sábado, 30 de mayo de 2015

Física I (G.I.A.)

Derivada de un vector

Enunciado

Un punto recorre una circunferencia de radio R, de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo α con el eje OX.
  1. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.
  2. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.
  3. Si el ángulo α depende del tiempo como α = ωt, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

2 Solución

2.1 Vector en función del ángulo α

Proyectamos el vector de posición sobre los ejes OX y OY
\vec{r}(\alpha) = R\cos\alpha\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}
También podemos escribir el vector en términos de sus componentes cartesianas
\vec{r}(\alpha) \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = R\cos\alpha \\ \\ y = R\,\mathrm{sen}\,\alpha \\ \\ z=0 \end{array} \right.

2.2 Derivada del vector respecto de α

Los vectores de la base cartesiana no cambian cuando el ángulo α varía. Así pues, la derivada del vector \vec{r}(\alpha)  es el vector
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\alpha} = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\alpha}\,\vec{\imath} + \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\alpha}\,\vec{\jmath} + \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\alpha}\,\vec{k} = -R\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\imath} + R\cos\alpha\,\vec{\jmath}
En la figura se muestra la dirección de este vector. Como el módulo de \vec{r}(\alpha) es constante (e igual a R), el vector derivada apunta en la dirección y sentido en que se mueve el extremo del vector \vec{r}(\alpha).

2.3 Derivada respecto al tiempo

Ahora el ángulo α es una función del tiempo
α(t) = ωt
Aplicamos la regla de la cadena
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \left( \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\alpha} \right) \left(\dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} \right)
Tenemos
\dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \omega
Por tanto
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \omega\,\left( \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\alpha} \right) = -R\,\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath} + R\,\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}


Diagonales de un rombo

Enunciado

Usando el álgebra vectorial, demuestra que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

2 Solución

Nombramos los vértices del rombo A, B, C, D, como se indica en la figura. Recorriendo el rombo en sentido horario, tenemos los vectores
\begin{array}{cccc} \overrightarrow{AB},&\overrightarrow{BC},&\overrightarrow{CD},&\overrightarrow{DA}. \end{array}
Al ser un rombo los lados opuestos tienen la misma longitud y los vértices opuestos el mismo ángulo. La condición para los vectores es
\begin{array}{ccc} \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD},&&\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA} \end{array}
Las diagonales pueden calcularse como la suma vectorial de los vectores de los lados
\begin{array}{cc} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\\ \\ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \end{array}
El producto escalar de los vectores de las diagonales es
\begin{array}{ll} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}& = (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})\\ &=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD} \end{array}
Sustituyendo la primera igualdad de la segunda serie de ecuaciones tenemos
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}
El primer y el último término se anulan pues el producto escalar es conmutativo. Los otros dos términos son el producto escalar de un vector por si mismo, es decir
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2
Pero el módulo de esos vectores es precisamente la longitud del lado del rombo. Por tanto
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\, \to\, \overrightarrow{AC}\,\perp\,\overrightarrow{BD}

Distancia de un punto a un plano (G.I.A.)

1 Enunciado

Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre \vec{a} = 2\vec{\imath} +3\vec{\jmath} + 6\vec{k} y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector \vec{r}=\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+3\vec{k}. Calcula la distancia que separa al origen O de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros).

2 Solución

Tenemos el vector normal al plano, \vec{a} y el vector de posición del punto P
\begin{array}{l} \vec{a} = 2\vec{\imath} + 3\vec{\jmath} + 6\vec{k},\\ \vec{r} =\overrightarrow{OP} = \vec{\imath} + 5\vec{\jmath} + 3\vec{k}. \end{array}
Sea Q(x,y,z) un punto cualquiera del plano π. Entonces el vector \overrightarrow{PQ} debe ser perpendicular al vector \vec{a}, esto es
{\overrightarrow{PQ}}\cdot{\vec{a}} = (x-1)2 + (y-5)3 +(z-3)6=0.
Por tanto la ecuación del plano es
2x + 3y + 6z = 35.
Hay que señalar que los coeficientes de las coordenadas son precisamente las componentes del vector \vec{a}.
La distancia entre el punto O y el plano es la proyección del vector \overrightarrow{OP} sobre el vector normal al plano, \vec{a}
d(O,\pi) = \dfrac{{\overrightarrow{OP}}\cdot{\vec{a}}}{|\vec{a}|} = 5 \,\mathrm{m}
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