MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

 Integración de Lebesgue–Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann-Stieltjes y la integración de Lebesgue, preservando las muchas ventajas de ambas en un marco más general de teoría de medidas. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral ordinaria de Lebesgue respecto a una medida conocida como la medida de Lebesgue–Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación finita en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida regular de Borel, y de manera opuesta toda medida regular de Borel en la línea real es de este tipo.

Las integrales de Lebesgue–Stieltjes, nombradas así por Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes, son también conocidas como las integrales de Lebesgue–Radon o simplemente integrales de Radon, debido a Johann Radon, a quien se debe mucha de la teoría. Ellos encontraron aplicaciones en común entre las probabilidades y los procesos estocásticos, y en ciertas ramas del análisis matemático incluyendo la teoría del potencial.

Definición[editar]

La integral de Lebesgue–Stieltjes: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$ es definida cuando ƒ : [a,b] → R es Borel-medible y finita y g : [a,b] → R es de variación finita en [a,b] y continua por la derecha, o cuando ƒ es no negativa y g es monótonay continua por la derecha. Para empezar, se asume que ƒ es no negativa y que g es monótona no decreciente y continua por la derecha. Se define w((s,t]) := g(t) − g(s) y w({a}) := 0 (Alternativamente, la construcción funciona para g continua por la izquierda, w([s,t)) := g(t) − g(s) and w({b}) := 0).

Por el Teorema de Carathéodory, existe una única medida de Borel μ_g en [a,b] que concuerde con w en cada intervalo I. La medida μ_g surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica) dada por

${\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\right\vert \left.E\subset \bigcup _{i}I_{i}\right\}}$

el ínfimo entre todas las coberturas de E por los distintos intervalos semiabiertos. Esta medida es llamada comúnmente como¹​ la medida Lebesgue–Stieltjes asociada a g.

La integral de Lebesgue–Stieltjes

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

puede ser definida como la integral de Lebesgue de ƒ con respecto a la medida μ_g en la manera usual. Si g es no decreciente, entonces se define

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),}$

siendo la última integral definida por la construcción precedente.

Si g es de variación finita y ƒ es finita, entonces es posible plantear

${\displaystyle dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x)}$

donde g₁(x) := Vx
ag es la variación total deg en el intervalo [a,x], y g₂(x) = g₁(x) − g(x). Tanto g₁ como g₂ son monótonas no decrecientes. Ahora la integral de Lebesgue–Stieltjes con respecto a g es definida por

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),}$

donde las dos últimas integrales están bien definidas dada la construcción precedente.

Integral de Daniell[editar]

Una aproximación alternativa (Hewitt y Stromberg, 1965) es definir la integral de Lebesgue–Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral usual de Riemann–Stieltjes. Sea g una función no ascendente continua por la derecha en [a,b], y I(ƒ) la integral de Riemann–Stieltjes

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

para toda función continua ƒ. La operación I define una medida de Radon sobre [a,b]. Esta operación puede ser extendida a la clase de todas las funciones no negativas definiendo

${\displaystyle {\overline {I}}(h)=\sup\{I(f)|f\in C[a,b],0\leq f\leq h\}}$

y

${\displaystyle {\overline {\overline {I}}}(h)=\inf\{I(f)|f\in C[a,b],h\leq f\}.}$

Para funciones medibles por Borel, se tiene

${\displaystyle {\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),}$

y ambos lados de la indentidad definen la integral de Lebesgue–Stieltjes

de h. La medida externa μ_g es definida a partir de

${\displaystyle \mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})}$

donde χ_A es la función característica de A.

Integradores de variación finita son manejados de igual forma a la anterior, descomponiendo en variaciones positivas y negativas.

Ejemplo[editar]

Suponga que ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ es una curva corregible en el plano y ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\to [0,\infty )}$ es Borel-medible. Entonces se puede definir la longitud de ${\displaystyle \gamma }$ con respecto a la métrica euclidiana medida por ${\displaystyle \rho }$ como ${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t)}$, donde ${\displaystyle \ell (t)}$ es la longitud de la restricción de ${\displaystyle \gamma }$ para ${\displaystyle [a,t]}$. Esta es comúnmente llamada la ${\displaystyle \rho }$-medida de ${\displaystyle \gamma }$. Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en terrenos lodosos la velocidad en que una persona se puede mover depende de la profundidad del lodo. Si ${\displaystyle \rho (z)}$ denota la inversa de la velocidad en o cerca de ${\displaystyle z}$, entonces la ${\displaystyle \rho }$-longitud de ${\displaystyle \gamma }$ es el tiempo que tomaría cruzar ${\displaystyle \gamma }$. El concepto de longitud extrema usa esta noción de ${\displaystyle \rho }$-longitud de curvas y es útil en el análisis de transformaciones conformes.

Integración por partes[editar]

Una función ${\displaystyle f}$ se considera "regular" en un punto ${\displaystyle a}$ si existen los límites derecho ${\displaystyle f(a+)}$ e izquierdo ${\displaystyle f(a-)}$, y la función toma el valor promedio, :${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2}}\left(f(a-)+f(a+)\right),}$ en el punto límite. Dada las funciones ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ de variación finita, si en cada punto ${\displaystyle U}$ o ${\displaystyle V}$ es continua, si ambas ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ son regulares, estonces existe una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue–Stieltjes:

${\displaystyle \int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),}$ donde ${\displaystyle b>a}$. Bajo una pequeña generalización de esta fórmula, las condiciones extras en ${\displaystyle U}$ t ${\displaystyle V}$ pueden ser eliminadas.²​

Un resultado alternativo, de significativa importancia en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente: dadas dos funciones

${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ de variación finita, donde ambas son continuas por la derecha y tienen límite izquierdo (son funciones 'cadlag') entonces

${\displaystyle U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},}$

donde${\displaystyle \Delta U_{t}=U(t)-U(t-)}$. Este resultado puede ser visto como un precursor del Lema de Itō, y es de uso en la teoría general de integración estocástica. El término final es ${\displaystyle \Delta U(t)\Delta V(t)=d[U,V]}$, que surge de una covarianza cuadrada de ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$. (El resultado anterior puede ser visto entonces como un resultado relativo a la integral de Stratonovich.)

Conceptos relacionados[editar]

Integración de Lebesgue[editar]

Cuando g(x) = x para todo número real x, entonces μ_g es la medida de Lebesgue, y la integral de Lebesgue–Stieltjes de f con respecto a g es equivalente a la integral de Lebesgue de f.

Integración de Riemann–Stieltjes y teoría de probabilidades[editar]

Cuando f es una función continua con valores reales de una variable real, y v es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue–Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes, en cuyo caso usualmente se escribe

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)}$

para la integral de Lebesgue–Stieltjes, manteniendo implícita la medida μ_v. Esto es particularmente común en lateoría de la probabilidad cuando v es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, en cuyo caso

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].}$

(Ver el artículo integral de Riemann-Stieltjes para mayor información acerca del tratamiento de estos detalles.)

integral de Riemann, creada por Bernhard Riemann en un artículo publicado en 1854, fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo.¹​ Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede ser evaluada por el teorema fundamental del cálculo o aproximada por integración numérica.

La integral de Riemann es inadecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en la integración de Riemann se pueden remediar con la integral de Riemann-Stieltjes, y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue.

La integral de Riemann de una función real de variable real se denota usualmente de la siguiente forma:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$

Si bien el artículo en gran parte se restringe a la integración sobre intervalos acotados de ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ^{1}}$, el concepto puede generalizarse a dominios acotados de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sin mucha dificultad.

Definición formal[editar]

Se van a definir cuatro conceptos, el último siendo el que nos interesa: el primero una partición de un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, el segundo la norma de una partición, el tercero una suma de Riemann y el último que una función acotada sea Riemann integrable en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$.

Partición de un intervalo y su norma[editar]

Sea ${\displaystyle [a,b]}$ un intervalo cerrado sobre los números reales. Entonces una partición de ${\displaystyle [a,b]}$ es un subconjunto finito ${\displaystyle P=\{x_{0}=a,\;x_{1},\;\dots ,\;x_{n}=b\}}$ tal que ${\displaystyle x_{i}>x_{i-1}}$, con ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. La norma de la partición es la longitud del intervalo más grande:

${\displaystyle \|P\|=\max \left\lbrace x_{i}-x_{i-1}:i=1,...,n\right\rbrace }$

Lo que estamos haciendo, en pocas palabras, es cortar al intervalo en subintervalos disjuntos, cuya unión forma el intervalo original. La norma es la longitud del intervalo más grande.

Suma de Riemann[editar]

Sea ${\displaystyle f}$ una función en ${\displaystyle [a,b]}$ y tomemos una partición del intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, que denotaremos por ${\displaystyle P=\{x_{0}=a,\;x_{1},\;\dots ,\;x_{n}=b\}}$ entonces llamamos suma de Riemann a una suma de la forma:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1})}$, con ${\displaystyle x_{k-1}\leq t_{k}\leq x_{k}}$

De manera intuitiva esta suma representa la suma de áreas de rectángulos con base ${\displaystyle x_{k}-x_{k-1}}$ y altura ${\displaystyle f(t_{k})}$. Simbolizamos esta suma como ${\displaystyle S(P,f)}$, también se utiliza la notación más extensa pero más explícita:

${\displaystyle S(P,f,\left\lbrace t_{i}\right\rbrace _{i=1}^{n})}$

Integrabilidad de Riemann[editar]

Una función ${\displaystyle f}$ acotada definida en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ se dice que es Riemann integrable en ${\displaystyle [a,b]}$ si existe un número ${\displaystyle I}$ en los reales tal que, para todo número real positivo ${\displaystyle \varepsilon }$ existe una ${\displaystyle \delta }$ positiva tal que si ${\displaystyle P}$ es una partición de ${\displaystyle [a,b]}$ con ${\displaystyle \|P\|<\delta }$ y ${\displaystyle S(P,f)}$ es cualquier suma de Riemann entonces ${\displaystyle |S(P,f)-I|<\varepsilon }$.

Usualmente para funciones conocidas que sabemos integrables se toma una partición regular del intervalo y se toman los ${\displaystyle t_{k}}$ como alguno de los puntos extremos de cada intervalo. Notar que si no supiéramos que la función es integrable entonces no podríamos tomar cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos. En este caso en que no sabemos que es integrable, tendríamos que revisar que para cualquier valor ${\displaystyle t_{k}}$ que tomáramos en cada intervalo ${\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]}$ la suma de Riemann menos algún número real ${\displaystyle I}$es menor en valor absoluto que cualquier ${\displaystyle \varepsilon }$ que hubiéramos tomado. En caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es integrable según Riemann en ${\displaystyle [a,b]}$ y habríamos hallado su valor; en caso de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto. Cuando llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el valor de la integral:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a+k{\frac {(b-a)}{n}})}$

Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos que son integrables como, por ejemplo, las continuas. Podemos demostrar que toda función que es continua en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, es integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor de la integral. Por supuesto, si ya estamos familiarizados con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar una función ${\displaystyle F(x)}$ (denominada primitiva de ${\displaystyle f(x)}$) cuya derivada nos dé nuestra función original ${\displaystyle f(x)}$ y entonces el valor de la integral es ${\displaystyle F(b)-F(a)}$. No siempre podemos hallar una función primitiva de la que estamos integrando. En esos casos, se recurre a una expresión como la anterior o a métodos de aproximación.

Condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de Riemann[editar]

En este apartado nos referiremos a funciones acotadas en un intervalo cerrado ${\displaystyle [a,b]}$ (igual que en los apartados anteriores).

Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann (no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de Riemann, incluso una función con un número numerable de discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones con un número no numerable de discontinuidades pueden ser integrables. El siguiente teorema establece que una función es integrable si y solo si su conjunto de discontinuidades se puede recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras puede hacerse arbitrariamente pequeña.

Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann Sea ${\displaystyle f}$ una función definida y acotada en ${\displaystyle [a,b]}$ y sea ${\displaystyle D}$ el conjunto de las discontinuidades de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle [a,b]}$. Entonces ${\displaystyle f\in R}$ (con ${\displaystyle R}$ el conjunto de las funciones Riemann integrables) en ${\displaystyle [a,b]}$ si, y solo si, ${\displaystyle D}$ tiene medida cero.

De este modo, cualquier función continua o con un conjunto numerable de discontinuidades es integrable. Como ejemplo de función con un conjunto no numerable de discontinuidades e integrable tenemos por ejemplo:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}x\in C\\0,&{\mbox{si }}x\notin C\end{cases}}}$

siendo C el conjunto de Cantor.

Definiciones equivalentes[editar]

Existen definiciones que son equivalentes a la definición de integral de Riemann. Son equivalentes en el sentido de que podemos demostrar que una función es integrable respecto a una cierta definición si y solo si es integrable con respecto a otra definición. Una muy utilizada es la integral de Darboux que se auxilia de los supremos e ínfimos de los intervalos en los cuales se particiona. Una segunda, que es la que de hecho se utiliza para definir la integral de Riemann-Stieltjes, con los ajustes necesarios (y no la definición que se encuentra arriba, porque cuando se extiende a ser de Riemann-Stieltjes no cumple con todo lo que nos gustaría que se pudiera derivar de dicha definición) es la siguiente:

Una función ${\displaystyle f}$ acotada definida en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ se dice que es Riemann integrable en ${\displaystyle [a,b]}$ si existe un número ${\displaystyle I}$ tal que, para todo número real positivo ${\displaystyle \varepsilon }$ existe una partición ${\displaystyle P\varepsilon }$ de ${\displaystyle [a,b]}$ tal que si ${\displaystyle P}$ es un refinamiento de ${\displaystyle P\varepsilon }$ (es decir, ${\displaystyle P}$ contiene a ${\displaystyle P\varepsilon }$) y ${\displaystyle S(P,f)}$ es cualquier suma de Riemann, entonces ${\displaystyle |S(P,f)-I|<\varepsilon }$.

De manera intuitiva, la diferencia entre la definición de la integral de Riemann y esta última definición, es que la primera hace uso del concepto de la norma de la partición menor que un cierto delta para obtener mejores aproximaciones, en la segunda por contraste nos olvidamos de la norma de la partición y en vez de eso ampliamos las particiones, es decir les añadimos puntos, para obtener mejores aproximaciones. Esta diferencia es muy importante para el concepto de la integral de Riemann-Stieltjes, porque en la segunda definición nosotros podemos decir específicamente qué puntos queremos incluir en la partición, en contraste a la primera, en la que estamos atados a una cierta norma, que aunque se cumpla que la norma sea menor que un cierto delta, puede ser que la partición no incluya puntos que queremos que incluya en específico (que en el caso de la integral de Riemann no nos importa, pero cuando utilizamos la integral de Riemann-Stieltjes, hay puntos que son críticos para que se cumplan ciertas propiedades).

Notación y otras integrales[editar]

El símbolo ${\displaystyle \int }$ es una "S" deformada. En el caso en que la función ${\displaystyle f}$ tenga varias variables, el ${\displaystyle dx}$ especifica la variable de integración.
Si la variable de integración y el intervalo de integración son conocidos, la notación se puede simplificar como ${\displaystyle \int f}$.

Algunas funciones no son Riemann integrables tal es el caso de la función de Dirichlet. La integral de Darboux, la integral de Lebesgue, la integral de Riemann-Stieltjes y otras más que se pueden ver en artículo sobre integración son otras formas de atacar el problema de la integración, logrando en algunos casos que funciones que no son Riemann integrables sean por ejemplo Lebesgue integrables.

Históricamente, Riemann concibió esta teoría de integración, y proporcionó algunas ideas para el teorema fundamental del cálculo diferencial e integral. La teoría de la integración de Lebesgue llegó mucho más tarde, cuando los puntos débiles de la integral de Riemann se comprendían mejor.

Interpretación geométrica[editar]

En Análisis real, la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área localizada bajo la curva de la función.

Sea ${\displaystyle f}$ una función con valores reales definida sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, tal que para todo ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ (es decir, tal que ${\displaystyle f}$ es positiva).

Sea ${\displaystyle S_{f}=\{(x,y)|0\leq y\leq f(x)}$ la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función ${\displaystyle f}$, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones ${\displaystyle x=a}$ y ${\displaystyle x=b}$. Estamos interesados en medir el área del dominio ${\displaystyle S}$, si es que se puede medir.

Para obtener una aproximación al áreaencerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.

El área de cada rectángulo, es el producto de la función en un punto, por el ancho del intervalo.

Al aumentar el número de rectángulos se obtiene una mejor aproximación.

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