sábado, 30 de mayo de 2015

Física I (G.I.A.)


Enunciado

Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones
  1. \vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}
  2. \vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}
siendo \vec{A} \neq 0, entonces \vec{B}= \vec{C}; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces \vec{B} \neq \vec{C}.

2 Solución

De la primera condición tenemos que \vec{B}=\vec{C}+\vec{D} con {\vec{D}}\cdot{\vec{A}}=0. Si ahora multiplicamos vectorialmente por \vec{A} tenemos
\vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times(\vec{C}+\vec{D})= \vec{A}\times\vec{C}+\vec{A}\times\vec{D}\to \vec{A}\times\vec{D} = 0.
Es decir, \vec{D} es a la vez perpendicular y paralelo a \vec{A}. Esto sólo puede ocurrir si \vec{D}=0.

Si la segunda condición no se cumple, entonces \vec{A}\times\vec{D} \neq 0, por lo que \vec{D} es distinto de cero, con lo cual \vec{B}\neq\vec{C}.



Enunciado

Se tiene un cuarto de circunferencia de radio R como se indica en la figura. Su centro A se mueve con aceleración\vec{a}_A = 12\,k\,R\,t^2\,\vec{\imath}. En el instante inicial el punto A está en el origen de coordenadas con velocidad nula. Una cuerda atada al punto O se apoya sobre el cuarto de circunferencia, de modo que el trozo entre los puntos C y Ppermanece siempre vertical. La longitud de la cuerda es l=10\,R.
  1. Determina la unidad base en el sistema internacional de la constante de k.
  2. Calcula la posición del punto A en un instante arbitrario
  3. Determina el vector de posición del punto P en función del tiempo.

2 Solución

2.1 Unidades de la constante k

Las unidades de k han de ser tales que la unidades del vector  \vec{a}_A sean m / s2. Entonces
[k] = \dfrac{[\vec{a}_A]}{[R][t^2]} = \dfrac{ms^{-2}}{ms^2}=s^{-4}

2.2 Posición del punto A

El punto A realiza un movimiento rectilíneo con aceleración aA = 12kRt2. Además nos dicen que en el instante inicial está en el origen de coordenadas y su velocidad inicial es nula. Integramos la aceleración para obtener la velocidad del punto como función del tiempo
a_A = \dfrac{\mathrm{d}v_A}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}v_A = a_A\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\limits_{0}^{v_A(t)} \mathrm{d}v_A = \int\limits_0^ta_A(t)\,\mathrm{d}t
Calculando la integral tenemos
v_A(t) = \int\limits_0^t12kRt^2\,\mathrm{d}t = 4kRt^3
Integramos otra vez para obtener la posición
v_A = \dfrac{\mathrm{d}x_A}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}x_A = v_A\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\limits_{0}^{x_A(t)} \mathrm{d}x_A = \int\limits_0^tv_A(t)\,\mathrm{d}t
Calculando la integral obtenemos
x_A(t) = \int\limits_0^t4kRt^3\,\mathrm{d}t = kRt^4
Por tanto el vector de posición del punto A en un instante arbitrario es
\vec{r}_A(t) = \overrightarrow{OA}(t) = kRt^4\,\vec{\imath}

2.3 Vector de posición del punto P

Podemos determinar este vector con la siguiente suma vectorial
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}
El vector \overrightarrow{OC}  es
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = kRt^4\,\vec{\imath} + R\,\vec{\imath} = R\,(1+kt^4)\,\vec{\imath}
Aquí se observa que es coherente que las unidades de k sean s − 4. De este modo el sumando kt4 no tiene dimensiones.
El vector  \overrightarrow{CP}  es de la forma
\overrightarrow{CP} = -|\overrightarrow{CP}|\,\vec{\jmath}
El módulo del vector es
|\overrightarrow{CP}| = l - \overline{OB} + \overset{\frown}{BC}
En esta expresión l es la longitud de la cuerda, \overline{OB}  la longitud del segmento OB y  \overset{\frown}{BC}  la longitud del arco de circunferencia. Tenemos
\begin{array}{l} l = 10R\\ \\ \overline{OB} = \sqrt{\overline{OA}^2+\overline{AB}^2} = \sqrt{k^2R^2t^8 + R^2} = R\,\sqrt{1+k^2t^8}\\ \\ \overset{\frown}{BC} = \dfrac{\pi}{2}\,R \end{array}
Por tanto el vector de posición del punto P es
\overrightarrow{OP}(t) = R\,(1+k\,t^4)\,\vec{\imath} - R\,(10-\dfrac{\pi}{2}-\sqrt{1+k^2t^8})\,\vec{\jmath}



Cuerda enrollándose

 Enunciado

Una partícula se mueve en el plano OXY mientras permanece conectada a uno de los extremos de un hilo inextensible de longitud \ l=\pi R\ . El otro extremo está unido a un punto fijo A de una circunferencia de radio R y centro O, cuyas coordenadas en el sistema cartesiano OXY son \overrightarrow{OA}= R \vec{\imath}. Partiendo de la posición inicial \left.\overrightarrow{OP}\right|_{t=0} = R \left( \vec{\imath} + \pi \vec{\jmath} \right), el movimiento de la partícula con velocidad de módulo constante v0 da lugar a que el hilo, que permanece siempre tenso, se enrolle en dicha circunferencia. Utilizando como parámetro el ángulo θ correspondiente al punto C donde desaparece el contacto hilo--circunferencia, calcula:
  1. Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria seguida por la partícula.
  2. La ley horaria del movimiento θ = θ(t) y tiempo que tarda el hilo en enrollarse completamente sobre la circunferencia.
  3. La aceleración de la partícula.
  4. El triedro intrínseco de la trayectoria seguida por la partícula

2 Solución

2.1 Ecuaciones de la trayectoria

Vamos a determinar el vector de posición de la partícula \overrightarrow{OP} en función del ángulo θ. Podemos construir ese vector como
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}
El módulo del vector \overrightarrow{OC} es |\overrightarrow{OC}|=R, y forma un ángulo θ con el eje OX. Entonces
\overrightarrow{OC} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
Por otro lado, el vector \overrightarrow{CP} es perpendicular a \overrightarrow{OC}. Observando la figura vemos que puede descomponerse como
\overrightarrow{CP} = |\overrightarrow{CP}| (-\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath})
El módulo |\overrightarrow{CP}| es la longitud total de la cuerda menos la longitud del arco de la circunferencia entre los puntos A y C, esto es
|\overrightarrow{CP}| = l - \theta R = \pi R - \theta R = (\pi-\theta)\,R
Por tanto el vector \overrightarrow{CP} es
\overrightarrow{CP} = -(\pi-\theta)\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (\pi-\theta)\,R\cos\theta\,\vec{\jmath}
y el vector de posición del punto P es
\overrightarrow{OP}(t) = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP} = R\,[\cos\theta-(\pi-\theta)\,\mathrm{sen}\,\theta]\,\vec{\imath} + R\,[\,\mathrm{sen}\,\theta+(\pi-\theta)\cos\theta]\,\vec{\jmath}
La posición inicial del punto es
\overrightarrow{OP} = \big\rfloor_{t=0} = R\,\left( \vec{\imath} + \pi \vec{\jmath} \right),
es decir,
θ(t = 0) = 0.
La velocidad del punto P es la derivada respecto al tiempo del vector de posición. Operando obtenemos
\vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}}= \frac{\displaystyle\mathrm{d}(\overrightarrow{OP})}{\displaystyle\mathrm{d}\theta}\frac{\displaystyle\mathrm{d}\theta}{\displaystyle\mathrm{d}t}= -R\,(\pi-\theta)\,\dot{\theta}\, (\cos\theta\,\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}).

2.2 Ley horaria \boldsymbol{\theta(t)}

El enunciado nos dice que el módulo de la velocidad es v0, constante en el tiempo. Esto nos da una ecuación diferencial para el ángulo
v_0 = |\vec{v}_P| = R\,(\pi-\theta)\,\dot{\theta}\Rightarrow v_0 = |\vec{v}_P| = R\,(\pi-\theta)\,\frac{\displaystyle\mathrm{d}\theta}{\displaystyle\mathrm{d}t}\Rightarrow (\pi-\theta)\,\mathrm{d}\theta = \dfrac{v_0}{R}\mathrm{d}t.
Integrando una vez obtenemos
\pi\theta - \dfrac{1}{2}\theta^2 = \dfrac{v_0}{R}t + A
La constante se determina de la condición inicial. Sustituyendo t = 0 y θ(t = 0) = 0 obtenemos
A = 0
y por tanto la ley horaria para el ángulo es
\theta^2(t) -2\pi\theta + \dfrac{2v_0}{R}t = 0.
Esto es una ecuación de segundo grado, cuya solución es
\theta(t) = \pi \pm\sqrt{\pi^2-\dfrac{2v_0t}{R}}
Para que las soluciones sean reales el radicando debe ser mayor que cero, es decir
\pi^2-\dfrac{2v_0t}{R}\ge 0 \Rightarrow t\le \dfrac{\pi^2R}{2v_o}
Por tanto, el valor máximo del tiempo es
T = \dfrac{\pi^2R}{2v_o}
Sustituyendo en la expresión de θ(t) obtenemos
\theta(t) = \pi \left( 1 \pm \sqrt{1-\dfrac{t}{T}}\right).
Ahora bien, el valor máximo de θ es π, pues en ese instante la cuerda está completamente arrollada. Esto permite eliminar la solución con la raíz positiva, pues en ella el ángulo θ varía entre 2π y π. Nos queda entonces
\theta(t) = \pi \left( 1 - \sqrt{1-\dfrac{t}{T}}\right).
Observemos que el valor t = T corresponde precisamente a θ = π.

2.3 Aceleración

Para obtener la aceleración derivamos el vector velocidad respecto al tiempo
\begin{array}{l} \vec{v}_P = -v_0(\cos\theta\,\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}), \\ \\ \vec{a}_P = \dot{\vec{v}}_P = v_0\dot{\theta}(\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}-\cos\theta\vec{\jmath}). \end{array}
En la ecuación diferencial podemos despejar \dot{\theta}  en función de v0 y θ. Obtenemos
\vec{a}_P = \dfrac{v_0^2}{R\,(\pi-\theta)}(\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}-\cos\theta\vec{\jmath}).
Como puede verse en el dibujo, la aceleración es perpendicular en todo instante a la velocidad. Esto es razonable, pues el módulo de la velocidad se supone constante, y por tanto la aceleración tangencial es nula.

2.4 Triedro intrínseco

Podemos ahora obtener el triedro intrínseco de la trayectoria descrita por la partícula. El vector tangente es un vector unitario tangente a la trayectoria, es decir, con la dirección y sentido del vector velocidad en cada punto de la curva. Entonces puede construirse dividiendo el vector velocidad por su módulo
\vec{T} = -\cos\theta\,\vec{\imath} - \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
El vector normal es un vector unitario que apunta en la dirección y sentido de la componente del vector velocidad perpendicular a la velocidad.
\vec{a} = a_T\vec{T} + a_N\vec{N} \Longrightarrow\vec{N} = \dfrac{1}{a_N}\left(\vec{a}-a_T\vec{T}\right)
En este problema la aceleración no tiene componente tangencial, entonces
\vec{N} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - \cos\theta\,\vec{\jmath}
El vector binormal se obtiene multiplicando vectorialmente el vector tangente por el normal. Es decir, el triedro intrínseco es
\begin{array}{l} \vec{T} = -\cos\theta\,\vec{\imath} - \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{N} = \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - \cos\theta\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{B} = \vec{T}\times\vec{N} = \vec{k} \end{array}
El vector binormal es constante pues la trayectoria es plana. En la figura se muestran los vectores tangente y normal correspondientes a la posición de la partícula.
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