CÁLCULO

CÁLCULO DIFERENCIAL

forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad +\infty -\infty }$

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación[editar]

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación cno es información suficiente para evaluar el límite

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado[editar]

La forma 0/0[editar]

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x³, x/x, y x²/x se van a ${\displaystyle \scriptstyle \infty }$, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, ${\displaystyle \scriptstyle \infty }$ o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}}$

La forma ∞/∞[editar]

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}$

Producto indeterminado[editar]

La forma indeterminada 0 • ∞

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }$

Diferencia indeterminada[editar]

En los casos en que el límite de una diferencia es ${\displaystyle \infty }$, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ${\displaystyle \infty -\infty }$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada[editar]

• La forma 0⁰

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.}$

• La forma ∞⁰
• La forma 1^∞

Ejemplo: el siguiente límite¹​

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}$, es de la forma ${\displaystyle 0^{0}}$; considerando

${\displaystyle y=x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}$

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

${\displaystyle \ln y={\frac {3}{4+\ln x}}\ln x}$ aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

${\displaystyle \ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3}$ de manera que el límite sería

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}}$

Tabla de formas indeterminadas[editar]

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condiciones	Transformación a 0/0	Transformación a ∞/∞
${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty \over \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle \qquad 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad +\infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$

función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.

La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.

Definición[editar]

Una función de múltiples variables ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ se dirá diferenciable en ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ si, siendo ${\displaystyle \Omega }$ un conjunto abierto en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, existe una transformación lineal ${\displaystyle T\,}$ que cumpla:

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+T(h)+\theta (h)\;}$

Donde ${\displaystyle \theta (h)}$ cumple que:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\lVert \theta (h)\rVert }{\lVert h\rVert }}=0}$

Es decir, ${\displaystyle \theta (h)}$ es de orden más pequeño que ${\displaystyle h\,}$ cuando ${\displaystyle h\,}$ tiende a 0. Necesariamente la transformación lineal ${\displaystyle T\;}$ es la única cosa que se ve más claramente si adoptamos como definición de función derivable aquella para la cual se cumple que exista una aplicación lineal tal que:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-T(h)\|}{\|h\|}}=0}$

Visualización geométrica[editar]

Para fijar ideas, usando una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ cuyo gráfico sería una "sábana". La función es diferenciable si la "sábana" no está "quebrada" en los puntos donde es diferenciable, o sea la función es "suave" en todos los puntos de su dominio, existiendo la matriz jacobiana o derivada en esos puntos.

Funciones reales de una variable[editar]

Una función real de una variable que admite derivada en todos sus puntos y tal que dicha derivada sea continua es trivialmente una función diferenciable. Por esa razón para funciones reales de una variable el concepto de función derivable y función diferenciable son básicamente equivalentes.

Sin embargo, para funciones de más de una variable la situación es más complicada. Ya que la existencia de derivadas no comporta que una función sea automáticamente diferenciable.

Ejemplos para funciones de dos variables[editar]

De función diferenciable[editar]

La función f(x,y) es diferenciable si x, y son diferentes de 0, puesto que existen las derivadas parciales en un entorno de cualquier punto y son continuas en él:

${\displaystyle f(x,y)=e^{x+y}\;}$

De función derivable no diferenciable[editar]

En cambio la función g(x,y) es continua, admite derivadas según las variables x e y, e incluso derivadas direccionales, sin embargo no es diferenciable en (0,0):

${\displaystyle g(x,y)={\frac {x|y|}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

De función no-continua y no diferenciable[editar]

La función ${\displaystyle h(x,y)\;}$ no es diferenciable en (0,0) puesto que no es continua en ese punto ni existen derivadas parciales de cualquier orden en el punto (0,0):

${\displaystyle h(x,y)={\frac {xy^{2}}{x^{4}+y^{4}}}}$

Función diferenciable de varias variables[editar]

Artículo principal: Cálculo multivariable

Una aplicación vectorial entre varias variables de la forma ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ se dice diferenciable en un punto ${\displaystyle x_{0}}$ si puede encontrarse una matriz ${\displaystyle \mathbf {M} }$, llamada matriz jacobiana, que representa una aplicación lineal ${\displaystyle L_{f}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ tal que:

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\|f(x_{0}+\varepsilon \mathbf {h} )-f(x_{0})-\mathbf {M} \mathbf {h} \|}{\varepsilon }}=0}$

O de forma equivalente:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-(x-x_{0})\mathbf {M} \|}{\|x-x_{0}\|}}=0}$

donde ${\displaystyle x_{0}}$ es un punto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,es decir ${\displaystyle (x-x_{0})=(x_{1}-x_{01},x_{2}-x_{02},...,x_{m}-x_{0m})}$ y ${\displaystyle \mathbf {M} }$, la transformación lineal, que viene dada por la matriz jacobiana de ${\displaystyle f}$ en el punto ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{m}}$

En esas condiciones se puede ver la función ${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{m})=(f_{1}(x_{1},\dots ,x_{m}),\dots ,f_{n}(x_{1},\dots ,x_{m}))}$admite derivadas parciales de todas las variables y además resulta:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\cfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{m}}}\end{pmatrix}}}$