sábado, 30 de mayo de 2015

Física I (G.I.A.)

Bola colgando de un muelle y un hilo

 Enunciado

El sistema de la figura consta de una partícula de masa m, un muelle de constane elástica k y elongación natural nula, y una cuerda de longitud a. El punto de anclaje del muelle y de sujección de la cuerda están separados por una distancia a.
  1. Determina la expresión que da la elongación del muelle en función del ángulo α y la longitud a.
  2. Encuentra el valor del ángulo α en la posición de equilibrio.

2 Solución

2.1 Elongación del muelle

Aplicamos el teorema del coseno al triángulo OPA. La longitud de los lados AO y AP es a, y el ángulo entre ellos es α. Llamando l a la elongación del muelle (lado OP) tenemos

l^2 = a^2+a^2-2a^2\cos\alpha \Longrightarrow
l = \sqrt{2}a\sqrt{1-\cos\alpha}

2.2 Valor de equilibrio del ángulo

Las fuerza que actúan en el punto P son el peso de la masa m (m\vec{g}) , la fuerza del muelle (\vec{F}_k)  y la tensión del hilo PA (\vec{T}) . La suma de las tres fuerzas tiene que anularse. En el sistema de ejes de la figura estas fuerzas son

\begin{array}{l}
m\vec{g} = mg\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{T} = T\cos\alpha\,\vec{\imath} - T\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{F}_k = -k\,\overrightarrow{OP}=
-k\,(a-a\cos\alpha)\,\vec{\imath} -k a\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}
= -ka\,(1-\cos\alpha)\,\vec{\imath} -k a\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}
\end{array}
La condición de equilibrio es

m\vec{g}+\vec{T}+\vec{F}_k=\vec{0}
Igualando componente a componente tenemos

\begin{array}{l}
T\cos\alpha-ka\,(1-\cos\alpha)=0\\
\\
-T\,\mathrm{sen}\alpha -k a\,\mathrm{sen}\alpha + mg=0
\end{array}
Para encontrar la expresión del ángulo multiplicamos la primera ecuación por \mathrm{sen}\,\alpha , la segunda por cosα y las sumamos. Con eso se obtiene

\tan\alpha = \dfrac{mg}{ka}
Podemos observar que si el muelle es muy fuerte (k muy grande), el ángulo tiende a cero, lo cual es razonable.

Bola ensartada en semicircunferencia con muelle

Enunciado

Una partícula de masa m está obligada a reposar sobre una circunferencia de radio R. La partícula está unida al extremo superior de la circunferencia por un muelle de constante elástica k y elongación natural nula. El contacto entre la partícula y la circunferencia es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático μ.
  1. Determina el módulo de la componente normal de la fuerza de reacción vincular.
  2. Determina el módulo de la fuerza de rozamiento.

2 Solución

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el el peso (m\vec{g} ), el muelle \vec{F}_k  y la fuerza de reacción vincular, que tiene dos componentes, la normal (\vec{\Phi}_N ) y la de rozamiento (\vec{f}_R ). En el sistema de ejes indicado estas fuerza se expresan

\begin{array}{l}
m\vec{g} = -mg\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{\Phi}_N = \Phi_N\cos\theta\,\vec{\imath} + \Phi_N\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{f}_R = -f_R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + f_R\cos\theta\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{F}_k = -k\,\overrightarrow{AP} = -kR\cos\theta\,\vec{\imath} -kR(\mathrm{sen}\,\theta-1)\,\vec{\jmath}
\end{array}
La condición de equilibrio es

m\vec{g} + \vec{F}_k + \vec{\Phi}_N + \vec{f}_R=\vec{0}
Igualando las componentes tenemos

\begin{array}{l}
\Phi_N\cos\theta - f_r\,\mathrm{sen}\,\theta - kR\cos\theta=0\\
\\
\Phi_N\,\mathrm{sen}\,\theta + f_R\cos\theta -kR(\mathrm{sen}\,\theta -1) - mg = 0
\end{array}
Si multiplicamos la primera ecuación por cosθ, la segunda por \mathrm{sen}\,\theta  y las sumamos podemos despejar la componente normal de la fuerza de reacción vincular

\Phi_N = kR\,(1-\mathrm{sen}\,\theta) + mg\,\mathrm{sen}\,\theta
Multiplicando la primera por -\mathrm{sen}\,\theta , la segunda por cosθ y sumándolas, obtenemos la fuerza de rozamiento

f_R = (mg-kR)\,\cos\theta

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