Geometría elemental

Plano bisector de un ángulo diedro es el plano formado por todos los puntos que son equidistantes a los planos que forman el ángulo diedro. También se puede definir como el plano que pasa por la arista y lo divide en dos ángulos diedros iguales.

El plano bisector es la generalización de la bisectriz al pasar del espacio de dos dimensiones al de tres. El plano bisector se puede "trazar" de forma análoga a como se hace en el caso de la bisectriz. Para ello primero se genera un cilindro de radio arbitrario con eje en la arista del ángulo diedro y después se generan otros dos cilindros de radios arbitrarios pero iguales entre sí con ejes en los respectivos puntos de corte del primer cilindro con los planos del ángulo diedro. El plano bisector es el que contiene las dos rectas que aparecen como intersección entre los dos últimos cilindros.

En la figura siguiente ves dos planos secantes que forman un ángulo diedro de 133º:

Comentamos la siguiente figura en la que ves dos semiplanos αy γ (los tratamos como semiplanos ya que los hemos “detenido” en la recta r y, por tanto, son una parte) perpendiculares al plano π que son secantes creando la recta r. También tenemos un punto P en el espacio cuyas coordenadas, en el espacio tridimensional son (x, y, z):

Se trata de hallar un plano cuyos puntos equidisten de los semiplanos α y γ, estando el punto P contenido en dicho semiplano que lo denominamos plano bisector que lo vemos en la siguiente figura:

En realidad se trata de averiguar la ecuación del semiplano βsirviéndonos del punto P contenido en el mismo y de los semiplanos α y γ, en una palabra, calcular la dist(P, α) y dist(P, γ) porque si nos fijamos en la figura siguiente la intersección del semiplano β con el plano π es la bisectriz de las otras dos intersecciones.

Tal como se desarrolla este tema parece no ir muy de acuerdo con el título debido a que éste lo tenemos en plural y siempre nos estamos refiriendo al singular, al plano bisector.

En la intersección de dos planos existen dos planos bisectores tal como lo ves en la figura que tienes a continuación:

En color verde los dos planos bisectores γ y δ.

El punto P equidista de las caras del diedro. Sus componentes, como hemos señalado, son (x, y, z).

Observa que cada plano bisector ocupa dos cuadrantes, por ejemplo, el plano bisector δ está situado en los cuadrantes I yIII.

Esto exige que tengamos en cuenta el valor de las componentes en función de los signos de los valores de abscisa y ordenada.
Sabes que los valores de abscisas en el cuadrante I son positivos lo mismo que los valores de ordenadas.

En el cuadrante III los valores de abscisas y ordenadas son negativos.

En el cuadrante II las abscisas son negativas y las ordenadas positivas.

En el cuadrante IV las abscisas son positivas y las ordenadas negativas.
Los signos de los valores de un cuadrante son opuestos a sus correspondientes en el otro cuadrante.
Esta consideración debes tener a la hora de hallar los planos bisectores, de ahí que calculamos las dos respuestas teniendo en cuenta los signos de las componentes.
Los ángulos entre los planos son de 45º.

El Plano mediador de un segmento es el plano formado por los puntos que son equidistantes a los extremos del segmento. También se puede definir como el plano perpendicular al segmento que lo corta por su punto medio.

El plano mediador es la generalización de la mediatriz al pasar del espacio de dos dimensiones al de tres. De forma análoga a como se hace en el caso de la mediatriz, el plano mediador se puede "trazar" generando dos esferas de radios arbitrarios pero iguales entre sí, siempre mayores que la mitad de la longitud del segmento, con centros en los extremos del mismo. Estas dos esferas se cortarán en una circunferencia. El plano que la contiene es el plano mediador.

Plano mediador de un segmento

El plano mediador al que también podemos referirnos como plano mediatriz de un segmento, es el que cualquier punto del mismo está a la misma distancia de los extremos de un segmento.

En la figura ves el plano π que corta en P a la recta r creando el segmento AB.

Cualquier distancia  es igual a la distancia  (lo mismo sucede con cualquier otro punto del plano).

Aplicamos lo estudiado anteriormente respecto al cálculo de la distancia entre dos puntos.
Supongamos que el punto A tiene por coordenadas ( 2, -3, 3 ) y las coordenadas del punto B son (1,3,5 ).
Dado que P es un punto cualquiera, sus coordenadas son (x. y. z ).
Con los datos anteriores tenemos que: dist(P,A) = dist(PB), es decir,

Como las distancias son iguales podemos escribir:

  Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

Haciendo operaciones llegamos a la ecuación de un plano, al que denominamos plano mediador del segmento AB,  cuyos puntos equidistan de A y de B:

24.29  Tienes dos puntos A y B en el espacio: Halla la ecuación del plano que equidiste de ambos puntos sabiendo que (2,1,3) son las coordenadas de A y (-3,5,7) las de B.

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