x_{0}}})}$ es el Jacobiano de ${\displaystyle {\mathbf {F} }({\mathbf {x} })}$ evaluado a ${\displaystyle {\mathbf {x_{0}}}}$.

En análisis de estabilidad, se pueden utilizar los valores propios del jacobiano evaluado al punto de equilibriopara determinar la naturaleza del equilibrio si todos los valores propios son positivos, el equilibrio es inestable; si son todos negativos, el equilibrio es estable; y si los valores son de signos mixtos, el equilibrio es un punto de silla. Cualquier valor propio complejo aparecerá en un par de complejos conjugados (ya que los valores propios son las raíces del polinomio anulador que tiene coeficientes reales) e indicará un equilibrio espiral (o circular si los componentes reales son cero en torno al equilibrio).

notación de Leibniz —llamada así en honor de Gottfried Wilhelm Leibniz, filósofo y matemático alemán del siglo XVII—, utiliza los símbolos dx y dy para representar incrementos infinitamente pequeños (o infinitesimales) de x e y, respectivamente, al igual que Δx y Δy representan incrementos finitos de x e y, respectivamente.

Historia[editar]

El método de Newton-Leibniz de cálculo infinitesimal se introdujo en la segunda mitad del siglo XVII. Mientras que Newton no tenía una notación estándar para la integración, Leibniz comenzó a usar el carácter ${\displaystyle \int }$. Se basó en el carácter de la palabra latina summa ('suma'), que escribió ſummacon la alargada entonces comúnmente utilizado en Alemania en el momento. Este uso apareció por primera vez públicamente en su artículo De Geometria, publicado en Acta Eruditorum de junio de 1686,²​ pero que había estado utilizando en manuscritos privados por lo menos desde 1675.³​

Los matemáticos ingleses emplearon la notación de puntos de Newton hasta 1803 cuando Robert Woodhousepublicó una descripción de la notación continental. Más tarde, la Sociedad Analítica de la Universidad de Cambridge promovió la adopción de la notación de Leibniz.

Definición de la notación[editar]

La notación de Leibniz tradicional ${\displaystyle y=f(x)\;}$ es utilizada para indicar que la variable independiente es ${\displaystyle x\;}$ y la variable dependiente es ${\displaystyle y\;}$, por lo tanto existen otras notaciones comunes para la derivada:⁴​

${\displaystyle f'(x)=y'={\cfrac {dy}{dx}}={\cfrac {df}{dx}}={\cfrac {d}{dx}}\;f(x)=Df(x)=D_{x}f(x)\;}$

• donde las notaciones ${\displaystyle \scriptstyle D\;}$ y ${\displaystyle \scriptstyle {\cfrac {dy}{dx}}\;}$ son operadores de derivación porque indican la operación de derivación.
• La notación ${\displaystyle \scriptstyle {\cfrac {dy}{dx}}\;}$ introducida por Leibniz es solo un sinónimo de ${\displaystyle \scriptstyle y=f'(x)\;}$. Sin embargo, es una notación útil cuando se usa en la notación de incrementos. Con base en la ecuación razón (instantánea) de cambio de ${\displaystyle y\;}$ con respecto a ${\displaystyle x\;}$ dónde ${\displaystyle \scriptstyle x=x_{1}\;}$, ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{\Delta x\to 0}{\Delta y \over \Delta x}=\lim _{x_{2}\to x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}}$, al escribir de nuevo la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma:

${\displaystyle {\cfrac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta y \over \Delta x}\;}$

Por lo tanto, en esta notación se representa la operación de diferenciar. Dada una función f de x:

${\displaystyle y=y(x)\;}$

mediante el operador derivada de la función:

${\displaystyle y'={\cfrac {d}{dx}}\;y(x)}$

se representaría de este modo

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}}$

como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena. Dadas las funciones:

${\displaystyle y=y(x)\;}$

${\displaystyle x=x(t)\;}$

que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto^{[cita requerida]})

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {dy}{dt}}}$

o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales:

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=kN\longrightarrow \quad {\frac {dN}{N}}=kdt}$

Aparición en Principia[editar]

En la primera edición americana del libro se hace una introducción a la vida de Newton. En esta introducción, redactada por N. W. Chittenden, se comenta en una de las páginas que

el método diferencial es único y el mismo que el método de las fluxiones, excepto en el nombre y en la notación; el señor Leibniz llama a estas cantidades diferencias, a las cuales el señor Newton llama momentos, o fluxiones; y [Leibniz] las nota con una letra d, una notación no usada por el señor Newton.⁵​

Aplicaciones[editar]

La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, laplaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial.