sábado, 30 de mayo de 2015

Física I (G.I.A.)

Asociación de muelles en serie y en paralelo (GIA)

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1 Enunciado

Determine constante recuperadora equivalente de un sistema formado por dos muelles de constantes k1 y k2 cuando,
  1. los muelles están conectados en paralelo.
  2. los muelles están conectados en serie.
  • en paralelo, cuando están conectados por sus dos extremos,
  • en serie, cuando lo están solo por uno de ellos y en el punto de conexión no hay conectado ningún resorte adicional.
Imagen:asociacionesmuelles.png

2 Solución

2.1 Muelles en paralelo

Por simplicidad supondremos el caso unidimensional, aunque resultados análogos se tienen en el caso general tridimensional. Igualmente, para facilitar la visualización del sistema, consideraremos que están situados verticalmente y un peso mg cuelga de ellos.
La masa está unida al techo a través de dos resortes, de constantes k1 y k2. Cuando la masa desciende una cantidad x, los dos muelles se estirarán en la misma cantidad
x_1 = x_2 = x\,
La fuerza total que los muelles ejercen sobre la masa será su resultante
F = F_1 + F_2 = -k_1x_1 - k_2x_2 = -k_1x-k_2x = -(k_1+k_2)x\,
Por tanto, la asociación se comporta como un solo muelle, cuya constante es la suma de las constantes
k = k_1 + k_2\,

2.2 Muelles en serie

Consideremos ahora dos mueles puestos uno a continuación del otro. El muelle 1 se encuentra anclado a la pared y se estirará una cantidad x1. El muelle 2 se encuentra anclado a éste, y se estirará una cantidad
x_2 = x- x_1\,   \Rightarrow   x_1 + x_2 = x\,
La fuerza sobre la masa m, situada en el extremo libre del muelle 2, es ejercida por este muelle
m a = F_2 = -k_2(x-x_1)\,
¿Cuánto vale x1? Una forma de hallarlo es considerar, temporalmente, que en el punto de unión tenemos una pequeña masa m0
Esa masa está unida a dos muelles, uno de constante k1, unido a la pared, y otro de constante k2, unido a la masa m. La 2ª ley de Newton, para esta masa intermedia se leerá
m_0a_1 = -k_1x_1 -k_2(x_1-x) = F_1-F_2\,
Si ahora consideramos que esa masa en realidad no está ahí, esto equivale a hacer m_0\to 0 y por tanto
F_1-F_2 = 0\,   \Rightarrow   F_1 = F_2=F\,
esto es, la fuerza se transmite a lo largo de la asociación, de forma que la fuerza que la masa ejerce sobre el muelle 2 es la misma que la que éste hace sobre el muelle 1 y la que éste hace sobre el punto de anclaje. Esto es razonable si uno considera el caso de que la masa cuelga del techo mediante la serie de dos muelles. La fuerza hacia abajo en la posición de la masa es simplemente su peso. La fuerza hacia abajo en el punto de unión de los muelles, sigue siendo el peso de la masa inferior, ya que el muelle lo suponemos sin masa. la fuerza hacia abajo en el extremo superior sigue siendo el mismo peso, ya que los dos muelles los suponemos sin masa. La fuerza se conserva a lo largo de una asociación en serie.
Por tanto
x_1 = -\frac{F_1}{k_1}=-\frac{F}{k_1}        x_2 = -\frac{F_2}{k_2}=-\frac{F}{k_2}        x=x_1+x_2=-\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)F
y la constante equivalente a la asociación en serie cumple
\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}   \Rightarrow   k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}
Resumiendo, de forma análoga a como ocurre con los condensadores en los circuitos:
  • Si los muelles están en paralelo, la constante de la asociación es la suma de las constantes
k=k_1+k_2\,
  • Si los muelles están en serie, la inversa de la constante es la suma de las inversas
\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}
A partir de aquí ya se pueden considerar casos más complicados, como asociaciones en serie de asociaciones en paralelo y situaciones por el estilo.
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