Física I (Ingeniería Aeroespacial)
Coordenadas polares
Definición
En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para definirlas.
Sea un punto P situado en el plano OXY con coordenadas cartesianas (x,y). Su vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es
Las coordenadas polares (ρ,θ) se definen de la siguiente forma
- La coordenada ρ es la distancia del punto P al punto O. Puede variar entre los valores 0 y .
- La coordenada θ es el ángulo que forma el vector con el eje OX. Puede variar entre los valores 0 y 2π.
Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de cualquier punto en el planoOXY.
El intervalo para θ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de 2π. De lo contrario, los puntos del eje OX aparecerían dos veces, para θ = 0 y para θ = 2π.
2 Relación con las coordenadas cartesianas
Cada par de valores (x,y) corresponde unívocamente a un par de valores ρ,θ. La relación entre estos dos pares puede obtenerse a partir de la figura. Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud x e y y la hipotenusa de longitud ρ tenemos
Polares → cartesianas | Cartesianas → polares |
---|---|
θ = arctan(y / x) |
2.1 Base vectorial en polares
Al igual que el sistema de coordenadas cartesianas, las coordenadas polares llevan asociada una base vectorial. Esta base la componen los vectores unitarios pintados en verde en la figura.
El vector apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si variamos la coordenada ρ manteniendo θ constante. Si ρ aumenta nos alejamos radialmente del punto O, y si disminuye nos dirigimos hacia O.
De igual modo, el vector apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si varía θ manteniendo ρ constante. Si θ aumenta nos desplazamos sobre la tangente a la circunferencia de radio ρ centrada en O, en sentido contrario a las agujas del reloj. Si θ disminuye el sentido del desplazamiento es el de las agujas del reloj.
Usando los ángulos indicados en la figura podemos expresar los vectores de la base polar en función de los vectores de la base cartesiana
Hay que destacar que, a diferencia de los vectores de la base cartesiana, los vectores de la base polar no son constantes. Esto quiere decir que varían en dirección y sentido al cambiar de punto en el plano. Algunos ejemplos
θ | ||
0 | ||
π / 4 | ||
π / 2 |
Podemos obtener la expresión de los vectores de la base cartesiana en función de la base polar proyectando en la primera figura o despejando en la expresión de los vectores polares en función de los cartesianos. Así
3 Vectores cinemáticos en coordenadas polares
3.1 Vector de posición
Vamos a encontrar la expresión de los vectores de posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares. A partir del dibujo que el vector de posición puede escribirse como
El vector de posición debe depender de ρ y θ. Así que uno puede preguntarse donde está la coordenada θen esta expresión. La respuesta es que está en el vector , que depende de θ.
3.2 Vector velocidad
A lo largo del movimiento del punto por el plano las coordenadas polares cambian con el tiempo
Para obtener la velocidad hay que derivar el vector de posición respecto del tiempo. Pero hay que tener en cuenta que al moverse el punto, como varían tanto ρ como θ, también varían los vectores y . Así pues, hay que derivar también el vector en la expresión de .
Para encontrar usamos la expresión en cartesianas del vector. Los vectores de la base cartesiana no cambian durante el movimiento de la partícula, esto es, . Usando la regla de la cadena tenemos
El vector entre paréntesis es precisamente . Por tanto
y la velocidad se escribe
El primer sumando representa la componente de la velocidad en la dirección radial, mientras que el segundo sumando es la componente de la velocidad en la dirección perpendicular a la radial.
3.3 Vector aceleración
Derivamos la velocidad respecto al tiempo para obtener la aceleración. Tenemos en cuenta que ρ, θ, y dependen del tiempo
Para obtener la expresión de utilizamos de nuevo la expresión en cartesianas de
Finalmente, la expresión de la aceleración en coordenadas polares es
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