MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski) es una variedad lorentzianade cuatro dimensiones y curvatura nula, usada para describir los fenómenos físicos en el marco de la teoría especial de la relatividad de Einstein.

En el espacio de Minkowski pueden distinguirse tres dimensiones espaciales ordinarias y una dimensión temporal adicional, de tal manera que todas juntas forman una 4-variedad y así representar al espacio-tiempo.

Definición[editar]

El espacio-tiempo de Minkowski es una variedad lorentziana de curvatura nula e isomorfa a ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}=(\mathbb {R} ^{4},{\boldsymbol {\eta }})}$donde el tensor métrico puede llegar a escribirse en un sistema de coordenadas cartesianas como:

(1)${\displaystyle \eta =-dx^{0}\otimes dx^{0}+dx^{1}\otimes dx^{1}+dx^{2}\otimes dx^{2}+dx^{3}\otimes dx^{3}}$

O en forma matricial explícita, respecto a la misma base:

(2)${\displaystyle \left(\eta _{\alpha \beta }\right){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

De todas maneras es común renombrar a las coordenadas en términos de las coordenadas espaciales y el tiempo usados en la mecánica newtoniana es decir: ${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\mapsto (ct,x,y,z)}$ con lo cual el tensor métrico se escribe simplemente como:

(3)${\displaystyle \eta =-c^{2}dt\otimes dt+dx\otimes dx+dy\otimes dy+dz\otimes dz}$

Propiedades[editar]

Contenido material[editar]

El tensor de curvatura de Riemann del espacio-tiempo de Minkowski es idénticamente nulo, razón por la cual se dice que el espacio-tiempo es plano. Así el resto de tensores y escalares de curvatura resultan nulos, siendo también nulo el tensor de Einstein que es igual al contenido material. Por tanto, el espacio-tiempo de Minkowski representa un universo vacío.

Físicamente el espacio-tiempo de Minkowski puede emplearse como una aproximación local del espacio-tiempo en regiones razonablemente pequeñas y en presencia de materia, siempre que esta no llegue a gravitar por sí misma. Este hecho queda recogido en el Principio de equivalencia.

Geodésicas[editar]

Cualquier línea recta constituye una geodésica, ya que el tensor de curvatura se anula. Tomando coordenadas cartesianas las geodésicas vienen dadas simplemente por:

(5)${\displaystyle {\ddot {t}}=0\qquad {\ddot {x}}=0\qquad {\ddot {y}}=0\qquad {\ddot {z}}=0}$

Que corresponden a líneas rectas:

(6)${\displaystyle t(\tau )=t_{0}+{\frac {\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad x(\tau )=x_{0}+{\frac {v_{x}\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad y(\tau )=y_{0}+{\frac {v_{y}\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad z(\tau )=z_{0}+{\frac {v_{z}\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Donde:

${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})\;}$ son las componentes de la velocidad de una partícula.

${\displaystyle \tau \,}$, es el tiempo propio de la partícula que viaja según la geodésica.

Grupo de isometría[editar]

El grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowski es precisamente el grupo de Poincaré, que admite diversos subgrupos entre ellos:

• El grupo de Lorentz
• El grupo de rotaciones
• El grupo de traslaciones que es isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, en particular cualquier campo vectorial constante es un vector de Killing, que genera un grupo uniparamétrico de isometrías.

Representación pseudoeuclídea[editar]

El espacio-tiempo de Minkowski admite un tratamiento pseudoeuclídeo, eso significa que bajo la aplicación sobre los complejos dada por:

${\displaystyle X=(ct,x,y,z)\mapsto {\widetilde {X}}=(ict,x,y,z)}$

Y tratando las coordenadas resultantes como vectores de un espacio euclídeo de cuatro dimensiones se reproducen los resultados geométricos típicos del espacio-tiempo de Minkowski. Si en esa representación se trata todo como escalares complejos y se construyen a partir del producto escalar euclídeo las magnitudes escalares de la teoría, estas resultan invariantes. Además se cumple que:

(7)${\displaystyle U^{\alpha }V_{\alpha }={\widetilde {U}}\cdot {\widetilde {V}}\qquad \forall U,V\in T{\mathcal {M}}_{0}}$

Es más todos los cuadrivectores y cuadritensores antisimétricos de segundo orden admiten una representación compleja de ese tipo, con similares propiedades de invariancia a (4):

Esquema de firma ElGamal es un esquema de firma digital basado en la complejidad del cálculo del logaritmo discreto. Fue descrito por Taher ElGamal en 1984. El algoritmo de firma ElGamal descrito en su artículo es raramente utilizado en la práctica. Con más frecuencia se utiliza una de sus variantes llamada Algoritmo de firma digital (DSA). El esquema de firma ElGamal no debe confundirse con el cifrado ElGamal también propuesto por Taher ElGamal.

El esquema de firma ElGamal permite que un verificador pueda confirmar la autenticidad de un mensaje menviado por un emisor sobre un canal de comunicación inseguro.

Parámetros[editar]

Los parámetros utilizados por el esquema ElGamal son:

• Una función de hash H resistente a colisiones.
• Un número primo p muy grande tal que el cómputo de logaritmos discretos módulo p sea difícil.
• un generador pseudoaleatorio g para el grupo multiplicativo ${\displaystyle Z_{p}^{*}}$.

Los parámetros utilizados pueden ser compartidos entre usuarios.

Generación de claves[editar]

• Se selecciona un clave secreta x de forma aleatoria tal que ${\displaystyle 1$.
• Se calcula ${\displaystyle y=g^{x}{\pmod {p}}}$.
• La clave pública será (p,g,y).
• La clave secreta será x.

Estos pasos son realizados una sola vez por el firmante.

Generación de una firma[editar]

Para firmar un mensaje m el firmante realiza los pasos siguientes.

• Selecciona un número aleatorio k tal que ${\displaystyle 0$ y ${\displaystyle mcd(k,p-1)=1}$.
• Calcula ${\displaystyle r\,\equiv \,g^{k}{\pmod {p}}}$.
• Calcula ${\displaystyle s\,\equiv \,(H(m)-xr)k^{-1}{\pmod {p-1}}}$.
• Si ${\displaystyle s=0}$ reinicia el proceso.

El par (r,s) así obtenido es la firma digital de m. El firmante repite estos pasos para cada mensaje m que desea firmar.

Verificación[editar]

La firma (r,s) de un mensaje m proveniente de un firmante con clave pública (p,g,y) y que utilizó una función de Hash H se verifica de la siguiente forma:

• Se verifica que ${\displaystyle 0$ y que ${\displaystyle 0$.
• Se verifica que ${\displaystyle g^{H(m)}\,\equiv \,y^{r}r^{s}{\pmod {p}}.}$.

El verificante acepta el mensaje únicamente si estas tres condiciones se cumplen.

Corrección[editar]

El algoritmo es correcto en el sentido que una firma generada con este algoritmo de firma siempre será aceptada por un verificador.

La generación de firmas incluye

${\displaystyle H(m)\,\equiv \,xr+sk{\pmod {p-1}}.}$

Del pequeño teorema de Fermat se tiene

${\displaystyle {\begin{matrix}g^{H(m)}&\equiv &g^{xr}g^{ks}\\&\equiv &(g^{x})^{r}(g^{k})^{s}\\&\equiv &(y)^{r}(r)^{s}{\pmod {p}}.\\\end{matrix}}}$

Seguridad[editar]

Un tercero puede falsificar firmas si encuentra la clave secreta x del firmante o si encuentra colisiones en la función de Hash ${\displaystyle H(m)\equiv H(M){\pmod {p-1}}}$. Se considera que ambos problemas son suficientemente difíciles.

El firmante debe tener cuidado y escoger una k diferente de forma uniformemente aleatoria para cada firma. Así asegura que k o aún información parcial sobre k no es deducible. Malas selecciones de k pueden representar fugas de información que facilitan el que un atacante deduzca la clave secreta x. En particular, si dos mensajes son enviados con el mismo valor de k entonces es factible deducir el valor de la clave secreta x.

 sistema de compartición de secretos de Shamir es un algoritmocriptográfico. Es una forma de compartición de secretos donde un secreto se divide en partes y se da a cada participante una sola: todas o parte de ellas son necesarias para reconstruir el secreto.

El algoritmo basa su funcionamiento en una propiedad de los polinomios interpoladores¹​ y fue desarrollado por el criptógrafo israelíAdi Shamir, que lo presentó en 1979.

Definición matemática[editar]

Formalmente, nuestro objetivo es dividir un conjunto de datos ${\displaystyle D\,\!}$ (por ejemplo, una clave) en ${\displaystyle n\,\!}$ partes ${\displaystyle D_{1},\cdots ,D_{n}\,\!}$ de manera que:

1. El conocimiento de ${\displaystyle k\,\!}$ o más ${\displaystyle D_{i}\,\!}$ partes hace que ${\displaystyle D\,\!}$ sea fácilmente computable.³​
2. El conocimiento de ${\displaystyle k-1\,\!}$ o menos ${\displaystyle D_{i}\,\!}$ partes hace que ${\displaystyle D\,\!}$ esté indeterminado, en el sentido de que todos sus valores posibles tienen la misma probabilidad de ser verdaderos.

Esta combinación se denomina combinación o esquema de umbral ${\displaystyle \left(k,n\right)\,\!}$.²​ Si ${\displaystyle k=n\,\!}$ se requiere la concurrencia de todos los participantes para reconstruir el secreto.

Sistema de compartición de secretos de Shamir[editar]

Se pueden dibujar infinitos polinomios de grado 2 que pasen por 2 puntos. Se necesitan 3 puntos para definir un polinomio único de grado 2. Esta imagen sólo tiene fines ilustrativos - El esquema de Shamir utiliza polinómios en un conjunto finito, no representable en un plano bidimensional.

La idea esencial de la combinación de umbral de Shamir es que dos puntos son suficientes para definir una línea recta, tres puntos lo son para definir una parábola, cuatro para definir una curva cúbica y así sucesivamente. Es decir, son necesarios ${\displaystyle n+1\,\!}$ puntos para definir un polinomio de grado ${\displaystyle n\,\!}$.

Supongamos que queremos trabajar con un umbral de ${\displaystyle \left(k,n\right)\,\!}$ para compartir un secreto ${\displaystyle S\,\!}$ (cualquier número, sin pérdida de generalidad) siendo ${\displaystyle k$. La elección de los valores de ${\displaystyle k\,\!}$ y ${\displaystyle n\,\!}$ determina la fortaleza del sistema.

Eligiendo al azar ${\displaystyle \left(k-1\right)\,\!}$ coeficientes ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{k-1}\,\!}$, y siendo ${\displaystyle a_{0}=S\,\!}$, se construye el polinomio ${\displaystyle f\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots +a_{k-1}x^{k-1}\,\!}$. Calculamos cualesquiera ${\displaystyle n\,\!}$ puntos a partir del mismo, por ejemplo determinamos que ${\displaystyle i=1,\cdots ,n\,\!}$ de lo que se deriva ${\displaystyle \left(i,f\left(i\right)\right)\,\!}$. A todo participante en el secreto se le da un punto (un par de valores, el de entrada y el de salida para el polinomio)

Dado cualquier subconjunto de ${\displaystyle k\,\!}$ entre estos pares, podemos calcular los coeficientes del polinomio mediante interpolación y luego despejar ${\displaystyle a_{0}\,\!}$, que es el secreto.

Ejemplo de uso[editar]

Preparación[editar]

Supongamos que el secreto es el número de una tarjeta de crédito: 1234 ${\displaystyle (S=1234)\,\!}$.

Queremos dividir el secreto en seis partes ${\displaystyle (n=6)\,\!}$, de forma que cualquier subconjunto ${\displaystyle (k=3)\,\!}$ sea suficiente para reconstruir el secreto. Al azar obtenemos ${\displaystyle k-1}$ números: por ejemplo, 166 y 94.

${\displaystyle (a_{1}=166;a_{2}=94)\,\!}$

El polinomio con el que operaremos será por lo tanto:

${\displaystyle f\left(x\right)=1234+166x+94x^{2}\,\!}$

Calculamos seis puntos a partir del polinomio:

${\displaystyle \left(1,1494\right);\left(2,1942\right);\left(3,2578\right);\left(4,3402\right);\left(5,4414\right);\left(6,5614\right)\,\!}$

Damos a cada partícipe un único punto, que comprende el valor ${\displaystyle x\,\!}$ y ${\displaystyle f\left(x\right)\,\!}$).

Reconstrucción[editar]

Para reconstruir el secreto bastará con tres puntos.

Considérese

${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)=\left(2,1942\right);\left(x_{1},y_{1}\right)=\left(4,3402\right);\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(5,4414\right)\,\!}$.

Usamos la interpolación polinómica de Lagrange:

${\displaystyle \ell _{0}={\frac {x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}}\cdot {\frac {x-x_{2}}{x_{0}-x_{2}}}={\frac {x-4}{2-4}}\cdot {\frac {x-5}{2-5}}={\frac {1}{6}}x^{2}-{\frac {3}{2}}x+{\frac {10}{3}}\,\!}$

${\displaystyle \ell _{1}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\cdot {\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}={\frac {x-2}{4-2}}\cdot {\frac {x-5}{4-5}}=-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {7}{2}}x-5\,\!}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {x-x_{0}}{x_{2}-x_{0}}}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {x-2}{5-2}}\cdot {\frac {x-4}{5-4}}={\frac {1}{3}}x^{2}-2x+{\frac {8}{3}}\,\!}$

Por lo tanto,

${\displaystyle f(x)=\sum _{j=0}^{2}y_{j}\cdot \ell _{j}(x)\,\!}$

${\displaystyle =1942\cdot \left({\frac {1}{6}}x^{2}-{\frac {3}{2}}x+{\frac {10}{3}}\right)+3402\cdot \left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {7}{2}}x-5\right)+4414\cdot \left({\frac {1}{3}}x^{2}-2x+{\frac {8}{3}}\right)\,\!}$

${\displaystyle =1234+166x+94x^{2}\,\!}$

Teniendo en cuenta que el secreto es el coeficiente de ${\displaystyle x^{0}\,\!}$, el secreto original es ${\displaystyle S=1234\,\!}$.