Barra deslizando sobre una circunferencia (G.I.A.)

Enunciado

En un plano

O X Y

, se define el sistema cinemático formado por los dos siguientes elementos geométricos:

una circunferencia fija, de radio $R$ y centrada en el punto $C$ de coordenadas $(x_C=R,\, y_C=0)$ ;
un segmento rectilíneo móvil $A' A$ , de longitud superior a $4 R$ , el cual gira con velocidad angular constante $ω$ (en sentido antihorario) alrededor de un eje fijo que pasa por su punto medio $O$ y es normal al plano $O X Y$ (eje $O Z$ ).

Sabiendo que el ángulo

θ

( que forman

O A

O X

) es nulo en el instante inicial

(t = 0)

; y considerando como móvil problema el punto

P

en el que se cortan el segmento

A' A

y la circunferencia , se pide:

item Determinar las ecuaciones horarias, $\mathbf{r}(t) = \overrightarrow{OP}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}$ , del punto $P$ , así como sus vectores velocidad, $\mathbf{v}(t)$ , y aceleración, $\mathbf{a}(t)$ .
Calcular las aceleraciones tangencial y normal de dicho punto $P$ .

2 Solución

2.1 Ecuaciones horarias

Determinamos la posición del punto

P

a través de los vectores $\overrightarrow{OC}$ y $\overrightarrow{CP}$ ,

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}$

El vector $\overrightarrow{OC}$ es

$\overrightarrow{OC} = R\,\vec{\imath} = [\,R\,,\,0\,,\,0\,];$

En el dibujo vemos que el ángulo que forma el vector $\overrightarrow{CP}$ con el eje

O X

2θ

. Como su módulo es el radio

R

tenemos

$\overrightarrow{CP} = R\,\cos(2\theta)\,\vec{\imath} + R\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,\vec{\jmath} = [\,R\,\cos(2\theta)\,,\,R\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,0\,]$

Así pues la posición del punto

P

viene dada por el vector

$\overrightarrow{OP} = [\,R\,(1+\cos(2\theta))\,,\,R\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,\,0\,]$

Teniendo en cuenta que

θ(t) = ω t

tenemos $\dot{\theta}=\omega$ y por tanto

$\begin{array}{l} \vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}} = [\,-2R\omega\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,\,2R\omega\cos(2\theta)\,,\,0\,] \\ \\ \vec{a}_P = \dot{\vec{v}}_P = -4R\omega^2\,[\,\cos(2\theta)\,,\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,\,0\,] \end{array}$

2.2 Aceleración tangencial y normal

El módulo de la aceleración es

$|\,\vec{a}_P\,| = 4R\omega^2$

La aceleración tangencial es la proyección de $\vec{a}$ sobre la dirección tangente a la trayectoria, es decir

$a_T = \dfrac{{\vec{a}_P}\cdot{\vec{v}_P}}{|\,\vec{v}_P\,|}=0$

La aceleración tangencial es cero. Esto puede deducirse también del hecho de que el módulo de la velocidad, $|\,\vec{v}_P\,|=2R\omega$ es constante.

La aceleración normal es

$a_N = \sqrt{|\,\vec{a}_P\,|^2-a_T^2} = |\,\vec{a}_P\,| = 4R\omega^2$

Barra girando en un plano (G.I.A.)

Enunciado

Una barra rígida

A B

de longitud $\ a\$ se mueve en un plano vertical

O X Y

, manteniendo su extremo

A

articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas $\overrightarrow{OA}= a \vec{\imath}$ , y verificando la ley horaria

θ(t) = 2ω t

, con $0 \leq \theta \leq \pi$ y siendo

ω =

cte. Un hilo inextensible de longitud

2 a

tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto

O

), mientras que del otro cuelga una partícula

P

que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo

B

de la barra, de forma que el tramo $\overline{BP}$ permanece siempre paralelo al eje

O Y

(ver figura). Se pide:

Ecuaciones horarias del punto $P: \ \overrightarrow{OP} = \mathbf{r} (t) =x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}$ .
Instante del tiempo $t M$ en que la partícula alcanza su altura máxima.
Radio de curvatura de la trayectoria seguida por $P$ , en el instante considerado en el apartado anterior.

2 Solución

2.1 Ecuaciones horarias del punto $\boldsymbol{P}$

Podemos construir el vector $\overrightarrow{OP}$ como

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP}.$

Veamos como calcular cada uno de los vectores

El vector $\overrightarrow{OA}$ es simplemente el vector de posición del punto

A

$\overrightarrow{OA} = [a,0,0]$

Calculamos las componentes de $\overrightarrow{AB}$ proyectando sobre los ejes a través del ángulo

θ

$\overrightarrow{AB} = [a\cos\theta,a\,\mathrm{sen}\,\theta,0]$

Por último el vector $\overrightarrow{BP}$ es

$\overrightarrow{BP} = -|\overrightarrow{BP}|\,\vec{\jmath} = [0,-|\overrightarrow{BP}|,0]$

Sabiendo que la longitud total del hilo es

2 a

, del dibujo vemos que

$|\overrightarrow{BP}| = 2a - |\overrightarrow{OB}|.$

Tenemos $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(a(1+\cos\theta),a\,\mathrm{sen}\,\theta,0)$ , luego su módulo es

$|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\,\mathrm{sen}\,^2\theta} = a\sqrt{2(1+\cos\theta)} = 2a\cos(\theta/2)$

donde hemos usado $\cos(\theta/2) = \sqrt{(1+\cos\theta)/2}$ . Entonces

$\overrightarrow{BP} = [0,-2a(1-\cos(\theta/2)),0]$

A partir de la expresión de $\overrightarrow{OP}$ obtenemos

$\overrightarrow{OP} = [ a(1+\cos\theta),a(\,\mathrm{sen}\,\theta-2 +2\cos(\theta/2)),0]$

Sustituyendo la ley horaria

θ(t) = 2 w t

obtenemos

$\overrightarrow{OP}(t) = [ a(1+\cos(2wt)),a(\,\mathrm{sen}\,(2wt)-2+2\cos(wt)),0]$

El dibujo indica la trayectoria seguida por el punto

P

y el extremo de la barra

B

2.2 Instante en que alcanza la altura máxima

La partícula alcanza su altura máxima cuando la componente

Y

de la velocidad se anula. La velocidad de la partícula es

$\begin{array}{ll} \vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}} =& [-2aw\,\mathrm{sen}\,(2wt),2aw(\cos(2wt)-\,\mathrm{sen}\,(wt)),0] =\\ & [-2aw\,\mathrm{sen}\,(\theta),2aw(\cos(\theta)-\,\mathrm{sen}\,(\theta/2)),0] \end{array}$

Para que la velocidad

v y

sea nula debe ocurrir que

$\cos(\theta) = \,\mathrm{sen}\,(\theta/2)$

Teniendo en cuenta que $\,\mathrm{sen}\,(\theta/2) = \sqrt{(1-\cos\theta)/2}$ , elevando al cuadrado llegamos a la ecuación

2cos 2 θ + cosθ - 1 = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones

$\cos\theta = \left\{ \begin{array}{l} 1/2 \\ -1 \end{array} \right. \to \theta = \left\{ \begin{array}{l} \pi/3 \\ \pi \end{array} \right.$

El punto de altura máxima corresponde al primer valor. Así pues el ángulo para el que la altura es máxima, y el tiempo correspondiente son

$\begin{array}{ccc} \theta_{M} = \pi/3&\,\,\,\,&t_M = \pi/6w \end{array}$

2.3 Radio de curvatura en el punto más alto

Necesitamos la aceleración en el instante

t M

. La aceleración en cualquier instante es

$\begin{array}{ll} \vec{a}_P = \dot{\vec{v}}_P =& [-4aw^2\cos(2wt),-2aw^2(-2\,\mathrm{sen}\,(2wt)+\cos(wt)),0] =\\ &[-4aw^2\cos(\theta),-2aw^2(2\,\mathrm{sen}\,(\theta)+\cos(\theta/2)),0] \end{array}$