miércoles, 27 de mayo de 2015

Lógica



Una lógica de segundo orden es una extensión de una lógica de primer orden en la que se añaden variables para propiedades, funciones y relaciones, y cuantificadores que operan sobre esas variables.1 Así se expande el poder expresivo del lenguaje sin tener que agregar nuevos símbolos lógicos.------------------------------------------.:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=cdb99d0ced65234b4f92186292cba3bacbf811c5&writer=rdf2latex&return_to=L%C3%B3gica+de+segundo+orden

Lógica de segundo orden

LP2 (lógica de predicados de orden 2) es como LP1 pero puede cuantificar proposiciones además de variables. Es más expresiva, pero no tiene la propiedad de completitud (esto ha espantado a los lógicos y ha hecho que usen más la de primer orden). George Boolos5 (1940-1996) vio que esta incompletitud sólo pasa en la lógica de segundo orden poliádica (predicados de $n$ lugares, con $n>1$), pero la monádica (con predicados de un solo lugar) es no sólo completa y consistente, sino también decidible. Incluso es mejor que la de primer orden poliádica. [WP]
La de segundo orden surgió de la presentación inicial de la lógica de predicados de Frege (la primera). Ya distinguía dos tipos de cuantificaciones diferentes (de variables o de predicados) pero no los clasificaba como lógicas distintas. Cuando los lógicos descubrieron la paradoja de Russell, vieron que había algo que no cuadraba, y la lógica de predicados se separó en dos: LP2 y LP1.
Esta paradoja, descubierta por Bertrand Russell en 1901, proponía considerar el conjunto de ``todos los conjuntos que no se incluyen a ellos mismos como miembros'':
$M=\{ A\mid A\notin A\}$
Se contiene $M$ a sí mismo? Si se contuviese ($M\in M$), no sería un miembro de $M$ según su definición. Pero, si no se contiene ($M\notin M$), entonces ha de estar incluido en $M$, otra vez debido a la definición de $M$. Por tanto, tanto $M\in M$ como $M\notin M$ llevan a una contradicción.6
Russell escribió a Frege el 1902, justo cuando Frege iba a empezar a escribir el segundo volumen del Grundgesetze der Arithmetik (Leyes básicas de la aritmética). Y Gottlob Frege, que había basado toda su obra en la suposición de que la intensión y la extensión de un conjunto siempre coincidían, se deprimió mucho y pasó una época de crisis (1904-1908) sin ganas de hacer lógica.
La paradoja motivó que se hiciera una lógica de primer orden, donde conjuntos y propiedades no se pudiesen cuantificar.
Aunque cuando hacemos lógica normalmente pensamos en la de primer orden, los humanos también usamos la de segundo sin darnos cuenta. Por ejemplo, no es nada del otro mundo preguntar ``¿En qué se parecen el Boole y el Boolos?'', y con esto estoy preguntando que cuál es la propiedad (de todas las que hay) que tanto uno como el otro cumplen.


Lógica de términos

El primer sistema lógico del que hablaré es quizás el más antiguo, la lógica de términos. Es el sistema que explicó Aristóteles en el Organon, pero continuó sin cambios hasta que llegó la lógica de predicados, en el siglo XIX.
Intervienen tres cosas:
  • Término: es una idea, pero que no es ni cierta ni falsa. Por ejemplo, ``hombre'' o ``mortal'' (famosos ejemplos).
  • Proposición: consiste en dos términos, de forma que a uno se le afirma o niega el otro. Esto sí que tiene valor de verdad. Ejemplo, ``los mortales no son hombres''.
  • Silogismo: inferencia donde una proposición se deriva necesariamente de otras dos.
Se le llama lógica de términos porque en cada proposición hay dos términos. Pero además, cada proposición puede ser universal o particular, y también afirmativa o negativa. Por tanto, quedan cuatro tipos:
  • Tipo A: universal y afirmativa (``todos los perros son mortales'')
  • Tipo I: particular y afirmativa (``algunos ejemplos son absurdos'')
  • Tipo E: universal y negativa (``ningún filósofo es rico'', o ``todos los filósofos son no ricos'')
  • Tipo O: particular y negativa (``algunos perros no son filósofos'')
Entonces, Aristóteles proponía un cuadrado de oposición que indica las incompatibilidades entre las 4 versiones de una proposición. De [WP]:
Image Square
Y dice que:
  1. Al menos uno de los universales ha de ser falso
  2. Las proposiciones contradictorias tienen valores de verdad opuestos
  3. Los universales hacen que sean ciertos sus subalternos
  4. Al menos una de las 4 opciones es cierta
Esto tiene un error grave, y se ve con la proposición ``todos los S son P''. En la lógica moderna, esto no quiere decir que exista ningún S, pero Aristóteles -según el punto 3- quiere implicar que ``algunos S son P'', cosa que no cuadra ( $\forall xPx\nRightarrow\exists xPx$). A este problema le llaman problema del existencial importado.
De esta lógica silogística viene el famoso ejemplo que conmemora la muerte de Sócrates:
Todos los hombres son mortales.
Sócrates es un hombre.
Sócrates es mortal.
Pero aquí se ha añadido un concepto nuevo: los términos singulares. No decimos ``Todos los Sócrates son hombres'' ni ``Algunos Sócrates son hombres'', pero Aristóteles ya explica en el libro Metafísica que no se puede afirmar ``Sócrates'' para más de una persona, y que por eso no decimos el $\forall$ ni el $\exists$. Más adelante se intentaron corregir estas complicaciones gramaticales; por ejemplo, Antoine Arnauld (1612-1694), en su Lógica de Port Royal, sugiere simplificarlo a ``todos los Sócrates''. En cambio, Frege (1848-1925) aprovecha estos problemas para desbancar a la lógica de términos.[WP]
La lógica de términos tiene otros problemas expresivos. Por ejemplo, no hay forma de decir cosas más complicadas que el silogismo, como ``Existe un gato que se come a todos los ratones'' (tendría dos cuantificadores). El Begriffsschrift de Frege fue la primera lógica en tratar bien los cuantificadores por medio de asignaciones a variables.
Además de la formalización, Aristóteles también impide muchos razonamientos; por ejemplo, sabemos que ``todos los coches son vehículos'', pero no podemos deducir que ``todos los propietarios de un coche son propietarios de un vehículo''.
Todo esto hace que, poco a poco, se abandone la lógica de términos. No fue un cambio brusco en 1890-1910 debido a las obras de Frege y Russell, sino que se tardó unos 70 años, e incluso Quine3 (1908-2000) habla mucho en 1982 en su Methods of Logic (además de otros métodos, claro).
No obstante, algunos piensan que la lógica de términos se debería recuperar, ya que la lógica de predicados (la nueva) es demasiado artificial y lejana a los razonamientos que hacemos en la vida diaria, además de tener algunos problemas. Fred Sommers (1923-), en The Logic of Natural Language, propone una nueva silogística que podría funcionar; pero el problema, dice, es que:[WP]
The older logic of terms is no longer taught and modern predicate logic is too difficult to be taught. School children a hundred years ago were taught a usable form of formal logic, today -in the information age- they are taught nothing.



Lógica proposicional

Ésta es la lógica de predicados de orden cero (LP0), y trabaja con conceptos sencillos que son ciertos o falsos (llueve, hace sol, etc.). En la de orden 1 ya aparecen variables (``el día $x$ llueve'', ``el día $x$llueve en la comarca $y$'', etc.), y en la de orden 2 aparecen variables y predicados (``todo fenómeno meteorológico $f$ de los anteriormente mencionados tiene un día $x$ en el que ocurre'').
Como en LP0 no hay variables, tampoco hacen falta los cuantificadores. Su sintaxis es muy sencilla: [Sal98, p 3]
  1. Todo átomo ($P$, $Q$, $R$, $S$, ...) es una fórmula bien formada.
  2. Si $A$ es una fórmula bien formada, $\neg A$ también lo es.
  3. Si $A$ y $B$ son fórmulas bien formadas, también lo son $(A\wedge B)$, $(A\vee B)$ y $(A\Rightarrow B)$.
  4. No hay más fórmulas.
Además, permite hacer razonamientos de forma fácil, con la deducción natural (explicación en [Cle04]). Por ejemplo, aquí va la demostración de $\neg A\vee B\vdash A\Rightarrow B$, que es un caso no tan trivial (ni tannatural):
\begin{displaymath}\begin{fitch} \par \neg A \vee B \ \par \fh A & H \ \par ... ... \par A \Rightarrow B & I$\Rightarrow$ 2,11 \par \end{fitch} \end{displaymath}

La deducción natural intenta reproducir la manera de razonar que tenemos los humanos. Incluye las operaciones lógicas más antiguas, como la reducción al absurdo, ya usada por Pitágoras 5 siglos aC. en la demostración de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ (mucho antes que Aristóteles pensase su lógica de términos).
Aunque creada por los humanos desde hacía tiempo, fue formalizada en los años 1930. Jan Lukasiewicz 4 sugirió la idea en 1926, y Jaskowsky hizo un intento (sin mucho éxito) el 1929, usando diagramas. Fue el alemán Gerard Gentzen (1909-1945) que en 1935 y en Göttingen introdujo el primer modelo funcional. [WP]. Pero el modelo de Gentzen era un poco complicado, y -por suerte- Fitch inventó (en 1944) una notación más sencilla, que es la que aparece en el diagrama de arriba.
La mayoría de razonamientos de los que las personas discutimos habitualmente pueden ser escritos sin muchos problemas con lógica proposicional y ser demostrados con deducción natural. Refutar argumentos es más complicado: se puede hacer por resolución, pero como no se parece mucho a nuestro lenguaje natural ni forma de pensar, lo que hacemos habitualmente es usar el argumento a refutar como hipótesis, inventar alguna cosa que dependa de éste, e intentar llegar a una contradicción (por tanto, reductio ad absurdum).
El problema que podemos encontrar es que la lógica proposicional no es muy expresiva si queremos hablar de relaciones. Por ejemplo, se puede formalizar ``si Peano tiene razón pero Quine no, entonces Russell tampoco'' como $P\wedge\neg Q\Rightarrow\neg R$. Pero cuando queremos decir ``si Peano es amigo de Quine, y Quine de Russell, entonces Peano es amigo de Russell'' ya necesitamos la lógica de primer orden:$Apq\wedge Aqr\Rightarrow Apr$.


Ilógica

Hay muchas visiones alternativas de cómo piensa la gente y de cómo debería ser la ciencia. Como siempre intentan ser diferentes de la realidad, creo que vale la pena conocer algunas por las ideas que aportan.
El absurdo está presente en muchos sitios; el surrealismo, dadaísmo y futurismo (a principios del siglo XX) ya consideraban que la ilógica era la base del arte. Además, los patafísicos ya llevan desde 1893 (con Alfred Jarry) haciendo su versión de la ciencia y metafísica (a base de patáforas), aunque no muy estricta. [WP]
Pero la ilógica vive su esplendor mucho antes, gracias a Lewis Carroll (Charles Lutwidge Dodgson, 1832-1898). Cuando salía de pícnic con las hijas de Henry Liddell, iba inventando las historias que después escribiría en Alice's Adventures in Wonderland y en Through the Looking Glass (aunque lo que él quería escribir era el Symbolic Logic, que no iba de aventuras). En los libros de Alicia ya aparecen todo tipo de juegos de lógica e ilógica.
Salen juegos de palabras, parodia, sátira, juegos y adivinanzas, absurdeces, parábolas, sueños y pesadillas, elementos Freudianos, experiencias psicodélicas, referencias a los Liddell y a la comunidad de Oxford, y otros.
Carroll conoce la lógica y el lenguaje, pero la utiliza a su manera, proponiendo ignorar las limitaciones y ``creer las cosas imposibles''. También fue capaz de escribir todo un poema con palabras sin significado (que muchos ya se han encargado de investigar e inventar). Ésta es la primera estrofa del famoso Jabberwocky: [WP]
'Twas brillig, and the slithy toves
Did gyre and gimble in the wabe;
All mimsy were the borogoves,
And the mome raths outgrabe.
Hay muchos otros sistemas basados en la ilógica. Por ejemplo, el escritor Jorge Luis Borges (1899-1986) escribe en Tlön, Uqbar, Orbis Tertius: [Bor40]
Este monismo o idealismo total invalida la ciencia. Explicar (o juzgar) un hecho es unirlo a otro; esa vinculación, en Tlön, es un estado posterior del sujeto, que no puede afectar o iluminar el estado anterior. Todo estado mental es irreductible: el mero hecho de nombrarlo -id est, de clasificarlo- importa un falseo. De ello cabría deducir que no hay ciencias en Tlön -ni siquiera razonamientos. La paradójica verdad es que existen, en casi innumerable número.
O sea, que cada idea es independiente de las otras, y es inútil buscar relaciones entre ellas. Es similar a lo que querían los sofistas: que no importa el valor de verdad de una proposición, porque esto es una cosa que ha de decidir cada juez, y su decisión es indiscutible.Otra manifestación del pensamiento ilógico está en las religiones. Aparte de las tradicionales (que no son el tema aquí), hay alguna creada por diversión y basada únicamente en lo absurdo (pero con su conjunto de reglas, leyes, lenguajes, etc.). Son ejemplo el Pastafarismo (la del monstruo del espagueti volador), y el Discordianismo (basada en el caos). [WP]
Un ejemplo del absurdo actual -además de los Monty Python- es el proyecto Uncyclopedia8 , parecido a Wikipedia (todos la pueden editar), pero donde se acepta toda clase de mentiras, siempre que sean divertidas. Actualmente, con 12 meses de vida, ya tiene más de 18.000 artículos, y por tanto supera a muchos otros medios de comunicación, que además no le llegan al mismo nivel.
Pero, de hecho, en nuestro lenguaje diario continuamos usando la lógica (o intentándolo), en vez de la ilógica. Esto puede ser porque tenemos que conocer bien la lógica para saber saltarnos las reglas a gran escala; o quizás nos comportamos de forma ``lógica'' por miedo a contradecirnos y quedar en ridículo.
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