Lógica

prueba condicional es una prueba de que toma la forma de afirmar un condicional, y demostrando que el antecedente del condicional lleva necesariamente al consecuente.

El antecedente asumido de una prueba condicional se llama supuesto de prueba condicional (SPC). Por lo tanto, el objetivo de una prueba condicional es demostrar que si el SPC fuera cierto, entonces la conclusión deseada sigue necesariamente. La validez de una prueba condicional no requiere que el SPC sea realmente cierta, solo que si fuera cierta ello condujese al consecuente.

Las pruebas condicionales son de gran importancia para las matemáticas. Existen pruebas condicionales que une varios conjeturas no probadas de otra forma, de modo que una prueba de una conjetura puede implicar inmediatamente la validez de varias otras. Puede ser mucho más fácil demostrar la verdad de una proposición que se desprende de otra proposición que demostrar de forma independiente.

Una red de pruebas condicionales es la clase NP completa de la teoría de la complejidad. Hay un gran número de tareas interesantes, y aunque no se sabe si existe una solución en tiempo polinomial para cualquiera de ellas, se sabe que si existe tal solución para cualquiera de ellas, existe para todos ellas. Del mismo modo, la hipótesis de Riemann tiene un gran número de consecuencias ya probadas.

Como ejemplo de una prueba condicional en lógica simbólica, supongamos que queremos probar A → C (si A, entonces C) a partir de las dos primeras premisas siguientes:

1.	A → B	("Si A, entonces B")
2.	B → C	("Si B, entonces C")

3.	A	(suposición de prueba condicional, "Supongamos que A es verdadero")
4.	B	(se desprende de las líneas 1 y 3, modus ponens; "Si A entonces B; A, por lo tanto, B")
5.	C	(se desprende de las líneas 2 y 4, modus ponens; "Si B entonces C; B, por lo tanto C")
6.	A → C	(se desprende de las líneas 3-5, prueba condicional; "Si A, entonces C")

Una construcción algorítmica de la "Prueba Condicional" o "Teorema de la Deducción".

Se presenta la demostración de la llamada "prueba condicional" en la lógica proposicional (tambien llamada "teorema de la deducción"); que consiste en que: si en una derivación con premisas C1, C2,..., Cn, se pone como hipótesis extra la fórmula A y de ahí se deduce B (usando tal vez las Ci), entonces decimos que por prueba condicional deducimos la fórmula (A-->B). Y ya no consideramos la A como hipótesis.

La pregunta es: ¿realmente dedujimos la fórmula (A-->B) de las premisas C1,...,Cn? La respuesta es NO! Dedujimos B a partir de A (y las Ci), pero decimos que la regla "prueba condicional" nos permite decir que se puede tener una prueba de (A-->B). Demostraremos que eso está bien, demostrándolo y además construyendo dicha prueba de modo algorítmico es decir, como cuando aplicamos una receta y lo podemos hacer mecánicamente.

En el resumen extenso anexo en PDF, se explica con detalle esto en un sistema axiomático particular que también puede verse en [Amor] pags. 141-143. También en el anexo se usa que para cualquier fórmula A, es un teorema demostrado la fórmula (A-->A). Eso no está demostrado ahí, por lo que termino este breve resumen con esa prueba; para entenderla véanse los axiomas en el resumen extenso o bien en [Amor].

Demostración de que para cualquier fórmula A es teorema formal en el sistema dado, la fórmula (A-->A):
1. (A-->((A-->A)-->A)) Ax.1
2. [(A-->((A-->A)-->A))]-->[(A-->(A-->A))-->(A-->A)] Ax.2
3. (A-->(A-->A))-->(A-->A) MP1,2
4. (A-->(A-->A) Ax. 1
5. (A-->A) MP 4,3 

consecuencia lógica es la relación entre las premisas y la conclusión de un argumento deductivamente válido.¹ La relación de consecuencia lógica es un concepto central a la lógica.¹ Dos características generalmente aceptadas de la relación de consecuencia lógica son que es necesaria y además formal.

Una manera estándar de caracterizar a la noción de consecuencia lógica es a través de la teoría de modelos.¹ A la noción de consecuencia lógica definida de esta manera se la llama consecuencia semántica, para distinguirla de otras concepciones de la misma noción. Según esta estrategia, una conclusión es una consecuencia lógica de las premisas cuando es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. O dicho más precisamente, cuando toda interpretación que hace verdaderas a las premisas también hace verdadera a la conclusión.¹ Es decir, cuando todo modelo de las premisas es también un modelo de la conclusión.¹

Cuando una conclusión A es una consecuencia semántica de un conjunto de premisas  en un lenguaje formal L, se escribe:

Otra manera de caracterizar a la relación de consecuencia lógica es a través de la teoría de la demostración.¹ A la noción de consecuencia lógica definida de esta manera se la llama consecuencia sintáctica, para distinguirla de otras concepciones de la misma noción. Según esta estrategia, una conclusión es una consecuencia lógica de las premisas cuando existe una demostración de la conclusión a partir de las premisas.¹ Es decir cuando, usando solamente las premisas, los axiomas y las reglas de inferencia permitidas, es posible construir una derivación de la conclusión.

Cuando una conclusión A es una consecuencia sintáctica de un conjunto de premisas  en un sistema formal S, se escribe:

Consecuencia lógica

Consecuencia lógica, características y problemas.
Claudio Conforti
Claudio Alessio


1. Presentación.

Hay algunos fragmentos del discurso con los que pretendemos justificar oraciones a partir de otras... esto es lo que denominamos argumentos, los cuales son todo discurso que partiendo de una o mas oraciones llamadas premisas se intenta justificar y llegar a otra llamada conclusión. Ahora, no porque hayamos justificado en una o varias oraciones una oración quiere decir que estemos en presencia de una justificación correcta.

A este fin podemos decir que el estudioso de la lógica se dedica, ha determinar cuando estamos en presencia de argumentos que hemos de considerar “buenos” y cuando estamos en presencia de aquellos que hemos de considerar “malos”.

A la hora de establecer la importancia y relevancia de esta exposición, podemos pensar que para la posibilidad de un proyecto humano verdaderamente humano, es necesario que sea acompañado de razonabilidad... muchas veces podemos pensar e incluso afirmar que la lógica no puede contribuir en mucho a tan magna empresa... a ello se deben dedicar otras disciplinas o ciencias... pero justamente.... la razonabilidad debe estar asegurada por ciertos principios o criterios estables que justifiquen verdaderamente nuestras afirmaciones en demostraciones...

Es increíble la cantidad de “científicos” que desarrollan grandes explicaciones o afirmaciones y negaciones extensísimas pero que nunca “hacen razonamientos”... hemos perdido la capacidad de argumentar... hemos permitido que la doxa -que en categorías actuales podríamos llamar opinología- se introduzca en los discursos científicos y que millares de publicaciones o congresos sea solo una circulación de opiniones fundadas en el gusto, los intereses políticos, económicos, y no en la verdad... entre tantas y tantas cosas que podríamos decir...

Por esto reflexionar en torno a la argumentación y a la propiedad que determina que un argumento es consecuente, a saber, la noción de consecuencia lógica, es tarea necesaria y hasta podríamos decir un deber que nos exige el repensar el proyecto humano.

El desastre que puede ocasionar un proyecto humano sin argumentos es verdaderamente lamentable... el creer que algunos enunciados ideológicos sean portadores de verdad es una falacia tan actual que muchas actividades se justifican en ellos.... Además observamos una cultura escolar y universitaria cada vez más perezosa que no tiene muchas intenciones en promover y desarrollar una actitud crítica ante la realidad sino y más bien colaboran al desarrollo de una actitud de la sola opinión... del seudo pensamiento... de la pseudafilosofia que se desarrolla por las emociones que suscitan ciertos eslóganes intelectuales que se dicen para ser “comprados” y no para ser pensados... Es en este contexto que nos parece oportuno el reflexionar en torno a la noción de consecuencia lógica.













2. La propiedad de los argumentos.

Cuando comenzamos a desarrollar o tratar de desentrañar la noción de consecuencia lógica se hace preciso establecer primero que no cualquier discurso o fragmento de discurso es un argumento. Es decir que la primera pregunta con la que nos hemos de encontrar tienen que ver con establecer a que tipo de discurso es aplicable y en que condiciones la noción de consecuencia lógica.

En primer lugar diremos que un argumento es un conjunto de enunciados en los cuales hay uno que se pretende justificar en los anteriores. Como vemos, no es un conjunto de oraciones, sino de enunciados que sería aquel discurso que posee la propiedad de ser o bien verdadero o bien falso. Esto elimina la posibilidad de concebir argumentos que se pretenden tales que tratan de justificar oraciones directivas o expresivas y no declarativas.

Una vez que contamos con una noción amplía y general de argumento decimos que estos pueden ser clasificados en deductivos y no-deductivos. La lógica formal se dedica a estudiar la los primeros. Además estos tiene una propiedad peculiar... algunos pueden partir de enunciados verdaderos y llegan a otro llamado conclusión que es falso... otros parten de verdades y es imposible que concluyan falsamente.

De este modo podemos clasificarlos a su vez en argumentos que se denominan válidos y argumentos que se denominan inválidos. La conclusión de los primeros, se dice en vocabulario técnico, es consecuencia lógica de las premisas. A tal fin la lógica analiza y desarrolla un lenguaje apto para el análisis correspondiente de esta noción, un lenguaje formal con métodos sistemáticos de desición.

A continuación expondremos dos enfoques con respecto a esta noción, que para la lógica es de vital importancia, de hecho, la lógica se define como la ciencia de la consecuencia lógica.


3. Noción de Consecuencia Lógica.

Tratemos primero de introducir una noción general de consecuencia lógica. Dado un argumento cualquiera, en el que tenemos a 1, ... n como premisas y a  como conclusión, y si aceptar a las premisas nos compromete a aceptar la conclusión 1, ... n /  entonces decimos que estamos en presencia de un argumento válido y que  es una consecuencia lógica de 1, ... n .

¿Pero qué implica o como se define una noción de consecuencia lógica? ¿Cómo sabemos que la hay y como sabemos que no. Esta dependerá de su contenido, la “carne” del argumento...? ¿Bastará solo con la forma, con el “esqueleto” del argumento?


3.1. Enfoque semántico.

Siguiendo el camino anterior, que transita las huellas de la tradición del arte de pensar, puede llegarse a una de las caracterizaciones más representativas de la visión actual frente a la cuestión de la identificación temática de la lógica: El enfoque semántico de la noción de consecuencia.

Por una inferencia se entenderá desde ahora a un conjunto de enunciados, de un lenguaje previamente especificado, en el que la verdad de uno de ellos (la conclusión de la inferencia) se pretende justificar en la verdad de los otros (las premisas de la inferencia). La inferencia será buena (válida) cuando la conclusión sea consecuencia necesaria de las premisas, o lo que es lo mismo, cuando las premisas impliquen lógicamente la conclusión. Esta idea puede resumirse en cualquiera de las siguientes dos definiciones intuitivas que servirán como punto de partida para lograr otras técnicamente más precisas:

Def. 1.O Un enunciado C es consecuencia del conjunto de premisas P1... Pn si y sólo si es imposible que las premisas P1... Pn sean todas verdaderas y la conclusión C no lo sea, o equivalentemente:

Def. 1.1 Un enunciado C es consecuencia del conjunto de premisas P1... Pn si y sólo si es necesario que si todas las premisas son verdaderas la conclusión también lo sea.

Es claro que cuando se cumple la condición expuesta, la verdad de las premisas justifica la verdad de la conclusión, es decir se cumple la finalidad, considerada por la lógica en todo proceso (psicológico) argumentativo, de preservar en la conclusión la verdad de las premisas.

Con lo dicho anteriormente, nos damos cuenta que hay algunas expresiones que se relacionan estrechamente a la noción de consecuencia lógica (semántica) como lo son: Verdad y falsedad y las nociones modales de imposibilidad y necesidad, por ello a continuación desarrollaremos estos conceptos a fin de tener una claridad mas pormenorizada de esta noción.


3.1.1. Verdad y Falsedad Según Tarski (1935)

En el enfoque Tarskiano verdad y falsedad son calificaciones hechas en el metalenguaje que versa acerca de las expresiones de un lenguaje (objeto) L a los enunciados L. En este enfoque los portadores de la verdad son expresiones lingüísticas (los enunciados del lenguaje objeto L). No son estados psicológicos ni el significado (proposiciones) de tales expresiones lingüísticas. Sin embargo para que pueda atribuirse un valor de verdad a un enunciado éste tiene que estar interpretado a través de alguna correlación (explicitada en la parte semántica del metalenguaje) de algunas de sus expresiones con las entidades de la realidad acerca de las cuales versa el lenguaje objeto L.

Tarski considera que por las peculiares características de los lenguajes naturales, ninguno admite una noción de interpretación con el grado de precisión que se requiere para dar una explicación coherente y satisfactoria de la noción de verdad. Por esta razón, su construcción está referida siempre a un lenguaje artificialmente creado, en donde –supuestamente- no existen las imprecisiones sintácticas y semánticas de los lenguajes naturales.

Supongamos un lenguaje artificial L con la siguiente estructura sintáctica:

1. Nombres: a1... an...
2. Predicados (monádicos): P1... Pn
3. Signos Lógicos: ¬ (negación)  (conjunción)  (disyunción incluyente)  (condicional material)
4. Signos de puntuación: ( )

Los enunciados de L serán secuencias de signos de L (expresiones de L) que satisfacen alguna de las siguientes cláusulas:
Cláusulas de formación de enunciados

1. Enunciados Atómicos: si P es un predicado de L y a es un nombre de L, entonces Pa es un enunciado atómico de L.

2. Enunciados Moleculares: Si A y B son enunciados de L, entonces ¬A, (AB), (AB) y (AB) son enunciados moleculares de L.


Las cláusulas anteriores para la formación de enunciados, especifican cuáles son las expresiones de L que son enunciados, pero nada dicen acerca del significado (correspondencia con la realidad) de ninguna de las expresiones de nuestro lenguaje objeto. Para este último propósito contamos en el metalenguaje con funciones de interpretación | |i donde cada una correlaciona cada uno de los nombres del lenguaje con un objeto y sólo uno de la realidad y cada uno de los predicados de L con una clase de objetos de la realidad y sólo una.


 Si a es un nombre, | a |i es el objeto nombrado por a en la interpretación | |i

 Si P es un predicado, | P |i es el conjunto de los objetos denotados por el predicado (extensión de P) en la interpretación | |i

Con estos elementos estamos en condiciones de especificar las condiciones en que son verdaderas cada una de las interpretaciones de L (con relación a cada una de las funciones de interpretativas | |i del metalenguaje de L). Para lo cual contamos con las siguientes cláusulas de interpretación veritativa:

1. Un enunciado atómico Pa es verdadero en la interpretación | |i si y sólo si | a |i Є | P |i (El objeto asignado al nombre “a” en la interpretación | |i es uno de los elementos de la clase asignada al predicado “P” por esa misma interpretación).
2. ¬A es verdad en | |i si y sólo si A no es verdad en | |i
3. (AB) es verdad en | |i si y sólo si tanto A como B son verdad en | |i
4. (AB) es verdad en | |i si y sólo si A, B o ambas son verdad en | |i
5. (AB) es verdad en | |i si y sólo si A no es verdad en | |i o B es verdad en | |i

A partir de las funciones de interpretación expuestas pueden ser reconstruidas las nociones de necesidad e imposibilidad que caracterizan la noción semántica de consecuencia lógica y hacer una precisación con respecto a las primeras definiciones :

Def. 2.0 Un enunciado A de L es consecuencia semántica del conjunto de enunciados α de L (premisas), que abreviamos: α╞ A si y sólo si no hay una función de interpretación | |i admisible de L (imposibilidad) en la que todos los enunciados de α sean verdaderos y en la que A no lo es.

Def. 2.1 Un enunciado A de L es consecuencia semántica del conjunto de enunciados α de L (premisas), que abreviamos: α╞ A si y sólo si A es verdadera en toda interpretación admisible | |i de L (necesidad) en la que son verdaderos todos los enunciados de α.

La presente relación ╞ de consecuencia semántica cumple con las siguientes propiedades (de fácil verificación a partir de las definiciones anteriores):

╞1 Reflexividad Generalizada: α╞A si A Є α.

╞2 Monotonía: Si a ╞ A entonces α U {B} ╞ A

╞3 Corte: Si α ╞ B y αU{B} ╞ A entonces a ╞ A

La primera, reflexividad generalizada, establece que un enunciado cualquiera A es consecuencia semántica de un conjunto de enunciados α si y solo si toda interpretación que hace verdaderas a las oraciones de α hace verdadera a la oración A.

La segunda, monotonía, establece que si A se deduce semántica de α ya que toda interpretación que hace verdadera a α hace también verdadera a A, entonces si, se le incorpora un nuevo enunciado (y para incorporarse necesita también contener la propiedad de reflexibilidad) entonces A se sigue deduciendo semánticamente de α

La tercera, un enunciado B se deduce semánticamente de α y A se deduce semánticamente de un conjunto de enunciados α al que se incorpora un nuevo enunciado B, entonces A se deduce semánticamente de α. Si toda interpretación que hace verdadera al conjunto α en unión con el nuevo enunciado B hace también verdadera a A.

Ninguna de estas propiedades dependen de las específicas cláusulas de interpretación veritativa a que se encuentra sujeta en el ejemplo anterior la noción de verdad. Cada una de esas propiedades puede probarse recurriendo solo a (Def. 2.0) o a su equivalente (Def. 2.1).

La noción de verdad lógica queda como el caso limite de la relación de consecuencia semántica en el que el conjunto de premisas es vació. Un enunciado A expresa una verdad lógica: ╞ A (abreviatura de Φ╞ A) Si y sólo si A es verdadero en todas las interpretaciones | |i admisibles de L. A su vez, si el lenguaje cuenta con el signo  de implicación material que satisface la cláusula (5) la noción de consecuencia semántica es caracterizable a partir de la noción de verdad lógica. En efecto, es fácil verificar el siguiente enunciado metalingüístico de la correlación entre las nociones de consecuencia semántica y de verdad lógica, para el caso en que el conjunto de premisas α no sea vacío (que es el caso diferencial entre ambas nociones) y la relación ╞ sea compacta (será compacta sii α ╞ A entonces A es consecuencia semántica de un subconjunto finito β de α β╞ A):

α ╞ A si y sólo si hay en α un conjunto finito de enunciados A1... An tal que ╞ ((A1 (A2 ... (An A) ...).

Con estos elementos se constituye el, actualmente mas dominante, enfoque en cuanto a la identificación temática de la lógica. Esta propuesta podría llamarse el paradigma Tarski-Carnap, ya que si bien se debe a Tarski tanto la noción semántica de verdad como la caracterización de la noción semántica de consecuencia e, indirectamente la noción de verdad lógica, fue Carnap quién enfatizó la identificación de la lógica como la teorización de esa noción de consecuencia semántica y de verdad lógica.