MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

integral de Lebesgue es la extensión y reformulación del concepto de integral de Riemann a una clase más amplia de funciones reales, así como extiende los posibles dominios en los cuales estas integrales pueden definirse. Es una herramienta que resuelve casos que no pueden la integral de Riemann o la de Stieljes.

La integral de Lebesgue desempeña un papel muy importante en el análisis real, la teoría de la medida, teoría de probabilidades y en muchas otras ramas de la matemática. Debe su nombre al matemático francés Henri Lebesgue (1875-1941) que propuso la noción y demostró las principales propiedades de este tipo de integral en 1904.

La integral de una función no negativa puede ser interpretada como el área bajo la curva.

Introducción[editar]

Hacía mucho que se sabía que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía definirse como la integral y calcularse usando técnicas de aproximación de la región mediante rectángulos o polígonos. Pero como se necesitaba considerar funciones más irregulares, se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.

La integral de una función f entre los límites de integración a y b puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero... ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas o con comportamiento errático? En general, ¿cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de "área bajo la curva" tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental.

Como parte del gran avance de las matemáticas en el siglo XIX, se hicieron varios intentos de poner sobre bases sólidas el cálculo integral. La integral de Riemann, propuesta por Bernhard Riemann (1826-1866), sentó la primera base sólida sobre la cual se desarrolló la integral. La definición de Riemann empieza con la construcción de una sucesión de áreas rectangulares fácilmente calculables que convergen a la integral de una función dada. Esta definición es buena en el sentido que provee las repuestas adecuadas y esperadas para muchos problemas ya resueltos, así como importantes y útiles resultados para muchos otros problemas.

Sin embargo, la integración de Riemann no funciona bien al tomar límites de sucesiones de funciones, dificultando su análisis. Esto es de vital importancia, por ejemplo, en el estudio de la serie de Fourier, la transformada de Fourier y otros temas. La integral de Lebesgue permite saber cómo y cuándo es posible tomar límites bajo el signo de la integral.

La definición de Lebesgue también hace posible calcular integrales para una clase más amplia de funciones. Por ejemplo, la función de Dirichlet, que es 0 cuando su argumento es irracional y 1 en otro caso (racional), tiene integral de Lebesgue, pero no de Riemann.

Historia[editar]

Construcción de la integral de Lebesgue[editar]

La exposición que sigue de la definición más común de esta integral, en la que la teoría de integración se compone de dos partes, a saber:

1. Una teoría de conjuntos medibles y medidas en estos conjuntos.
2. Una teoría de funciones medibles e integrales en estas funciones.

Teoría de la medida[editar]

La teoría de la medida se creó para disponer de un análisis detallado de la noción de longitud de los subconjuntos de puntos de la recta real y, de forma más general, área y volumen de subconjuntos de espacios euclideos. En particular, esta teoría nos brinda una respuesta sistemática a la pregunta: ¿a qué subconjuntos de R se les puede asociar una longitud? Como se comprobó al desarrollar la teoría de conjuntos, es imposible asociar una longitud a cualquier subconjunto de R de tal manera que se cumplan las propiedades de invariancia por traslación y de aditividad con respecto a la unión conjuntos. Estos conjuntos se llaman no medibles.

Naturalmente, la integral de Riemann usa implícitamente el concepto de longitud. Un elemento básico de este tipo de integral son los rectángulos de base [a, b] y altura [c, d] cuya longitud es (b - a) y cuya área es (b-a)·(d-c).

En el desarrollo de la teoría los libros más modernos (posteriores a 1950) se usa el método axiomático para definir la medida, es decir, que una medida es una función μ definida sobre ciertos subconjuntos de un conjunto Eque satisface una lista de propiedades.

Integración de Lebesgue[editar]

Consideremos μ una medida no negativa sobre σ-álgebra X de subconjuntos de E. Por ejemplo, E puede ser un espacio euclídeo n dimensional Rⁿ o algún subconjunto medible de él, X puede ser el σ-álgebra de todos los subconjuntos medibles de E, y μ puede ser la medida de Lebesgue. En la teoría de la probabilidad μ puede ser una función de probabilidad sobre un espacio de probabilidad E.

En la teoría de Lebesgue, el cálculo de integrales se restringe a un tipo de funciones llamadas funciones medibles. Una función es medible si la preimagen de cualquier intervalo cerrado pertenece a X, es decir, es un conjunto medible:

${\displaystyle f^{-1}([a,b])\in X{\mbox{ para todo }}a$

El conjunto de funciones medibles es cerrado bajo operaciones algebraicas, aunque más importante es el hecho de que esta clase también es cerrada al tomar límites de sucesiones de funciones:

${\displaystyle \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}}$

es medible si las funciones que forman los términos de la sucesión {f_k}, k ${\displaystyle \in }$ N, son también medibles.

Vamos a construir la integral de Lebesgue : ${\displaystyle \int _{E}fd\mu \quad }$ para funciones reales medibles f construidas sobre E en varias etapas calculando las integrales de funciones sencillas:

Función característica o indicadora: Dado un subconjunto S medible contenido en E, la función característica 1_S toma valor 1 para los elementos pertenecientes a S y 0 para el resto.

${\displaystyle \mathbf {1} _{S}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{si}}\ x\in S\\0&{\mbox{si}}\ x\notin S\end{matrix}}\right.}$

La integral de esta función ha de ser la medida del conjunto S.

${\displaystyle \int 1_{S}d\mu =\mu (S)}$

Función simple: Una función simple es de la forma ${\displaystyle \phi =\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$, donde a_k son números reales y la suma es finita.

A partir del caso anterior más sencillo se puede asumir que el resultado de integrar una función simple sea:

${\displaystyle \int \phi d\mu =\int {\bigg (}\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}{\bigg )}d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}d\mu =\sum _{k}a_{k}\mu (S_{k})}$

A pesar de que una función simple se pueda expresar como distintas sumas, el resultado de la integral no varía.

Función no negativa: Sea f una función no negativa medible sobre E. Se define

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}\phi \,d\mu :\phi \leq f,\ \phi \ {\mbox{simple}}\,\right\}}$

Funciones con signo: Una función con signo definida sobre E se puede escribir como suma de dos funciones no negativas:

${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},\quad }$

donde

${\displaystyle f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{si}}\quad f(x)>0\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{si}}\quad f(x)<0 amp="" annotation="" caso="" en="" end="" matrix="" mbox="" otro="" right.="">$

Si ambas integrales verifican

${\displaystyle \int f^{+}d\mu <\infty ,\quad \int f^{-}d\mu <\infty ,}$

entonces se puede definir la integral de Lebesgue de f (x) de la siguiente manera

${\displaystyle \int fd\mu =\int f^{+}d\mu -\int f^{-}d\mu }$

Interpretación intuitiva[editar]

Folland²​ resumió los dos distintos modos de aproximarse al concepto de integral de la siguiente forma: "para calcular la integral de Riemann se particiona (divide) el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue "se particiona el rango de f".

Imaginemos que queremos calcular el área de una curva (ver figura). Tenemos dos métodos distintos para encontrar una aproximación a esta área:

Integral de Riemann-Darboux (en azul) e integral de Lebesgue (en rojo).

• Método de Riemann-Darboux, en el cual dividimos la curva en columnas con la misma base y altura la correspondiente a la curva en el centro de la columna. El área de cada columna es igual a su altura por su base, y el área total de la curva viene dado aproximadamente por la suma de las áreas de todas las columnas. Este caso es equivalente a particionar el intervalo horizontal [a, b].

• Método de Lebesgue, en el cual dividimos la curva en capas horizontales de igual altura aunque de distinto área, debido a las diferentes longitudes de la base (μ(S_k)). El área total de la curva será aproximado por la suma de las áreas de todas las capas (a_kμ(S_k)). Este caso es equivalente a particionar el rango de f (intervalo vertical de la función).

Ejemplo: la función de Dirichlet ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$[editar]

Consideremos la función característica de los racionales ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ definida sobre el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$. Esta función no es continua en ningún punto de su dominio, ¿será integrable?

• ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ no es integrable en el sentido de Riemann sobre ${\displaystyle [0,1]}$: no importa cuán fina sea una partición del intervalo ${\displaystyle [0,1]}$, cualquier subintervalo contendrá al menos un número racional y otro número irracional, ya que ambos conjuntos son densos en los reales. Por tanto, cualquier suma superior será 1, así como el ínfimo de todas las sumas superiores (suma superior de Riemann-Darboux) y cualquier suma inferior será 0, igual que el supremo de todas las sumas inferiores (suma inferior de Riemann-Darboux). Si el supremo y el ínfimo son distintos la integral de Riemann no existe.

• ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ sí es integrable en el sentido de Lebesgue sobre ${\displaystyle [0,1]}$: dado que es la función indicadora de los números racionales, por definición

${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbb {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbb {Q} \cap [0,1])=0,}$

ya que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es numerable.

Propiedades básicas de la integral de Lebesgue[editar]

• Si dos funciones f y g son iguales en todas partes de su dominio salvo en un conjunto de medida nula y si f es integrable Lebesgue, entonces g es integrable Lebesgue y la integral de Lebesgue de ambas funciones será idéntica.

Si ${\displaystyle \mu (\{x\in E:f(x)\neq g(x)\})=0}$ entonces ${\displaystyle \int f\,d\mu =\int g\,d\mu }$

• Linealidad ( u operador lineal): Si f y g son funciones integrables Lebesgue y a y b son números reales fijos, entonces

${\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu }$

• Monotonía: Si f y g son funciones integrables Lesbesgue y f < g, entonces

${\displaystyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .}$

integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann, llamada así por Bernhard Riemann y Thomas Joannes Stieltjes. La definición de esta integral fue publicada por primera vez en 1894 por Stieltjes.¹​ Sirve como un precursor instructivo y útil de la integral de Lebesgue y una herramienta inestimable para unificar formas equivalentes de teoremas estadísticos que se aplican en la probabilidad discreta y continua.

A diferencia de la integral de Riemann, que depende de una sola función ${\displaystyle f}$ llamada integrando, la integral de Riemann-Stieltjes depende de dos funciones, el integrando ${\displaystyle f}$ y una función ${\displaystyle \alpha }$ llamada integrador.

Para la integral de Riemann-Stieltjes se utiliza el siguiente símbolo: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,d\alpha }$.

Definición formal de la integral de Riemann-Stieltjes[editar]

Sea ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$una partición de un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ (con ${\displaystyle a=x_{0}$). Llamamos suma de Riemann-Stieltjes a una suma de la forma

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(t_{k})(\alpha (x_{k})-\alpha (x_{k-1}))}$, con ${\displaystyle x_{k-1}\leq t_{k}\leq x_{k}}$

Esta suma se simboliza como ${\displaystyle S(P,f,\alpha )}$. Se dice que ${\displaystyle f}$ es Riemann-Stieltjes integrable respecto a ${\displaystyle \alpha }$ en el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ si existe un número ${\displaystyle A}$ tal que, para todo número real positivo ${\displaystyle \varepsilon }$ existe una partición ${\displaystyle P_{\varepsilon }}$ que cumple con que para toda partición ${\displaystyle P}$ más fina que ${\displaystyle P_{\varepsilon }}$ y para cualquier elección de los ${\displaystyle t_{k}}$, tenemos${\displaystyle |S(P,f,\alpha )-A|<\varepsilon }$

La conexión entre la integral de Riemann "estándar" y la integral de Riemann-Stieltjes se produce cuando la función integradora ${\displaystyle \alpha (x)}$ es la función identidad, es decir, ${\displaystyle \alpha (x)=x}$.

La (*)-integral[editar]

Para definir la integral de Riemann utilizamos la norma de una partición, esta definición se puede ampliar a que sea parecida a la de Riemann-Stieltjes, esta integral se llama la (*)-integral (que de hecho esta es la definición que originalmente propuso Stieltjes, y que luego Pollard, propondría la que actualmente usamos, la que está arriba):

Una función ${\displaystyle f}$ acotada definida en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ se dice que es (*)-integrable con respecto a ${\displaystyle \alpha }$ en ${\displaystyle [a,b]}$ si existe un número ${\displaystyle A}$ en los reales tal que, para todo número real positivo ${\displaystyle \varepsilon }$ existe una ${\displaystyle \delta }$ positiva tal que si ${\displaystyle P}$ es una partición de ${\displaystyle [a,b]}$ con ${\displaystyle \lVert P\rVert <\delta }$ y ${\displaystyle S(P,f,\alpha )}$ es cualquier suma de Riemann-Stieltjes entonces${\displaystyle |S(P,f,\alpha )-A|<\varepsilon }$.

El problema con esta definición es que no nos permite derivar todas las propiedades que nos gustaría, específicamente existen funciones que son (*)-integrables con respecto a otra función en los intervalos ${\displaystyle [a,b]}$ y ${\displaystyle [c,d]}$, pero que no lo son en ${\displaystyle [a,b]}$, un ejemplo de tales funciones es el siguiente:

Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle \alpha }$ las siguientes funciones:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ si }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{ si }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq \ 1\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \alpha (x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ si }}0\leq x\leq {\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{ si }}{\frac {1}{2}}$

Para estas dos funciones sucede lo que se comenta arriba. El problema radica en que los puntos de la partición no los podemos elegir nosotros cuando se utiliza la definición de la (*)-integral.

Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes[editar]

• Es lineal respecto al integrando y al integrador, es decir, se cumple que:

${\displaystyle \int _{a}^{b}(c_{1}f(x)+c_{2}g(x))\,d\alpha (x)=c_{1}\int _{a}^{b}f(x)\,d\alpha (x)+c_{2}\int _{a}^{b}g(x)\,d\alpha (x)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,d(c_{1}\alpha (x)+c_{2}\beta (x))=c_{1}\int _{a}^{b}f(x)\,d\alpha (x)+c_{2}\int _{a}^{b}f(x)\,d\beta (x)}$

• Al igual que las integrales de Riemann, una integral en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ puede separarse en la suma de dos integrales en los intervalos ${\displaystyle [a,c]}$ y ${\displaystyle [c,b]}$, con ${\displaystyle a$:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,d\alpha (x)=\int _{a}^{c}f(x)\,d\alpha (x)+\int _{c}^{b}f(x)\,d\alpha (x)}$

• Existe la propiedad de integración por partes: Si ${\displaystyle f}$ es integrable respecto a ${\displaystyle \alpha }$, entonces ${\displaystyle \alpha }$ es integrable respecto a ${\displaystyle f}$ y entre ambas integrales existe la siguiente relación:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,d\alpha (x)+\int _{a}^{b}\alpha (x)\,df(x)=f(b)\alpha (b)-f(a)\alpha (a)}$.

Nótese que ésta propiedad coincide con la fórmula de integración por partes para integrales de Riemann si el integrador ${\displaystyle \alpha (x)}$ tiene derivada continua ${\displaystyle \alpha '(x)}$, caso en el que se puede convertir la integral de Riemann-Stieltjes en la integral de Riemann del producto ${\displaystyle f(x)\alpha '(x)}$.

Transformaciones a una integral de Riemann-Stieltjes[editar]

En las integrales de Riemann-Stieltjes, al igual que en las integrales de Riemann, existe la propiedad del cambio de variable. En este caso esta propiedad adopta la siguiente forma:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,d\alpha (x)=\int _{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(x))\,d\alpha (g(x))}$

en que ${\displaystyle g(x)}$ es una función continua y monótona.

También puede convertirse una integral de Riemann-Stieltjes en una integral de Riemann si el integrador es una función con derivada continua. En ese caso se cumple que:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,d\alpha (x)=\int _{a}^{b}f(x)\alpha '(x)\,dx}$

Integrales con integrador discontinuo[editar]

Uno de los aspectos que demuestra el verdadero potencial de la integral de Riemann-Stieltjes se presenta cuando la función ${\displaystyle \alpha (x)}$ es una función escalonada como la función parte entera o la función escalón unitario.

Supongamos que el integrador ${\displaystyle \alpha (x)}$ es la función definida por partes:

${\displaystyle \alpha (x)=\left\{{\begin{matrix}a&{\mbox{ si }}xx_{0}\end{matrix}}\right.}$

Entonces todos los sumandos de cualquier suma ${\displaystyle S(P,f,\alpha )}$ son cero excepto en el subintervalo ${\displaystyle [u,v]}$ de ${\displaystyle P}$que tiene a ${\displaystyle x_{0}}$ como punto interior. Al obtener el límite de las sumas de Riemann-Stieltjes, se verá que éste tendrá el valor ${\displaystyle (b-a)f(x_{0})}$.

Para funciones escalonadas de cualquier tipo se puede aplicar un razonamiento semejante. Esto nos sirve para expresar una sumatoria de una cierta función como una integral en que el integrador es la función parte entera ${\displaystyle y=[x]}$, como se ve a continuación:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,d[x],\,\,n\in \mathbb {N} }$

En efecto, para cualquier suma de Riemann-Stieltjes la diferencia ${\displaystyle [t_{k}]-[t_{k-1}]}$ tendrá el valor 0 para cualquier intervalo ${\displaystyle [t_{k-1};t_{k}]}$ que no contenga un valor entero. Al calcular el valor de la suma límite, se verá que esta diferencia tiene valor 1 para los intervalos "bisecados" por enteros y que el valor que se terminará considerando para ${\displaystyle f(x)}$ será el que corresponda a un ${\displaystyle x}$ entero.

Esto también implica que el valor de una integral de Riemann-Stieltjes puede verse afectado cambiando el valor del integrando en un solo punto; de hecho, esto puede incluso afectar la existencia de la integral, dependiendo de las discontinuidades de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle \alpha }$. Si ambas son discontinuas en un cierto punto, la integral no existirá.

Aplicaciones[editar]

Las integrales de Riemann-Stieltjes permiten describir un conjunto de fenómenos más amplio que las integrales de Riemann normales. Podemos utilizar, por ejemplo, una integral de Riemann-Stieltjes para reemplazar una sumatoria. Asimismo, una integral de línea de una función ${\displaystyle f(x,y,z)}$ respecto a la longitud de arco de una curva${\displaystyle {\overrightarrow {r}}(t)=x(t){\overrightarrow {i}}+y(t){\overrightarrow {j}}+z(t){\overrightarrow {k}}}$ con ${\displaystyle t_{0}$ es en realidad una integral de Riemann-Stieltjes en que el integrando es la función ${\displaystyle F(t)=f(x(t),y(t),z(t))}$ y el integrador es la función ${\displaystyle s(t)}$ que indica la longitud del arco de curva:

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(x,y,z)\,ds=\int _{t_{0}}^{t_{f}}f(x(t),y(t),z(t))\,ds(t)=\int _{t_{0}}^{t_{f}}F(t)s'(t)\,dt}$