plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos
puntos y
rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.
Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir
bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.
Un plano queda
definido por los siguientes elementos geométricos:
- Tres puntos no alineados.
- Una recta y un punto exterior a ella.
- Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).
El
área es una medida de extensión de una
superficie, o de una
figura geométrica plana expresada en
unidades de medida denominadas
Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un
polígono, puede
triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Propiedades del plano ℝ3
Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.
- O bien dos planos son paralelos, o bien se intersecan en una línea.
- O bien una recta es paralela a un plano, o bien se interseca con el mismo en un punto, o bien está contenida en él.
- Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí.
- Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos entre sí.
- Entre un plano Π cualquiera y una recta no perpendicular al mismo existe sólo un plano tal que contiene a la recta y es perpendicular al plano Π.
- Entre un plano Π cualquiera y una recta perpendicular al mismo existen infinitos planos tales que contienen a la recta y son perpendiculares al plano Π.
Ecuación del plano
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)
|
Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el
determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:
Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:
-
Posición relativa entre dos planos
Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.
Sus posiciones relativas pueden ser:
- Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
- Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
- Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.
Distancia de un punto a un plano
Para un plano cualquiera
y un punto cualquiera
no necesariamente contenido en dicho plano
Π, la menor distancia entre
P1 y el plano
Π es:
De lo anterior se deduce que el punto
P1 pertenecerá al plano
Π si y solo si D=0.
Si los coeficientes
a,
b y
c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están
normalizados, esto es cuando
, entonces la fórmula anterior de la distancia
D se reduce a:
Semiplano
Se llama
semiplano, en
geometría, a cada una de las dos partes en que un
plano queda dividido por una
recta.
Postulados de la división de un plano
En cada pareja de semiplanos que una
recta r determina sobre un plano, existen infinitos
puntos tales que:
- Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos, o a la recta que los determina.
- Dos puntos del mismo semiplano, determinan un segmento que no corta a la recta r.
- Dos puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a la recta r.
EL PLANO
Si en este momento estás leyendo lo que está escrito en esta página, es que miras a la pantalla del ordenador. Te habrás fijado que la pantalla es una superficie lisa, llana, plana,…lo mismo que la tapa de tu pupitre, el cristal de tu ventana, etc.
Todos estos ejemplos representan el plano.
El plano tiene dos dimensiones: largo y ancho:
En el plano podemos dibujar puntos, líneas, etc.
Debes tener presente:
a) Entre dos puntos sólo existe una recta.
b) Por un punto pueden pasar infinitas rectas:
Por el punto P pasan cuantas rectas desees.
A tener en cuenta:
a) Si sobre un plano o superficie plana dibujas una recta, todos sus puntos están contenidos en dicho plano o superficie plana.
b) Un plano puede contener infinitas rectas.
c) Por una recta pueden pasar infinitos planos:
Por la recta r (en color negro) pueden pasar infinitos planos.
TRES PUNTOS NO SITUADOS EN LÍNEA RECTA DETERMINAN UN PLANO:
Casi siempre que nos referimos a un plano o superficie plana nos imaginamos 4 esquinas o vértices. La realidad es un poco distinta, para definir o determinar un plano nos es suficiente con tres puntos que no estén en la misma recta:
Los puntos A, B y C no están en la misma recta, aunque 2 de ellos sí lo están. Siempre que los tres puntos no se encuentren en la misma recta, al unirlos, crearemos un plano, y solamente uno:
Si la figura te parece como parte de un plano no importa, siempre será un plano.
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