Geometría elemental

Diámetro angular (también expresado a veces como "tamaño angular") es la dimensión aparente del diámetro ecuatorial de un cuerpo celeste, expresándola como ángulo y suponiendo al observador en su vértice.^1 2 Para el Sol, la Luna o los planetas la medida del diámetro angular se hace con procedimientos ópticos y micrométricos.³ En el caso de las estrellas más brillantes, el diámetro angular se mide con procedimientos interferométricos,^4 5 mediante interferómetros. Cuando se trata del ángulo abarcado por el radio ecuatorial, se denomina semidiámetro.

Fórmulas

Cálculo del diámetro angular en un disco y en una esfera

El diámetro angular de un objeto circular plano (disco) para un observador situado en una recta perpendicular al plano que contiene al disco y pasa por su centro, puede ser calculado usando la siguiente fórmula matemática:¹

${\displaystyle \delta =2\arctan \left({\frac {1}{2}}\,d/D\right)}$

donde ${\displaystyle \delta }$ es el diámetro angular buscado, ${\displaystyle d}$ es el diámetro del disco y ${\displaystyle D}$ es la distancia al mismo, ambos expresados en las mismas unidades. El resultado obtenido normalmente se expresa en grados sexagesimales con la parte fraccionaria decimal (por ejemplo, 2,5º corresponde a dos grados y medio).

Cuando se tiene un objeto esférico, a partir de su diámetro ${\displaystyle d}$, la fórmula resultante es:

${\displaystyle \delta =2\arcsin \left({\frac {1}{2}}\,d/D\right)}$

donde ${\displaystyle \delta }$ es el diámetro angular buscado, ${\displaystyle d}$ es el diámetro de la esfera y ${\displaystyle D}$ es la distancia entre el observador y el centro de la esfera; como en el caso anterior, ambos expresados en unidades homogéneas.

La razón de la diferencia entre ambas fórmulas es que cuando se mira a una esfera, los bordes son los puntos de tangencia, que están más cerca del observador que el centro de la esfera. Para un uso práctico, la diferencia solo es significativa para objetos esféricos muy próximos al observador, ya que para ángulos pequeños se cumple con notable aproximación que para

${\displaystyle \delta \ll 1}$, entonces:⁶ ${\displaystyle \sin \delta \approx \tan \delta \approx \delta }$

Cuando ${\displaystyle D}$ es mucho más grande que ${\displaystyle d}$, el ángulo resultante es muy pequeño. En esta situación, el valor del ángulo (expresado en radianes) es muy aproximado al valor de su tangente, por lo que se puede realizar una aproximación con la siguiente fórmula:

${\displaystyle \delta =d/D}$

(en este caso, con el águlo expresado en radianes).⁷

Estimación de diámetros angulares utilizando la mano con el brazo extendido

Ángulos aproximados de 10°, 20°, 5° y 1° en la mano respecto al brazo extendido

Estimaciones de algunos diámetros angulares se pueden obtener mediante la observación de la mano situada perpendicularmente en determinadas posturas con el brazo completamente extendido, como se muestra en la figura adjunta.^8 9 10

Uso en astronomía

Diámetro angular: ángulo subtendido por el Sol desde la Tierra

En astronomía, los tamaños de los objetos en el cielo se dan a menudo en términos de su diámetro angular visto desde la Tierra, en lugar de sus tamaños reales. Dado que estos diámetros angulares son típicamente pequeños, es común representarlos en segundos de arco. Un segundo de arco es 1/3600 de un grado sexagesimal. Sabiendo que medio círculo (180º grados sexagesimales) son ${\displaystyle \pi }$ radianes, se tiene que un radián equivale a 3600 * 180 /${\displaystyle \pi }$ segundos de arco, o lo que es lo mismo, 206265 segundos de arco. Por lo tanto, el diámetro angular de un objeto con diámetro físico d a una distancia D, expresada en segundos de arco, viene dada por la expresión:¹¹

${\displaystyle \delta }$ = (206265) d / D segundos de arco.

Por ejemplo:

• El diámetro angular de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, desde una distancia de un parsec, es de 1" (un segundo de arco).
• El diámetro angular del Sol, desde una distancia de un año luz, es de 0,03", y el de la Tierra, 0,0003".

El diámetro angular 0,03" del Sol dado anteriormente, es aproximadamente el mismo que el de una persona a una distancia equivalente al diámetro de la Tierra.[1]

Esta tabla muestra los tamaños angulares de cuerpos celestes notables vistos desde la Tierra:

Cuerpo Celestial	Diámetro angular o tamaño	Tamaño relativo
Sol	31′31″ – 32′33″	30–31 veces el máximo valor para Venus (barra naranja debajo) / 1891–1953″
Luna	29′20″ – 34′6″	28–32,5 veces el máximo valor para Venus (barra naranja debajo) / 1760–2046″
Nebulosa de la Hélice	16′ – 28′	15,2–26,6 veces el máximo valor para Venus (barra naranja debajo) / 960–1680″
Espiral en la Nebulosa del Águila	4′40″	4,44 veces el máximo valor para Venus (barra naranja debajo) / 280″
Venus	9,67″ – 63,00″
Júpiter	29,80″ – 49,06″
Saturno	14,50″ – 19,92″
Marte	3,50″ – 25,08″
Mercurio	4,54″ – 13,02″
Urano	3,31″ – 4,04″
Neptuno	2,17″ – 2,36″
Ceres	0,33″ – 0,84″
Asteroide Vesta	0,20″ – 0,64″
Plutón	0,063″ – 0,115″
R Doradus	0,052″ – 0,062″
Betelgeuse	0,049″ – 0,060″
Eris	0,034″ – 0,089″
Alfard	0,00909″
Alfa Centauri A	0,007″
Canopus	0,006″
Sirio	0,005936″
Altair	0,003″
Deneb	0,002″
Próxima Centauri	0,001″
Alnitak	0,0005″
Una estrella como Alnitak, está a una distancia tal que el telescopio espacial Hubble se encuentra en el límite de poder observar12	6×10-10"

• La tabla muestra que el diámetro angular del Sol, visto desde la Tierra es de aproximadamente 32 minutos de arco (1920 segundos de arco o 0,53 grados), como se ilustra arriba.

• El diámetro angular del Sol es aproximadamente 250.000 veces el de Sirio (Sirio tiene el doble de diámetro que el sol, pero su distancia a la Tierra es 500.000 veces mayor); desde la tierra, el Sol es 1×10¹⁰ veces más brillante. De la relación entre sus diámetros angulares, se deduce que Sirio es una estrella aproximadamente 6,25 (=250.000·500.000/2/1×10¹⁰) veces más brillante que el Sol por unidad de [ángulo sólido].

• El diámetro angular del Sol es también aproximadamente 250.000 veces el de Alfa Centauri A (tiene aproximadamente el mismo diámetro, pero su distancia a la Tierra es de 250.000 veces mayor); desde la Tierra, el Sol es 4×10¹⁰ veces más brillante. De la relación entre sus diámetros angulares, se deduce que Alpha Centauri A es una estrella aproximadamente 1,5 (=250.000·250.000/1/4×10¹⁰) veces más brillante que el Sol por unidad de [ángulo sólido].

• El diámetro angular del Sol es aproximadamente el mismo que el de la Luna: el diámetro del Sol es 400 veces mayor, pero su distancia a la Tierra también lo es. Por otro lado, el Sol es entre 200.000 y 500.000 veces más brillante que la Luna llena (las cifras varían en función de factores cambiantes, como la posición relativa entre ambos astros o la luminosidad del sol). Un cuerpo celeste con un diámetro de entre 1,5" y 4" y el mismo brillo por unidad de ángulo sólido que el Sol, tendría el mismo brillo que la Luna llena (basta dividir el diámetro angular del Sol [1962"] por la relación de luminosidad [200.000 a 500.000], y multiplicar por [400], la relación de distancias a la Tierra entre la Luna y el Sol).

• A pesar de que Plutón es físicamente más grande que Ceres, cuando se ve desde la Tierra (por ejemplo, a través del telescopio espacial Hubble) Ceres tiene un tamaño aparente mucho mayor.

• Mientras tamaños angulares medidos en grados son útiles para grandes zonas del cielo (en la constelación de Orión, por ejemplo, las tres estrellas del cinturón cubren cerca de 4,5 grados de amplitud angular), se necesitan unidades mucho más finas cuando se habla del tamaño angular de galaxias, nebulosas y otros objetos del cielo nocturno.

Orden de magnitud de las unidades angulares

Carta de comparación del diámetro angular del Sol, la Luna y los planetas.

Como es bien sabido, los grados sexagesimales, se subdividen como sigue:

• 360 grados (°) forman un círculo completo
• 60 minutos de arco (') son un grado
• 60 segundos de arco (") son un minuto

Para poner estos valores en perspectiva, baste señalar que tanto el Sol como la Luna llena vistos desde la Tierra tienen un diámetro angular de aproximadamente medio grado (o lo que es lo mismo, unos 30 minutos de arco, o 1800 segundos de arco). El movimiento de la luna en el cielo se puede medir en variación angular: 15 grados aproximadamente cada hora, o 15 segundos de arco por segundo. Una línea de una milla de longitud (1,6 km aproximadamente) marcada sobre la superficie de la luna Luna, se vería desde la Tierra con una amplitud de un segundo de arco.

En astronomía, normalmente es difícil de medir directamente la distancia a un objeto. Pero el objeto puede tener un tamaño físico conocido (tal vez es similar a un objeto mejor conocido) y un diámetro angular medible. En ese caso, la fórmula del diámetro angular puede ser invertida para calcular la distancia a la Tierra de objetos distantes:

${\displaystyle d\equiv 2D\tan \left({\frac {\delta }{2}}\right)}$

En el espacio no euclidiano, como nuestro universo en expansión, la distancia basada en el diámetro angular es solo una de varias definiciones de distancia, por lo que puede hablarse de diferentes "distancias" a un mismo objeto. (Ver medida de distancias (cosmología)).

Carta de representación de diámetros angulares del Sol, la Luna y los planetas

Dado que el tamaño aparente se trata de una magnitud angular, es posible establecer una comparación del diámetro angular del Sol, la Luna y los planetas guardando la proporción entre el tamaño al que se representan, y la distancia a la que se observan. Así, para obtener una representation válida de los diámetros angulares de los cuerpos celestes, la imagen debe observarse a una distancia de 103 veces el tamaño máximo de la Luna en la imagen.

Por ejemplo, si el círculo tiene 10 cm de ancho en el monitor, debe observarse a una distancia de 10,3 m.

Objetos no circulares

Muchos objetos de cielo profundo como galaxias y nebulosas aparecen con formas no circulares, por lo que normalmente se dan dos medidas de diámetro: diámetro mayor y diámetro menor. Por ejemplo, la Pequeña Nube de Magallanes tiene un diámetro aparente visual de 5°20'x 3°5'.

Defecto de iluminación

Defecto de iluminación es el ancho angular máximo de la parte no iluminada de un cuerpo celeste visto por un observador dado. Por ejemplo, si un objeto presenta un diámetro de 40 segundos de arco con un 75 por ciento de superficie iluminada, el defecto de iluminación representa 10 segundos de arco (como en el caso de las fases de Venus, por ejemplo).

Ejemplos

Figura 1. El diámetro angular nos da una medida aparente de la dimensión de los cuerpos celestes.

Como se muestra en la figura 1, dos cuerpos celestes de muy distinto diámetro pueden tener el mismo diámetro angular. Tal es el caso del Sol y la Luna vistos desde la Tierra. El diámetro ecuatorial solar es unas 400 veces mayor que el lunar, pero al ser la distancia Tierra-Sol unas 400 veces mayor que la distancia Tierra-Luna, ambos cuerpos tienen diámetros angulares sensiblemente iguales, en torno a los 30 minutos de arco, y así nuestro satélite puede ocultar completamente al Sol, en algunos casos, produciéndose un eclipse solar total.

Para hacernos una idea de la verdadera magnitud del diámetro angular, imaginemos una moneda de 2 euros puesta a diferentes distancias:

• A unos 1,5 metros el diámetro angular es de 1º
• A casi 90 metros, su diámetro angular vale 1'
• Finalmente, a poco más de 5 kilómetros el ángulo es de 1"

El tamaño angular (diámetro angular, tamaño aparente) de un objeto visto desde cierto punto es el diámetro visual del objeto medido como un ángulo. El diámetro visual de la proyección perspectiva del objeto en un plano a través de su centro que es perpendicular a la dirección en que se ve. Véase la imagen.

El tamaño angular, tamaño lineal y distancia pueden ser calculados utilizando las fórmulas:

Entonces, podemos encontrar la distancia desde el objeto si conocemos su tamaño y tamaño angular. Los binoculares tienen marcas especiales para ayudar a encontrar el tamaño angular de un objeto observado.

También podemos encontrar el tamaño de un objeto a partir de su tamaño angular y distancia desde él. Y por supuesto su tamaño angular a partir de su tamaño lineal y distancia. Es una forma muy frecuente de medir cosas en la astronomía. En la astronomía los tamaños de los objetos en el cielo casi siempre se miden en término de su diámetro angular vistos desde la tierra, en vez de sus tamaños reales.

Debajo se encuentran las calculadoras que pueden encontrar cualquier parámetro a partir de los otros 2. Por defecto, la distancia del sol a la tierra, el diámetro del sol y el tamaño angular promedio del sol son utilizados.