CÁLCULO

CÁLCULO MULTIVARIABLE

múltiples variables complejas es una rama de las matemáticas que trata sobre las funciones del tipo

f(z₁, z₂, ..., z_n)

en el espacio Cⁿ de n-tuplas de números complejos. Como en el análisis complejo, que es el caso para n = 1 pero para una variable distinta, estas no son cualquier tipo de función: se supone que son funciones analíticas, de forma tal que en forma local ellas son series de potencias de las variables z_i.

núcleo de Bergman de funciones de varias variables complejas, es un núcleo integral para el espacio de Hilbert de todas las funciones holomorfas de cuadrado integrable sobre un dominio ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$.

Definición[editar]

Sea L²(D) el espacio de Hilbert de las funciones de cuadrado integrable sobre D, y sea L^2,h(D) el subespacio de funciones que también son holomorfas sobre D: es decir,

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

donde H(D) es el espacio de funciones holomorfas sobre D. Entonces L^2,h(D) es un espacio de Hilbert, es decir, es un subespacio vectorial cerrado de L²(D), y por tanto completo por sí mismo. Esto se sigue de la etimación fundamental para una función de cuadrado integrable en D:

(1)${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}}$

para cada subconjunto compacto K de D. por tanto la convergencia de una secuencia de funciones holomorfas en L²(D) implica también la convergencia compacta, y por tanto el límite también es una función holomorfa. Otra consecuencia de (1) es que, para cada z ∈ D, la evaluación

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}$

es un funcional continuo sobre L^2,h(D). Por teorema de representación de Riesz, este funcional puede representarse como el producto interno de un elemento de L^2,h(D), es decir,

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

El núcloe de Bergman kernel K se define entonces como:

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

El núcleo K(z,ζ) es holomorfo en z y antiholomorfo in ζ, y además satisface que

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

 función especial es una función matemática particular, que por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones más o menos establecidos.

No existe una definición general de las mismas, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales son también consideradas funciones especiales.

Tablas de funciones especiales[editar]

Muchas funciones especiales se originan como soluciones a ecuaciones diferenciales o integrales de funciones elementales. Por lo tanto, las tablas de integrales ¹​ por lo general incluyen la descripción de algunas funciones especiales, y las tablas de funciones especiales ²​ incluyen las integrales más importantes; por lo menos, la representación integral de las funciones especiales.

Lenguajes computacionales de cálculo analítico tales como Mathematica³​ por lo general reconocen a la mayoría de las funciones especiales. Sin embargo, no todos los sistemas de cálculo poseen algoritmos eficientes de evaluación, especialmente en el plano complejo.

Nomenclatura utilizada en las funciones especiales[editar]

En la mayoría de los casos, se utiliza la siguiente notación estándar para indicar una función especial: el nombre de la función (escrita en letra Roman), subíndices, si es que tiene, se abre paréntesis, y luego sus variables independientes, separados por comas. Esta notación permite traducir las expresiones a lenguajes algorítmicos sin ambigüedades. Algunas funciones con nomenclaturas reconocidas internacionalmente son sin, cos, exp, erf, erfc, ln.

A veces, una función especial puede tener varios nombres. El logaritmo natural puede ser llamado Log, log o ln, según cual sea el contexto. La tangente puede ser llamada Tan, tan o tg (especialmente en la literatura rusa); arctangent puede ser llamado atan, arctg, ang tan,${\displaystyle \tan ^{-1}}$. La función de Bessel puede ser llamada ${\displaystyle ~{\rm {J}}_{n}(x)~}$; y por lo general, ${\displaystyle ~J_{n}(x)~}$, ${\displaystyle ~{\rm {besselj}}(n,x)~}$, ${\displaystyle ~{\rm {BesselJ}}[n,x]~}$ hace referencia a la misma función.

A menudo los subíndices se utilizan para indicar argumentos, que se supone es un número entero. En algunos casos, el punto y coma (;) o aún la barra invertida (\) son usados como separadores. Esto hace más compleja la traducción a lenguajes algorítmicos y puede prestarse a confusiones.

Un superíndice puede no solo indicar un exponencial, sino una modificación de la función. Por ejemplo, ${\displaystyle ~\cos ^{3}(x)~}$, ${\displaystyle ~\cos ^{2}(x)~}$, ${\displaystyle ~\cos ^{-1}(x)~}$ puede hacer referencia a ${\displaystyle ~\cos(x)^{3}~}$, ${\displaystyle ~\cos(x)^{2}~}$, ${\displaystyle ~\cos(x)^{-1}~}$ (o ${\displaystyle ~\arccos(x)~}$), respectivamente; pero ${\displaystyle ~\cos ^{2}(x)~}$ casi nunca significa ${\displaystyle ~\cos(\cos(x))~}$.

El logaritmo natural se lo puede escribir como Log(x), log(x) o ln(x), según el contexto.

función elemental es una función construida a partir de una cantidad finita de funciones elementales fundamentales y constantes mediante operaciones racionales (adición, sustracción, multiplicación y división) y la composición de funciones. Usando exponenciales, logarítmicas, potenciales, constantes, y las funciones trigonométricas y sus inversas, todas consideradas dentro del grupo de funciones elementales fundamentales.¹​

Las funciones elementales son un subconjunto del conjunto de las funciones generadas a partir de las funciones especiales, mediante operaciones elementales y composición.

Lista de funciones elementales simples[editar]

Hay otros autores que denominan funciones elementales fundamentales,²​ que tampoco consideran a la función constante como función elemental fundamental. Hay distintos procedimientos para representar las funciones. Sin embargo, asume peculiar importancia el procedimiento de representarlas por fórmulas. Esto se ve en las que se denominan funciones elementales o bien simples, entre³​ ellas:

1. Función constante: ${\displaystyle f(x)=c}$
2. Función identidad: ${\displaystyle f(x)=x}$
3. Función Cuadrática: ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$
4. Función Cúbica: ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$
5. Función raíz: ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$, con x ≥ 0.
6. Función Potencial: ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$, n ∈ ℝ con n ≠ 0. Notemos que la función cuadrática, la función cúbica y la función raíz cuadrada son casos particulares de esta función.
7. Función exponencial: ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$, x ∈ ℝ y a ∈ ℝ₊.
8. Función logarítmica: ${\displaystyle f(x)=\log _{a}(x)}$, x ∈ ℝ₊; a ∈ ℝ₊ con a ≠ 1.

Funciones trigonométricas

1. Función seno: ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$
2. Función coseno: ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$
3. Función tangente: ${\displaystyle f(x)=\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}$, con x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.
4. Función secante: ${\displaystyle f(x)=\sec(x)}$, con x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.
5. Función cosecante: ${\displaystyle f(x)=\csc(x)}$, con x ≠ kπ; k ∈ ℤ.
6. Función cotangente: ${\displaystyle f(x)=\cot(x)}$, con x ≠ kπ; k ∈ ℤ.

Funciones trigonométricas inversas

1. Función arcoseno: ${\displaystyle f(x)=\arcsin(x)}$, con x ∈ [-1, 1]
2. Función arcocoseno: ${\displaystyle f(x)=\arccos(x)}$, con x ∈ [-1, 1]
3. Función arcotangente: ${\displaystyle f(x)=\arctan(x)}$

Generación de funciones elementales[editar]

Si las funciones anteriores se combinan, pudiendo usar, un número finito de veces, las operaciones de adición, resta, multiplicación, división y composición de funciones, se consiguen, nuevamente, funciones elementales. Ciertamente, más complicadas que las de la lista precedente⁴​

Ejemplos[editar]

Un ejemplo de función elemental es el siguiente:

${\displaystyle F(x):={\frac {e^{\tan(x)}}{1-x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+\ln ^{2}x}}\,\right)}$

Esta función es elemental ya que puede obtenerse recursivamente a partir de combinaciones de funciones claramente elementales:

${\displaystyle f_{1}(x)=\tan(x)\,}$

${\displaystyle f_{2}(x)=e^{x}\,}$

${\displaystyle f_{3}(x)=x^{2}\,}$

${\displaystyle f_{4}(x)=\ln(x)\,}$

${\displaystyle f_{5}(x)={\sqrt {x}}\,}$

${\displaystyle f_{6}(x)=\sin(x)\,}$

En el siguiente orden:

1. ${\displaystyle g_{1}(x)=f_{1}(x)=\tan(x)\quad \rightarrow \quad g_{2}(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=e^{\tan(x)}\,}$,
2. ${\displaystyle g_{3}(x)={\frac {g_{2}(x)}{1-f_{3}(x)}}={\frac {(f_{2}\circ f_{1})(x)}{1-f_{3}(x)}}={\frac {e^{\tan(x)}}{1-x^{2}}}}$
3. ${\displaystyle h_{1}(x)=f_{4}(x)\quad \rightarrow \quad h_{2}(x)=f_{3}(h_{1}(x))=(f_{3}\circ f_{4})(x)=\ln ^{2}x}$
4. ${\displaystyle h_{3}(x)=1+h_{2}(x)=1+\ln ^{2}x\quad \rightarrow \quad h_{4}(x)=f_{5}(h_{3}(x))={\sqrt {1+\ln ^{2}x}}}$
5. ${\displaystyle h_{5}(x)=f_{6}(h_{4}(x))=(f_{6}\circ h_{4})(x)=\sin({\sqrt {1+\ln ^{2}x}})}$
6. ${\displaystyle F(x)=g_{3}(x)\cdot h_{5}(x)}$

Otro ejemplo curioso de función elemental es el siguiente:

${\displaystyle \,\ln(-x^{2}).}$

El dominio de esta última función no incluye ningún número real.

Un ejemplo de una función que no es elemental es la función error:

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}$

hecho que no puede ser reconocido a simple vista a partir de la definición de la función elemental pero que se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch.

El concepto de funciones elementales fue desarrollado por Joseph Liouville en una serie de trabajos entre 1833 y 1841. Durante la década de 1930 Joseph Fels Ritt fue pionero en el tratamiento algebraico de las funciones elementales.

Álgebra diferencial[editar]

En el contexto del álgebra diferencial se define matemáticamente una función elemental, o una función expresada en forma elemental. Un álgebra diferencial es un álgebra sobre un cuerpo con la operación adicional de derivada (versión algebraica de la diferenciación). Utilizando la operación derivación se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones pueden ser usadas en extensiones de cuerpos del álgebra. Las funciones elementales son una extensión de las funciones racionales, se pueden añadir dos tipos de extensiones trascendentales (los logaritmos y las exponenciales).

Un cuerpo diferenciable F es un campo F₀ (las funciones racionales sobre los números racionales, por ejemplo) en el que se ha definido una aplicación de diferenciación u → ∂u (donde ∂u es una nueva función, de tal manera que para dos elementos del campo F₀, la operación de diferenciación es lineal:

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$

y satisface la regla del producto:

${\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v\,.}$

Un elemento h es una constante si ∂h = 0. Una función u de extensión diferencial F[u] de un campo diferencial Fes una función elemental sobre F si la función u

• es algebraica en F, o
• es una exponencial, que es, ∂u = u ∂a para a ∈ F, o
• es un logaritmo, que es, ∂u = ∂a / a para a ∈ F.

(esto es el ).