Unidades de medida

Unidades de ángulo

El estereorradián es la unidad derivada del SI que mide ángulos sólidos. Es el equivalente tridimensional del radián. Su símbolo es sr.

Definición

El estereorradián se define haciendo referencia a una esfera de radio r. Si el área de una porción de esta esfera es r², un estereorradián es el ángulo sólido comprendido entre esta porción y el centro de la esfera.

Explicación de la definición

El ángulo sólido en estereorradianes, es:

${\displaystyle \Omega ={\frac {S}{r^{2}}}\,}$

Donde ${\displaystyle S\,}$ es la superficie cubierta por el objeto en una esfera imaginaria de radio ${\displaystyle r\,}$, cuyo centro coincide con el vértice del ángulo.

Por tanto, un estereorradián es el ángulo que cubre una superficie ${\displaystyle r^{2}\,}$ a una distancia ${\displaystyle r\,}$ del vértice.

${\displaystyle \ 1sr={\frac {r^{2}}{r^{2}}}\,}$

Analogía con el radián

En dos dimensiones, el ángulo en radianes, está relacionado con la longitud de arco, y es:

${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,}$

siendo s la longitud de arco, y r el radio del círculo.

Ángulo de un casquete esférico

El cono (1) y el casquete esférico (2) dentro de la esfera.

Si el área ${\displaystyle A\,}$ es igual a ${\displaystyle r^{2}\,}$ y está dada por el área de un casquete esférico

(${\displaystyle A=2\pi rh\,}$)

entonces se cumple que

${\displaystyle {\frac {h}{r}}={\frac {1}{2\pi }}}$.

Entonces el ángulo sólido descrito por el cono que corresponde al ángulo (plano, vea la figura) es igual a:

${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\,\mathrm {sr} }$.

 grado centesimal o gon —también llamado gradián (plural: gradianes) y gonio¹ — es una unidad de medida de ángulos planos, alternativa al grado sexagesimal y, como este, no perteneciente al Sistema Internacional de Unidades, cuyo valor se define como el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la circunferencia. La circunferencia se divide, por tanto, en 400 gon y un ángulo recto en cien gon, lo que permite determinar que un grado centesimal equivale a nueve décimas partes delgrado sexagesimal.² Su símbolo es una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra (por ejemplo, 12,4574^g).

La denominación de gon suele restringirse a los ámbitos especializados de la topografía y la ingeniería civil, donde es muy utilizada esta unidad de medida para definir el valor de los ángulos. La denominación de gradián se emplea en las calculadoras, en las que suele representarse con la abreviatura grad.

Transportador de ángulos dividido en grados centesimales y amplitud de 400^g.

Historia

Existía una denominación anterior de esta unidad como grado centígrado. Para evitar confusiones, en 1948 la unidad homónima de temperatura del mismo nombre pasó a denominarse oficialmente grado Celsius, aunque popularmente el grado celsius se siga denominando centígrado.³ Esto es parcialmente incorrecto, ya que la escala Kelvin también es centígrada (es una escala que toma de referencia 100 partes iguales, en este caso, punto de congelación y ebullición del agua destilada) y el término sería ambiguo.

Relación con el tamaño de la Tierra

Atendiendo a la definición de metro utilizada en 1889, un kilómetro debería corresponder a la longitud de un arco de meridiano cuya amplitud es un minuto centesimal; aunque mediciones posteriores más precisas del tamaño de la Tierra mostraron que existen diferencias.

Equivalencias

El grado centesimal surge de la división del plano cartesiano en cuatrocientos ángulos iguales, con vértice común. Cada cuadrante posee una amplitud 100 grados centesimales, y la suma de los cuatro cuadrantes mide 400 grados centesimales.

Equivalencia entre grados sexagesimales y centesimales

0° = 0^g

90° = 100^g

180° = 200^g

270° = 300^g

360° = 400^g

Ejemplo

Los siguientes valores angulares son equivalentes:

• 23° 47' 35" grados sexagesimales
• 23,7931º grados sexagesimales con fracción decimal
• 26^g 43^c 67^cc gons con minutos y segundos centesimales
• 26,4367^g gons o grados centesimales

Los minutos y segundos de gon se corresponden con la fracción decimal de gon, cosa que no ocurre con los grados sexagesimales. No deben confundirse los grados centesimales con el uso de fracciones decimales para expresar ángulos en grados sexagesimales.

Sus divisores son:

• 1 grado centesimal = 100 minutos centesimales (100^m o 100^c)
• 1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales (100^s o 100^cc)

Conversión de ángulos comunes

Unidades	Valores
Revolución	0	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{12}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{6}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\tau }$	${\displaystyle 1\tau \,}$
Grados sexagesimales	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi \,}$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi \,}$
Grados centesimales	0g	${\displaystyle {\tfrac {100^{\rm {g}}}{3}}}$	50g	${\displaystyle {\tfrac {200^{\rm {g}}}{3}}}$	100g	200g	300g	400g