sábado, 30 de mayo de 2015

Física I (G.I.A.)

Bola colgando de un muelle y un hilo

Enunciado

El sistema de la figura consta de una partícula de masa

m

, un muelle de constane elástica

k

y elongación natural nula, y una cuerda de longitud

a

. El punto de anclaje del muelle y de sujección de la cuerda están separados por una distancia

a

Determina la expresión que da la elongación del muelle en función del ángulo $α$ y la longitud $a$ .
Encuentra el valor del ángulo $α$ en la posición de equilibrio.

2 Solución

2.1 Elongación del muelle

Aplicamos el teorema del coseno al triángulo OPA. La longitud de los lados AO y AP es

a

, y el ángulo entre ellos es

α

. Llamando

l

a la elongación del muelle (lado OP) tenemos

$l^2 = a^2+a^2-2a^2\cos\alpha \Longrightarrow l = \sqrt{2}a\sqrt{1-\cos\alpha}$

2.2 Valor de equilibrio del ángulo

Las fuerza que actúan en el punto P son el peso de la masa m $(m\vec{g})$ , la fuerza del muelle $(\vec{F}_k)$ y la tensión del hilo PA $(\vec{T})$ . La suma de las tres fuerzas tiene que anularse. En el sistema de ejes de la figura estas fuerzas son

$\begin{array}{l} m\vec{g} = mg\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{T} = T\cos\alpha\,\vec{\imath} - T\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{F}_k = -k\,\overrightarrow{OP}= -k\,(a-a\cos\alpha)\,\vec{\imath} -k a\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath} = -ka\,(1-\cos\alpha)\,\vec{\imath} -k a\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath} \end{array}$

La condición de equilibrio es

$m\vec{g}+\vec{T}+\vec{F}_k=\vec{0}$

Igualando componente a componente tenemos

$\begin{array}{l} T\cos\alpha-ka\,(1-\cos\alpha)=0\\ \\ -T\,\mathrm{sen}\alpha -k a\,\mathrm{sen}\alpha + mg=0 \end{array}$

Para encontrar la expresión del ángulo multiplicamos la primera ecuación por $\mathrm{sen}\,\alpha$ , la segunda por

cosα

y las sumamos. Con eso se obtiene

$\tan\alpha = \dfrac{mg}{ka}$

Podemos observar que si el muelle es muy fuerte (

k

muy grande), el ángulo tiende a cero, lo cual es razonable.

Bola ensartada en semicircunferencia con muelle

Enunciado

Una partícula de masa

m

está obligada a reposar sobre una circunferencia de radio

R

. La partícula está unida al extremo superior de la circunferencia por un muelle de constante elástica

k

y elongación natural nula. El contacto entre la partícula y la circunferencia es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático

μ

Determina el módulo de la componente normal de la fuerza de reacción vincular.
Determina el módulo de la fuerza de rozamiento.

2 Solución

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el el peso ( $m\vec{g}$ ), el muelle $\vec{F}_k$ y la fuerza de reacción vincular, que tiene dos componentes, la normal ( $\vec{\Phi}_N$ ) y la de rozamiento ( $\vec{f}_R$ ). En el sistema de ejes indicado estas fuerza se expresan

$\begin{array}{l} m\vec{g} = -mg\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{\Phi}_N = \Phi_N\cos\theta\,\vec{\imath} + \Phi_N\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{f}_R = -f_R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + f_R\cos\theta\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{F}_k = -k\,\overrightarrow{AP} = -kR\cos\theta\,\vec{\imath} -kR(\mathrm{sen}\,\theta-1)\,\vec{\jmath} \end{array}$

La condición de equilibrio es

$m\vec{g} + \vec{F}_k + \vec{\Phi}_N + \vec{f}_R=\vec{0}$

Igualando las componentes tenemos

$\begin{array}{l} \Phi_N\cos\theta - f_r\,\mathrm{sen}\,\theta - kR\cos\theta=0\\ \\ \Phi_N\,\mathrm{sen}\,\theta + f_R\cos\theta -kR(\mathrm{sen}\,\theta -1) - mg = 0 \end{array}$