CÁLCULO

INTEGRALES

Teorema de Mamikon: el área de los distintos conjuntos de piezas tangentes es la misma. En este caso, la curva original de la que se han extraído las piezas tangentes es un semicírculo.

El cálculo visual, inventado por Mamikon Mnatsakanian (conocido como Mamikon), es un enfoque para resolver gráficamente varios tipos de problemas de cálculo integral.¹​ Muchos problemas que de otra manera parecerían bastante difíciles, se solucionan gracias a este método con apenas una línea de cálculo. Estos sorprendentes resultados estarían relacionados con lo que el matemático Martin Gardner llamaba "Soluciones ¡Ajá!", o Roger Nelsen denominaba una demostración sin palabras.

Descripción[editar]

Ilustración del método de Mamikon demostrando que las áreas de dos anillos con la misma longitud de cuerda son las mismas independientemente de los radios internos y externos.⁴​

Mamikon ideó su método en 1959 cuando era estudiante, primero aplicándolo a un problema de geometría conocido: determinar el área de un anillo (corona circular), dada la longitud de la cuerda tangente a la circunferencia interior. Sorprendentemente, no se necesita información adicional, la solución no depende de las dimensiones internas y externas del anillo.

El enfoque tradicional implica el álgebra y la aplicación del teorema de Pitágoras. El método de Mamikon, sin embargo, visualiza una construcción alternativa del anillo: primero se dibuja el círculo interno, luego se hace una tangente de longitud constante para recorrer la circunferencia, "barriendo" el anillo a medida que avanza.

Ahora bien, si todas las tangentes (de longitud constante) utilizadas en la construcción del anillo se trasladan para que sus puntos de tangencia coincidan, el resultado es un disco circular de radio conocido (y área fácilmente calculable). De hecho, dado que el radio del círculo interno es irrelevante, se podría haber comenzado con un círculo de radio cero (un punto) y barrer un círculo alrededor de un círculo de radio cero, lo que es indistinguible de simplemente rotar un segmento de línea alrededor de uno de sus puntos finales y barrer un círculo.

La idea de Mamikon era reconocer la equivalencia de las dos construcciones; y dado que son equivalentes, deben poseer áreas iguales. Además, siempre que la longitud de la tangente sea constante, las dos curvas de partida no necesitan ser circulares, un hallazgo que no se prueba fácilmente con métodos geométricos más tradicionales. De aquí se deduce el Teorema de Mamikon:

El área de un barrido tangente es igual al área de su agregado tangente, independientemente de la forma de la curva original.

Aplicaciones[editar]

Tom Apostol ha elaborado una introducción al tema muy inteligible,⁵​ en la que demuestra que los problemas de determinar el área de una cicloide y de una tractriz pueden ser resueltos por estudiantes muy jóvenes. "Además, el nuevo método también resuelve algunos problemas" sin solución por métodos de cálculo y permite muchas generalizaciones impensables aún desconocidas en matemáticas". También menciona que combinar el método de Mamikon con la solución geométrica produce una nueva prueba del Teorema de Pitágoras. Las soluciones a muchos otros problemas aparecen en el sitio web de Mamikon dedicado al Cálculo Visual.

Área de una cicloide[editar]

Cálculo del área de una cicloide utilizando el teorema de Mamikon.

El área de una cicloide se puede calcular considerando el área entre la propia cicloide y el rectángulo circundante. Estas tangentes se pueden agrupar para formar un círculo. Si la circunferencia que genera la cicloide tiene radio r, este círculo también tiene radio r y área πr². El área del rectángulo es ${\displaystyle 2r\times 2\pi r=4\pi r^{2}}$. Por lo tanto, el área de la cicloide es ${\displaystyle 3\pi r^{2}}$: es 3 veces el área de la circunferencia generadora.

El grupo de tangentes puede verse como un círculo porque la cicloide se genera mediante una circunferencia y cada tangente a la cicloide forma un ángulo recto con la línea desde el punto de generación hasta el punto de giro. Por lo tanto, la tangente y la línea al punto de contacto forman un triángulo rectángulo en el círculo generador. Esto significa que agrupadas juntas, las tangentes describirán la forma del círculo generador.

fórmula de cuadratura de Cavalieri, llamada así por el matemático italiano del siglo XVII Bonaventura Cavalieri, es la integral

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,a^{n+1}\qquad n\geq 0,}$

y sus generalizaciones. Esta es la forma integral definida; la integral indefinida es:

${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.}$

Existen fórmulas adicionales, que se detallan más adelante. Junto con la linealidad de la integral, esta fórmula permite calcular las integrales de todos los polinomios.

El término "cuadratura" es un término tradicional para área; la integral se interpreta geométricamente como el área bajo la curva y = xⁿ. Los casos tradicionalmente importantes son y = x², la cuadratura de la parábola, conocida desde la antigüedad, e y = 1/x, la cuadratura de la hipérbola, cuyo valor es un logaritmo.

Fórmulas[editar]

n negativo[editar]

Para valores negativos de n (potencias negativas de x), se produce un singularidad en x = 0, y por lo tanto la integral definida se sitúa en 1, en lugar de 0, cediendo:

${\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.}$

Además, para valores negativos fraccionarios (no enteros) de n, la potencia xⁿ no está bien definida, por lo tanto, la integral indefinida solo se define para x positivo. Sin embargo, siendo n un entero negativo, la potencia xⁿ se define para todas las x no nulas, y las integrales indefinidas y las integrales definidas se pueden hallar sus valores, y por lo tanto se pueden calcular mediante un argumento de simetría, reemplazando x por −x, y limitando la integral definida negativa en −1.

Sobre los números complejos, la integral definida (para valores negativos de n y x) se puede definir a través de una integral de contorno, pero entonces depende de la elección de la ruta, específicamente de su índice: el problema geométrico es que la función define un recubrimiento con una singularidad en 0.

n = −1[editar]

También está el caso excepcional n = −1, produciendo un logaritmo en lugar de una potencia de  x:

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C,\qquad x>0}$

(donde "ln" significa el logaritmo natural, es decir, el logaritmo de base e = 2.71828 ...).

La integral incorrecta a menudo se extiende a valores negativos de x a través de la elección discrecional:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C,\qquad x\neq 0.}$

Téngase en cuenta el uso del valor absoluto en la integral indefinida; una manera de dar una forma unificada a la integral, y significa que la integral de esta función impar es una función par, aunque el logaritmo solo se define para las entradas positivas, y de hecho, diferentes valores constantes de C pueden ser elegidos a cualquier lado de 0, ya que estos no cambian la derivada. La forma más general es así:¹​

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx={\begin{cases}\ln |x|+C^{-}&x<0 amp="" ln="" x="">0\end{cases}}}$

Sobre los números complejos no existe una función primitiva global para 1/x, debido a que esta función define un espacio recubridor no trivial; esta forma es especial para los números reales.

Téngase en cuenta que la integral definida comenzando desde 1 no está definida para valores negativos de a, ya que pasa a través de una singularidad, aunque como 1/x es una función impar, puede limitarse la integral definida para potencias negativas en −1. Si se considera la posibilidad a usar integrales impropias y calcular el valor principal de Cauchy, se obtiene ${\displaystyle \int _{-c}^{c}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$ que también se puede argumentar por simetría (ya que el logaritmo es impar), por lo que ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$ no tiene importancia si la integral definida se limita en 1&nbspo −1. Al igual que con la integral indefinida, este planteamiento es especial para los números reales, y no se extiende a los números complejos.

Fórmulas alternativas[editar]

La integral también se puede escribir con índices intercambiados, lo que simplifica el resultado y hace que la relación con la diferenciación n-dimensional y el n-cubo sea más clara:

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}a^{n}\qquad n\geq 1.}$

${\displaystyle \int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}+C\qquad n\neq 0.}$

De manera más general, estas fórmulas se pueden dar como:

${\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

Más generalmente:

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{-}&x<-b a="" amp="" ax="" b="" frac="" left="" ln="" right="" x="">-b/a\end{cases}}}$

Demostración[editar]

La prueba moderna es utilizar una función primitiva: la derivada de xⁿ se muestra como nxⁿ⁻¹, para enteros no negativos. Esto se demuestra a partir del teorema del binomio y la definición de derivada, y por lo tanto, por el teorema fundamental del cálculo, la función primitiva es la integral. Este método falla para ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx,}$ ya que la función primitiva candidata es ${\displaystyle {\frac {1}{0}}\cdot x^{0}}$, que no está definida debido a la división por cero. La función logaritmo, que es la función primitiva real de 1/x, debe introducirse y examinarse por separado.

La derivada ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}$ se puede geometrizar como el cambio infinitesimal en el volumen del n-cubo, que es el área de n caras, cada una de las dimensiones n −  1.
Integrar esta imagen (apilando las caras) geometriza el teorema fundamental del cálculo, produciendo una descomposición del n cubo en n pirámides, que es una prueba geométrica de la fórmula de cuadratura de Cavalieri.

Para enteros positivos, esta demostración puede ser geometrizada:²​ si se considera la cantidad xⁿ como el volumen del n-cubo (un hipercubo tiene n dimensiones), entonces la derivada es la modificación del volumen a medida que se cambia la longitud del lado: esto es xⁿ⁻¹, que puede interpretarse como el área de n caras, cada una de las dimensiones n − 1 (fijando un vértice en el origen, estas son las n caras que no tocan el vértice), que corresponde al cubo que aumenta de tamaño al crecer en la dirección de estas caras, en el caso tridimensional, sumando 3 cuadrados infinitesimalmente finos, uno por cada una de estas caras. Por el contrario, geometrizando según el teorema fundamental del cálculo, acumulando estos infinitesimales (n − 1) cubos produce una (híper)-pirámide, y n de estas pirámides forman el n -cubo, que produce la fórmula. Además, hay un n-pliegue de simetría cíclica del n-cubo alrededor de la diagonal que recorre estas pirámides (por lo que una pirámide es un dominio fundamental). En el caso del cubo (3-cubo), así es como el volumen de una pirámide se estableció originalmente rigurosamente: el cubo tiene una simetría triple, con un dominio fundamental de pirámides, dividiendo el cubo en 3 pirámides, que corresponden al hecho de que el volumen de una pirámide es un tercio de la base multiplicado por la altura. Esto ilustra geométricamente la equivalencia entre la cuadratura de la parábola y el volumen de una pirámide, que se calcularon clásicamente por diferentes medios.

Existen pruebas alternativas, por ejemplo, Fermat calculó el área mediante el truco algebraico de dividir el dominio en ciertos intervalos de longitud desigual;³​ alternativamente, se puede probar esto reconociendo una simetría del gráfico y = xⁿ bajo una dilatación no homogénea (por d en la dirección x y por dⁿ en la dirección y, algebraizando las n dimensiones de la dirección y),⁴​ o deduciendo la fórmula para todos los valores enteros expandiendo el resultado para n = −1 y comparando los coeficientes.⁵​

Historia[editar]

Arquímedes calculó el área de segmentos parabólicos en su obra La cuadratura de la parábola.

Una discusión detallada de la historia de los cálculos de cuadratuda, con las fuentes originales, se da en (Laubenbacher y Pengelley, 1998, Capítulo 3, Análisis: Cálculo de Áreas y Volúmenes); véase también historia del cálculo y la historia de la integración.

El caso de la parábola fue probado en la antigüedad por el matemático de la Grecia clásica Arquímedes en su obra "La cuadratura de la parábola" (siglo III aC), a través del método de exhaustación. Cabe destacar que Arquímedes calculó el área dentro de una parábola, el llamado segmento parabólico, en lugar del área bajo el gráfico y = x², enfoque este último propio de la perspectiva de la geometría analítica. Estos son cálculos equivalentes, pero reflejan una diferencia de perspectiva. Los antiguos griegos, entre otros, también calcularon el volumen de una pirámide o un cono, que son matemáticamente equivalentes.

En el siglo XI, el matemático islámico Alhacén calculó las integrales de curvas cúbicas y cuárticas (grados tres y cuatro) a través de inducción matemática, en su "Libro de Óptica".⁶​

Cavalieri calculó el caso de los enteros superiores para n hasta 9, usando su método de indivisibles (Principio de Cavalieri).⁷​ Interpretó estas integrales superiores como cálculos de volúmenes de mayor dimensión, aunque solo de manera informal, dado que aún no estaba familiarizado con este tipo de objetos geométricos.⁸​ Este método de cuadratura fue luego extendido por el matemático italiano Evangelista Torricelli a otras curvas como la cicloide. Posteriormente, la fórmula fue generalizada a potencias fraccionarias y negativas por el matemático inglés John Wallis, en su obra Arithmetica Infinitorum (1656), que también estandarizó la noción y la notación de las potencias racionales, aunque Wallis interpretó incorrectamente el caso excepcional n = −1 (cuadratura de la hipérbola) antes de ser finalmente expuesto en términos rigurosos con el desarrollo de la integración.

Antes de la formalización de Wallis de las potencias fraccionarias y negativas, que permitían usar funciones explícitas ${\displaystyle y=x^{p/q},}$, estas curvas se manejaban implícitamente, a través de las ecuaciones ${\displaystyle x^{p}=ky^{q}}$ y ${\displaystyle x^{p}y^{q}=k}$ (p y q siempre enteros positivos) y se referían respectivamente a parábolas superiores e hipérbolas superiores (o parábolas superiores y hipérbolas superiores). Pierre de Fermat también calculó estas áreas (excepto en el caso excepcional de −1) mediante un truco algebraico: calculó la cuadratura de las hipérbolas superiores dividiendo la línea en intervalos iguales, y luego calculó la cuadratura de las parábolas superiores usando una división en intervalos "desiguales", presumiblemente invirtiendo las divisiones que utilizó para las hipérbolas.⁹​ Sin embargo, como en el resto de su trabajo, las técnicas de Fermat fueron trucos más ad hoc que tratamientos sistemáticos, y no se considera que jugasen un papel importante en el posterior desarrollo del cálculo.

Es de destacar que Cavalieri solo comparó áreas con áreas y volúmenes con volúmenes, que siempre tienen dimensiones, mientras que la noción de considerar un área como unidades de área (en relación con una unidad estándar), y por lo tanto carente de unidades, parece haberse originado con Wallis,¹⁰​¹¹​ quién estudió las potencias fraccionarias y negativas. La decisión de tratar los valores calculados como números sin unidades le permitió interpretar las dimensiones fraccionarias y negativas.

El caso excepcional de −1 (la hipérbola estándar) fue tratado con éxito por primera vez por Grégoire de Saint-Vincent en su Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni (1647), aunque un tratamiento formal tuvo que esperar hasta el desarrollo del logaritmo natural, lo que fue conseguido por Nikolaus Mercator en su Logarithmotechnia (1668).