Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles
Enunciado
Una partícula libre de masa m está unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elásticas kA, kB y kC. Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas de los puntos de fijación son A( − a,0,0), B(a,0,0) y C(0,a,0).
- Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
- Considera las situaciones siguientes
- m = 0 y kA = kB = kC = k
- m = 0 y
- kA = kB = kC = k y m > > ka / g.
2 Solución
Tenemos una partícula libre sometida a cuatro fuerzas activas, una por cada muelle mas la gravedad. Al no estar sometida a ninguna ligadura la partícula tiene tres grados de libertad. Su posición de equilibrio es
donde x, y, z pueden tomar cualquier valor.
Como los muelles tienen longitud nula, las fuerzas a la que cada uno somete a la partícula cuando esta se encuentre en una posición son
donde los vectores , , son los vectores que apuntan al punto de anclaje de cada muelle. Según los datos del problema
Suponemos la gravedad actuando en la dirección negativa del eje OY. La fuerza gravitatoria sobre la partícula es
Para que haya equilibrio mecánica la resultante del sistema de fuerzas aplicadas sobre a partícula debe tener resultante nula. Esta condición nos proporciona una ecuación vectorial que equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente
Tenemos así tres ecuaciones para tres incógnitas, el valor de las coordenadas de equilibrio de la partícula. Despejando obtenemos
La posición de equilibrio se encuentra en el plano OXY, esto es, el definido por los puntos de anclaje de los muelles.
2.1 Caso a
Los tres muelles tienen la misma constante elástica y se desprecia el peso de la partícula. La posición de equilibrio es
Como los muelles A y B son iguales la posición de equilibrio esta en el OY, donde todos los puntos son equidistantes de los puntos A y B. La partícula está algo más cerca del origen que del punto C porque el triángulo no es equilátero. Si lo fuera el punto de equilibrio estaría a la misma distancia de los tres vértices.
2.2 Caso b
De nuevo se desprecia el peso, pero los muelles A y B son iguales entre sí y con un valor de la constante mucho mayor que la del muelle C. La situación de equilibrio es
Al ser mucho más fuertes los muelles en A y B deben tirar con más fuerza de la partícula. El valor de equilibrio y de puede escribirse
Usamos ahora el desarrollo de Taylor de la función (1 + x)n. Cuando x es mucho menor que 1 se tiene
La expresión O(x2) significa que los términos despreciados en el desarrollo son del orden de x2 o potencias mayores de x. Estos términos son despreciables pues si cualquier potencia de x es todavía más pequeña. En la expresión de ytenemos que x = kC / 2k y n = − 1. Por tanto, si podemos escribir
Como , este valor de y es mucho menor que a. Es decir, en la posición de equilibrio la partícula se encuentra muy próxima a la línea que une los puntos de anclaje de los muelles A y B. Esto es coherente con el hecho de que esos dos muelles tienen constantes elásticas mucho mayores que la del muelle en C, y por tanto tiran con más fuerza de la partícula.
2.3 Caso c
Ahora los tres muelles tienen la misma constante elástica y tenemos en cuenta la gravedad. La posición de equilibrio viene dada por
El enunciado nos dice que la masa es muy grande. En concreto, la condición es . El valor de la coordenada ypuede escribirse
La condición del enunciado implica también y . Por tanto
Es decir, la posición de equilibrio de la partícula corresponde a valores negativos de la coordenada y y con valor absoluto mucho mayor que a. (En realidad sería mucho mayor que a / 3, pero en orden de magnitud es equivalente)
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