sábado, 30 de mayo de 2015

Física I (G.I.A.)

1 Ondas mecánicas

2 Ondas transversales y longitudinales

2.1 Ondas longitudinales

En una onda longitudinal la vibración de las partículas se produce en la misma dirección en que se propaga la onda.
El caso más común de onda longitudinal es el de las ondas de compresión, en el que las partículas vibran en un sentido, tradmitiendo su vibración a las partículas adyacentes. A este tipo de ondas de compresión pertenece el sonido (en particular, para el caso de que el medio material sea el aire), y las ondas sísmicas P.

2.1.1 Onda sinusoidal

Cuando tenemos una oscilación periódica, cada partícula oscila en torno a su posición de equilibrio con una variación de la forma
x_i(t) = x_{i\mathrm{eq}} + s_0 \cos(\omega t - k x + \phi)\,
Aunque la onda avanza, observando cada una de las partículas individualmente, puede verse que en promedio cada una permanece inmóvil.
Imagen:Ondalongitudinal.gif

2.1.2 Pulso

Una onda (longitudinal o transversal) no tiene por qué ser necesariamente una sinusoide. Un golpe seco en un extremo de un material produce un pulso, que se mueve a lo largo de él. Este pulso es también una onda.
Imagen:Pulsolongitudinal.gif

2.2 Ondas transversales

En una onda transversal cada partícula se mueve perpendicularmente a la dirección en que avanza la onda, de forma que para una onda sinusoidal sería
y = A \cos(\omega t - k x)\,
Más en general, una onda transversal es una combinación de una señal que se propaga en un sentido más una que se propaga en el sentido opuesto, lo cual se puede escribir en la forma general
y = f\left(x-vt\right)+g(x+vt)\,
siendo f y g funciones arbitrarias de una variable (aunque si representan ondas físicas reales, además son acotadas).

2.2.1 Onda sinusoidal

Imagen:Ondatransversal.gif

2.2.2 Pulso

Imagen:Pulsotransversal.gif

2.3 Combinaciones de ondas

Una onda puede ser una combinación de una onda longitudinal y una transversal, de forma que cada partícula describe un movimiento elíptico.
En particular, la trayectoria individual puede ser una circunferencia, esto es lo que ocurre para las ondas superficiales en agua (qque no son transversales, como suele suponerse), el movimiento de cada partícula es
x = x_\mathrm{eq} + A\cos(\omega t - k x_\mathrm{eq})\,         y = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t - kx_\mathrm{eq})\,

Imagen:Ondacircular.gif

3 Ecuación de onda

Una onda puede definirse, de forma matemática, como una solución de la ecuación de onda, que es una ecuación diferencial concreta.
Si el análisis de una magnitud de un sistema físico conduce a una ecuación diferencial de la misma forma que la ecuación de onda, se puede concluir que la solución para dicha magnitud es un comportamiento ondulatorio, aunque no se trate de un sistema mecánico y no haya verdadero movimiento de partículas (esto es lo que ocurre, por ejemplo, con las ondas electromagnéticas).

3.1 En una dimensión

Si tenemos una magnitud u que depende de una coordenada x y del tiempo, esta magnitud presenta comportamiento ondulatorio si se satisface la ecuación diferencial en derivadas parciales
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0
siendo v la velocidad de la onda.
Ondas en una cuerda tensa
Por ejemplo, en el caso de una cuerda tensa puede demostrarse que los movimientos transversales verifican la ecuación
\mu\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = F_T\frac{\partial^2y}{\partial x^2}
siendo μ la densidad lineal de masa y FT la tensión de la cuerda. Reescribiendo esta ecuación como
\frac{\partial^2y}{\partial x^2}-\frac{1}{F_T/\mu}\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = 0
vemos que el movimiento de la cuerda tensa es ondulatorio, siendo su velocidad
v = \sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
Ondas electromagnéticas
Al analizar el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos dependientes del tiempo, Maxwell llegó a la conclusión de que en el espacio vacío un campo eléctrico dependiente de una sola coordenada verifica la ecuación
\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial x^2}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=\mathbf{0}
siendo \varepsilon_0 y μ0 dos constantes físicas denominadas permitividad y permeabilidad del vacío:
\varepsilon_0\simeq \frac{1}{36\pi\times 10^{9}}\,\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}        \mu_0= 4\pi\times 10^{-7}\,\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}
De esta ecuación resulta que el campo eléctrico (y el magnético) tiene un comportamiento ondulatorio, siendo su velocidad
c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\simeq 3\times 10^8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
que es exactamente la velocidad de la luz. De esto Maxwell concluyó que la luz es una onda electromagnético.

3.1.1 Principio de superposición

Una propiedad importante de la ecuación de onda es que es lineal, esto es, que verifica el principio de superposición: si u1 y u2 son dos soluciones, cualquier superposición
u=a u_1 + bu_2\,
con a y b constantes es también una solución.

3.1.2 Solución general de la ecuación de onda

Puede demostrarse que la solución general de la ecuación de onda
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0
es una función de la forma
u = f(x-vt) + g(x+vt)\,
siendo f y g dos funciones cualesquiera de una variable. No obstante, para una onda real de un sistema físico no pueden ser cualesquiera, sino que deben ser continua, derivable y acotada (no irse a infinito). Aun así, esto dejea mucha libertad a las soluciones: pulsos, ondas viajeras y estacionarias son soluciones de la ecuación de onda.
En particular, si g = 0 nos queda la solución
u = f(x-vt)\,
que es una onda viajera que se propaga hacia x creciente. Esta onda conserva su forma (ya quef(s) es siempre la misma, solo va cambiando su posición)
Si f = 0, la solución es de la forma
u = g(x+vt)\,
que es una onda viajera propagándose hacia los valores de x decrecientes
En el caso general, la solución es una superposición de una señal que se propaga hacia la derecha con una que se propaga hacia la izquierda. Así, por ejemplo, una onda estacionariapuede verse como la suma de dos sinusoides de igual amplitud moviéndose en sentidos opuestos.
El principio de superposición im plica que, aunque cuando las dos señales coinciden en el espacio y el tiempo la solución resultante puede tener una aspecto muy complicado, una vez que separan cada una de las señales continúa sin cambios, como si no se hubiera encontrado con la otra.

3.1.3 Deducción de la ecuación de onda en una dimensión

La expresión matemática de la ecuación de onda puede inducirse a partir de la solución. Partiendo del principio físico de que una onda es una propagación de una señal sin transmisión de materia, y de que las ondas pueden superponerse, se busca una ecuación diferencial tal que
  • f(x − vt) es solución para todo f
  • g(x − vt) es solución para todo g
  • Una superposición f(x − vt) + g(x + vt) es solución para todo f y todo g
Imponiendo estas tres condiciones se llega a que la ecuación diferencial más sencilla que las verifica es la ecuación de onda.

3.2 En tres dimensiones

La ecuación de onda puede generalizarse al caso de una magnitud que depende de las tres coordenadas espaciales. En este caso la ecuación diferencial es
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0

En el caso tridimensional, aunque v sigue siendo la velocidad de la onda, ya las soluciones no poseen la forma snecilla de funciones que se mueven sin deformarse. Por ejemplo, un sonido que se extiende desde una fuente puntual en todas las direcciones se va atenuando, a medida que la energía de la onda sonora se va expandiendo y alejándose de la fuente.

Potencia y energía en una onda

Contenido

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1 Introducción

Una onda suele definirse en términos como una “transmisión de energía sin transmisión de materia”. Esta definición, aunque un tanto imprecisa y no lo bastante general (ya que no incluye, por ejemplo, a las ondas estacionarias), sí expresa un hecho cierto: una onda viajera transmite energía desde el punto en que se origina hasta el punto al que llega, actuando como mecanismo para la “acción a distancia”.
Un cierto agente desarrolla una potencia al emitir una onda (sea ésta en una cuerda, de sonido, electromagnética o de otro tipo), esta potencia se manifiesta en una cierta densidad de energía que se propaga a lo largo de la onda y es entregada en el punto de destino a través de la potencia desarrollada por el propio medio de propagación (por ejemplo, la fuerza que ejerce una cuerda sobre un sistema situado en su extremo final.
Esta propagación es simultánea al almacenamiento de energía. La energía se propaga gracias a que en todo momento hay una cierta energía almacenada a lo largo del medio. En particular, en las ondas estacionarias tenemos almacenamiento de energía sin propagación.
A continuación nos centraremos en el caso particular de la cuerda tensa, con especial atención a las ondas sinusoidales, aunque muchos de los resultados son generalizables a otros tipos de ondas.

2 Energía almacenada

2.1 Energía cinética

La energía cinética almacenada en un instante dado en una longitud dada de la cuerda es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas que la forman.
Si dividimos la cuerda en porciones de longitud dx, la masa de cada porción es
\mathrm{d}m =\mu\,\mathrm{d}x
con μ la densidad lineal de masa. La energía cinética de esta pedazo será
\mathrm{d}K=\frac{1}{2}\mathrm{d}m\,v^2 = \frac{1}{2}\mu\,\mathrm{d}x\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2
Integrando obtenemos la energía cinética almacenada en una porción de cuerda
K = \frac{1}{2}\int_0^L \mu \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\,\mathrm{d}x

2.1.1 Onda viajera sinusoidal

Aplicando la ecuación anterior a una longitud de onda de una onda viajera
y = A \cos(\omega t - k x)\,
obtenemos la energía cinética de una porción de cuerda
\mathrm{d}K = \frac{1}{2}\mu A^2\omega^2\mathrm{sen}^2(\omega t - k x)\,\mathrm{d}x
y la integral sobre una longitud de onda
K = \int_0^\lambda \mathrm{d}K = \frac{1}{2}\mu A^2\omega^2\int_0^\lambda \mathrm{sen}^2(\omega t - k x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\mu A^2\omega^2\int_0^\lambda(1-\cos(2\omega t - 2k x))\,\mathrm{d}x
donde hemos usado la fórmula del ángulo doble
\mathrm{sen}^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}
Resultan dos integrales, la primera de las cuales vale simplemente λ, mientras que la segunda es una integral de cos(s) sobre dos periodos, por lo que se anula. Por tanto
K = \frac{1}{4}\mu\omega^2 A^2\lambda
Lo más importante de este resultado es que resulta una función cuadrática en la amplitud, esto es, a doble amplitud corresponde cuádruple energía.
Una cantidad derivada de esta es la densidad de energía cinética, obtenida suponiendo que la energía cinética se reparte uniformemente sobre la longitud de onda (lo cual es cierto solo en promedio).
\frac{K}{\lambda} = \frac{1}{2}\mu \omega^2 A^2
Esta densidad de energía no solo es cuadrática en en la amplitud, sino también la frecuencia.

2.1.2 Onda estacionaria sinusoidal

De forma análoga se calcula la energía cinética de la onda estacionaria
y = A \cos(\omega t)\cos(k x)\,
y resulta
K = \frac{1}{2}\mu\omega^2 A^2\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\int_0^\lambda \cos^2(k x)\,\mathrm{d}x= \frac{\lambda}{4}\mu \omega^2 A^2 \,\mathrm{sen}^2(\omega t)
A diferencia del caso de la onda viajera, para el cual la energía cinética permanece constante en el tiempo, en la onda estacionaria resulta una cantidad oscilante. La razón es que para una onda viajera en una longitud de onda hay en todo momento puntos con velocidad máxima y puntos en reposo, y todas las posibilidades intermedias. En una onda estacionaria todos los puntos oscilan al unísono de forma que en un instante todos tienen la velocidad máxima (y la energía cinética es máxima), y en otro están todos en reposo (y la energía cinética es nula).

2.1.3 Onda triangular

Consideremos ahora el caso de un pulso triangular
y = f(x-vt)\qquad f(s) = \begin{cases} 0 & s < -a \\ h(a+s)/a & -a < s < 0 \\ h(a-s)/a & 0 < s < a \\ 0 & s > a\end{cases}
y vamos a calcular la energía almacenada en toda la longitud de la onda (desde -\infty hasta +\infty)
La velocidad de cada punto es
\frac{\partial y}{\partial t} = -vf'(s) = \begin{cases} 0 & s < -a \\ -vh/a & -a < s < 0 \\ vh/a & 0 < s < a \\ 0 & s > a\end{cases}
y la energía cinética
K = \frac{\mu}{2}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\mathrm{d}x
haciendo el cambio de variable s = x − vt y separando la integral en cuatro tramos queda
K = \frac{\mu}{2}\left(\int_{-\infty}^{-a}0\,\mathrm{d}s+\int_{-a}^{0}\frac{h^2v^2}{a^2}\,\mathrm{d}s+\int_{0}^{a}\frac{h^2v^2}{a^2}\,\mathrm{d}s+\int_{a}^{\infty}0\,\mathrm{d}s\right) = \mu \frac{h^2v^2}{a}

2.2 Energía potencial

Una onda también almacena energía potencial ya que al deformarse se estira, almacenando energía elástica.
La energía potencial almacenada entre los puntos x y x + dx es el trabajo realizado al aumentar la longitud de un trozo de dx a ds
\mathrm{d}U=F_T(\mathrm{d}s-\mathrm{d}x)=F_T\left(\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}-\mathrm{d}x\right)\,
donde hemos aplicado el teorema de Pitágoras para expresar ds.
Si la deformación es pequeña, ds y dx son cantidades muy próximas, por lo que la expresión de arriba tiende a cero. Para evitar quedarnos sin nada, multiplicamos arriba y abajo por ds + dx y nos queda
\mathrm{d}U=F_T\frac{(\mathrm{d}s)^2-(\mathrm{d}x)^2}{\mathrm{d}s+\mathrm{d}x} \simeq F_T\frac{(\mathrm{d}y)^2}{2\mathrm{d}x}
La variación de y la da la derivada
\mathrm{d}y=\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\mathrm{d}x
lo que nos da el diferencial de energía potencial
\mathrm{d}U = \frac{1}{2}F_T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\mathrm{d}x
y la energía potencial contenida en una una cierta longitud de cuerda
U=\frac{1}{2}\int_0^L F_T \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\mathrm{d}x

2.2.1 Caso de una onda viajera

En el caso de una onda puramente viajera (no una onda estacionaria, ni una suma de ondas propagándose en los dos sentidos), se cumple que
\frac{\partial y}{\partial x}=\pm v\frac{\partial y}{\partial t}
por lo que esta energía potencial es igual a
U=\frac{1}{2}\int_0^L F_T v^2\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\mathrm{d}x
pero
F_Tv^2 = \mu\,   \Rightarrow    U = \frac{1}{2}\int_0^L \mu \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\mathrm{d}x = K
esto es, para una onda puramente viajera, su energía cinética y su energía potencial son iguales. Esto no ocurre en el caso general.

2.2.2 Onda viajera sinusoidal

La energía potencial almacenada en una longitud de onda de la onda viajera
y = A \cos(\omega t - k x)\,
es
U = \frac{1}{2}F_T A^2k^2\int_0^\lambda \mathrm{sen}^2(\omega t - k x)\mathrm{d}x = \frac{1}{4}F_TA^2k^2\lambda
y densidad de energía potencial por unidad de longitud
\frac{U}{\lambda}=\frac{1}{2}F_T k^2 A^2
Aplicando que
\frac{F_T}{\mu}=v^2=\frac{\omega^2}{k^2}
esta densidad de energía se transforma en
\frac{U}{\lambda}=\frac{1}{4}\mu\omega^2 A^2
esto es, es idéntica a la densidad de energía cinética, como dedujimos antes para cualquier onda viajera.

2.2.3 Onda estacionaria sinusoidal

De la misma manera podemos calcular la energía potencial de una onda estacionaria
y = A \cos(\omega t)\cos(kx)\,
y resulta
U = \frac{1}{2}F_Tk^2A^2\cos^2(\omega t)\int_0^\lambda \mathrm{sen}^2(kx)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}F_Tk^2A^2\cos^2(\omega t)\lambda
Aplicando de nuevo la relación entre la tensión y la velocidad de la onda
U = \frac{\lambda}{4}\mu\omega^2A^2\lambda \cos^2(\omega t)
Como con la energía cinética, la energía potencial de una onda estacionaria no es una constante. Es la suma de las dos, la energía mecánica, la que permanece constante.
En este caso, podemos ver además que
U \neq K\,
por no tratarse de una onda puramente viajera.

2.2.4 Onda triangular

Para el pulso triangular
y = f(x-vt)\qquad f(s) = \begin{cases} 0 & s < -a \\ h(a+s)/a & -a < s < 0 \\ h(a-s)/a & 0 < s < a \\ 0 & s > a\end{cases}
la energía potencial almacenada en toda la longitud de la onda (desde -\infty hasta +\infty) es
U = \frac{F_T}{2}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\mathrm{d}x
La derivada que aparece en el integrando es igual a
\frac{\partial y}{\partial x} = f'(s) = \begin{cases} 0 & s < -a \\ h/a & -a < s < 0 \\ -h/a & 0 < s < a \\ 0 & s > a\end{cases}
haciendo el cambio de variable s = x − vt y separando la integral en cuatro tramos queda
U = \frac{F_T}{2}\left(\int_{-\infty}^{-a}0\,\mathrm{d}s+\int_{-a}^{0}\frac{h^2}{a^2}\,\mathrm{d}s+\int_{0}^{a}\frac{h^2}{a^2}\,\mathrm{d}s+\int_{a}^{\infty}0\,\mathrm{d}s\right) = F_T \frac{h^2}{a}=\mu\frac{h^2v^2}{a}
Al tratarse de una onda viajera, la energía potencial coincide con la cinética.

2.3 Energía total

La energía total de una onda será la suma de su energía cinética más la potencial
K=\frac{1}{2}\int_0^L \mu \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\mathrm{d}x        U=\frac{1}{2}\int_0^L F_T \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\mathrm{d}x        E=K+U=\frac{1}{2}\int_0^L \left(\mu \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2+F_T \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right)\mathrm{d}x
Para los tres casos anteriores, esta energía es igual a
Onda viajera sinusoidal
E = K + U = \frac{1}{4}\mu\omega^2A^2\lambda+\frac{1}{4}\mu\omega^2A^2\lambda=\frac{1}{2}\mu\omega^2A^2\lambda
Onda viajera estacionaria
E = K + U = \frac{1}{4}\mu\omega^2A^2\lambda\,\mathrm{sen}^2(\omega t)+\frac{1}{4}\mu\omega^2A^2\lambda\cos^2(\omega t)=\frac{1}{4}\mu\omega^2A^2\lambda
Vemos que, aunque la energía cinética y la potencial son funciones oscilantes, su suma es una constante. En una onda estacionaria, la energía cinética se transforma en potencial y viceversa.
Onda triangular
E = K + U = \mu\frac{v^2h^2}{a}+\mu\frac{v^2h^2}{a}=2\mu\frac{v^2h^2}{a}

3 Potencia

Supongamos una cuerda tensa que se extiende desde x = 0 en adelante. Si desde extremo se genera una onda agitando la cuerda, se introduce una energía en el sistema. El ritmo al que entra este energía lo da la potencia desarrollada por el agente que está moviendo la cuerda
P = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\,
En el extremo de la cuerda la velocidad del punto es puramente perpendicular a la cuerda, por tratarse de una onda transversal
\mathbf{v}= \frac{\partial y}{\partial t}\mathbf{j}
por lo que la potencia desarrollada es
P = F_y \frac{\partial y}{\partial t}
La componente transversal de la fuerza la podemos calcular observando que por tratarse de una tensión es tangente a la cuerda
\mathbf{F}=-F_T(\cos\theta\mathbf{i}+\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{j})   \Rightarrow   F_y = -F_T\,\mathrm{sen}\,\theta
Si el ángulo de desviación es pequeño se cumple que
\cos\theta\simeq 1   \Rightarrow   \mathrm{sen}\,\theta\simeq\,\mathrm{tg}\,\theta
y la tangente del ángulo es la pendiente de la curva en x = 0
\mathrm{tg}\,\theta =\frac{\partial y}{\partial x}   \Rightarrow   F_y \simeq -F_T\frac{\partial y}{\partial x}
Por tanto la potencia desarrollada por el agente que mueve la cuerda es
P = -F_T\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t}
La energía inyectada en el sistema durante un tiempo T será
\Delta E = \int_0^T P\,\mathrm{d}t = -\int_0^T F_T\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t}\,\mathrm{d}t

3.1 Onda viajera sinusoidal

Para una onda viajera
y= A \cos(\omega t - kx)\,
la potencia desarrollada en x = 0 es
\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=0}= -A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)        \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x=0}= Ak\,\mathrm{sen}(\omega t)   \Rightarrow    P = F_T\omega k A^2\,\mathrm{sen}^2(\omega t)
y la energía que se introduce en un periodo
\Delta E = \int_0^T P\,\mathrm{d}t = F_T\omega k A^2\int_0^T\mathrm{sen}^2(\omega t)\,\mathrm{d}t = F_T\omega k A^2\frac{T}{2}
Aplicando que
T = \frac{\lambda}{v}         k = \frac{\omega}{v}        F_T = \mu v^2\,
resulta
\Delta E = \frac{\mu \omega^2 A^2\lambda}{2}
que es exactamente la energía almacenada en una longitud de onda. Este resultado nos dice que la cantidad de energía que entra en la onda durante un periodo se distribuye hasta ocupar una longitud de onda, y por tanto la velocidad a la que se propaga la energía es justamente v, la velocidad con la que avanza la onda.
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