Unidades de medida

Unidades de ángulo

 minuto de arco, denominado también minuto sexagesimal, abreviado arcmin, es una unidad del ángulo plano frecuentemente utilizada en artillería, astronomía y otras disciplinas, equivalente a 1/60 de un grado sexagesimal.¹

Un grado se define como 1/360 de un círculo, de manera que un arcmin es 1/21600 del arco de un círculo o π/10800 radianes. Generalmente se utiliza el índice prima(′), por lo que un minuto de arco se escribe entonces 1′.

Símbolos, abreviaturas y subdivisiones

El símbolo estándar que marca el minuto de arco es (′) "prima" o "comilla". El carácter numerado (U+0027) es de uso general para sustituir a la comilla en aquellas aplicaciones donde sólo están permitidos los caracteres ASCII. Un minuto de arco se escribe 1′. También es abreviado como "arcmin" o "amin", o menos comúnmente, se utiliza la comilla prima con un circumflejo sobre ella (${\displaystyle {\hat {'}}}$).

La subdivisión del minuto de arco es el segundo de arco, o arcosegundo. Hay 60 segundos de arco en un minuto de arco. Por lo tanto, el segundo de arco es 1/3600 de un grado, o 1/1296000 de un círculo completo, o (π/648000) radianes, es decir, aproximadamente 1/206265 radianes. El símbolo del segundo de arco es la doble comilla prima (") (U+2033 cuando sólo se pueden utilizar caracteres ASCII). Para expresar los ángulos todavía más pequeños, pueden ser empleados los prefijos del SI estándar. En particular, el miliarcosegundo, abreviado mas, se utiliza a veces en astronomía.

Sistema sexagesimal de medición angular

unidad	valor	símbolo	abreviaturas	en radianes (approx.)
grado	1/360 círculo	°	Grad	17.4532925 mrad
arcominuto	1/60 grado	′ (prima)	arcmin, amin, ${\displaystyle {\hat {'}}}$, MOA	290.8882087 µrad
arcosegundo	1/60 arcominuto	″ (doble prima)	arcseg	4.8481368 µrad
miliarcosegundo	1/1000 arcosegundo		mas	4.8481368 nrad
microarcosegundo	1 × 10−6 arcosegundo		μas	4.8481368 prad

El minuto terrestre es una unidad de ángulo. Equivale al ángulo que gira la Tierra en un minuto. Esta unidad es utilizada en Astronomíay vale 15 minutos sexagesimales o un cuarto de grado sexagesimal.

radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.

Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes.

Definición

Un radián es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados son cortados por el arco de la circunferencia, y que además dicho arco tiene una longitud igual a la del radio.^{[cita requerida]}

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, θ = s/r, donde θ es el ángulo, s es la longitud de arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulocompleto, ${\displaystyle \scriptstyle {\theta }_{\text{circunferencia}}}$, que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

${\displaystyle \theta _{\text{circunferencia}}={\frac {L_{\text{circunferencia}}}{r}}={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi \ {\text{rad}}\,}$

Utilidad

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

Análisis dimensional

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=1}$

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

• ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}$
• ${\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}$

donde x se expresa en radianes.

Equivalencias

• La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por tanto

1 radián = 57.29577951... grados sexagesimales y

1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes.

• La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

Radianes

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

• El radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s), que corresponde a la magnitud velocidad angular. Esta unidad tiene una equivalencia con las rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente haciendo la siguiente relación:

${\displaystyle {\rm {rpm={\frac {rev}{min}}={\frac {2\pi \ rad}{60\ s}}}}}$, que simplificada es: ${\displaystyle {\rm {rpm={\frac {\pi }{30}}{\frac {rad}{s}}}}}$, o bien: ${\displaystyle {\rm {{\frac {rad}{s}}={\frac {30}{\pi }}\ rpm}}}$.

Es decir que, para pasar una cantidad x de rpm a rad/s tenemos que multiplicarla por π/30:

${\displaystyle x{\rm {\ rpm\cdot {\frac {{\frac {\pi }{30}}\ rad/s}{rpm}}=}}}$${\displaystyle \;x\cdot {\frac {\pi }{30}}{\rm {\ rad/s=}}}$${\displaystyle \;x'{\rm {\ rad/s}}}$

Análogamente, para pasar una cantidad y de rad/s a rpm tenemos que multiplicarla por 30/π:

${\displaystyle y{\rm {\ rad/s\cdot {\frac {{\frac {30}{\pi }}\ rpm}{rad/s}}=}}}$${\displaystyle \;y\cdot {\frac {30}{\pi }}{\rm {\ rpm=}}}$${\displaystyle \;y'{\rm {\ rpm}}}$

Conversiones entre grados y radianes

Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como fracciones de π.

Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈ 3,14159265359…).

Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras:

Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que 180° equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

• Ejemplo A

Convertir 38° a radianes:

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

${\displaystyle {\frac {\pi }{180}}={\frac {x}{38}}}$

Despejamos x, también simplificamos.

${\displaystyle {x}={\frac {38\pi }{180}}={\frac {19\pi }{90}}}$

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 0,6632 radianes.

• Ejemplo B

Convertir 2,4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

${\displaystyle {\frac {\pi }{180}}={\frac {2.4}{x}}}$

Despejamos x.

${\displaystyle x={\frac {180\cdot 2.4}{\pi }}}$

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 137.5099°".

Segundo sexagesimal, segundo de arco o arcosegundo es una unidad de medida angular. Su valor equivale a 1/60 del minuto de arco y a 1/3600 del grado sexagesimal. Su abreviatura estándar es la doble prima (″), de forma que un arcosegundo se escribiría 1″.¹ También pueden usarse las abreviaturas asec o arcsec. No deben confundirse esta última con la abreviación de la función trigonométrica arcosecante, siendo ambas abreviaturas idénticas (arcsec).

Uso astronómico

Dado que las estrellas se encuentran tan lejanas, que sus posiciones relativas no dependen del observador situado en la Tierra, sin importar las distancias reales a las que se encuentre, se utiliza un sistema angular para indicar la posición de ellas. El 'segundo de arco' es útil cuando se trabaja con objetos que no se encuentren muy lejanos de la Tierra, o sobre grupos mayores de estrellas, ya que es una medida demasiado grande para mediciones precisas. Para estas se ocupa los milisegundo de arco (msa, mas); microsegundo de arco (μsa, μas), etc, que entregan mayor precisión.

Parsec

El parsec es una unidad astronómica de longitud, igual a la distancia de un cuerpo celeste desde el que se viera el semieje mayor de la órbita terrestre con un ángulo de un segundo de arco. Equivale a 3,26 años luz (símb. pc). Un objeto visto a unas 206.265 veces su diámetro forma un segundo de arco. Un parsec es una medida de distancia que se define como la distancia a la que debería estar un objeto de una unidad astronómica de diámetro, para que al ser observado mostrara una paralaje de un arcosegundo.

El pársec o parsec (símbolo pc) es una unidad de longitud utilizada en astronomía. Su nombre se deriva del inglés parallax of one arc second (paralaje de un segundo de arco o arcosegundo).

En sentido estricto parsec se define como la distancia a la que una unidad astronómica (ua) subtiende un ángulo de un segundo de arco (1"). En otras palabras, una estrella dista un parsec si su paralaje es igual a 1 segundo de arco. De la definición resulta que:

1 parsec = 206.265 ua = 3,2616 años luz = 3,0857 × 10¹⁶ m