Geometría elemental

El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo. Por ejemplo, (0,0) en dos dimensiones y (0,0,0) en tres.

Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo (${\displaystyle \rho =0}$), siendo indiferentes los valores de latitud y longitud.

En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es el punto en que los ejes del sistema se cortan.

El origen de un sistema bidimensional de coordenadas cartesianas es el par ordenado (0,0).

Un ortoedro es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos. Los ortoedros son prismas rectos, y también son llamados paralelepípedos rectangulares. Vulgarmente, se los denomina cajas de zapatos o cajas.^{[cita requerida]} Las caras opuestas de un ortoedro son iguales entre sí.

El cubo es un caso especial de ortoedro, en el que sus seis caras son cuadrados iguales.

Ortoedro
Familia: Prisma Grupo diedral
Imagen del sólido
Caras	6
Polígonos que forman las caras	Rectángulos
Aristas	12
Vértices	8
Configuración de los vértices	4 en cada cara. 3 caras concurrentes en cada uno.
Grupo de simetría	(D2h)
Propiedades
Convexo

Fórmulas del ortoedro

Si llamamos ${\displaystyle a\,}$ al ancho o profundidad de un ortoedro, ${\displaystyle b\,}$ a su altura y ${\displaystyle c\,}$ a su longitud, podemos definir las siguientes fórmulas:

Áreas

El área total del paralelepípedo es igual a la suma de las respectivas áreas de sus 6 caras, que al estar repetidas 2 veces, se pueden calcular como:

${\displaystyle A\,=\,2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c}$

O lo que es lo mismo:

${\displaystyle A\,=\,2\cdot (a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)}$

Por su parte, el cálculo del área lateral será análogo, pero omitiendo las bases superior e inferior:

${\displaystyle A_{l}\,=\,2\cdot a\cdot b+2\cdot b\cdot c}$

También se puede calcular como el producto del perímetro de la base por la altura.

Volumen

El volumen del ortoedro se calcula, al igual que el de cualquier prisma recto, multiplicando el área de la base B_or por la altura h_or. Dado que la base es un rectángulo, y el área del rectángulo es igual al producto de su base b_R por altura h_R o el producto de sus lados contiguos, se puede calcular el volumen del ortoedro como

${\displaystyle V\,=\,a\cdot b\cdot c}$

Diagonal

Considérese una cara (rectángulo) trace su diagonal de tal polígono. Por uno de sus extremos trace una arísta perpendicular. Se une el primer extremo de la diagonal del rectángulo con el extremo de la arista, fuera del plano de la cara; tal segmento es una diagonal del ortoedro. Basándonos en el Teorema de Pitágoras podemos calcular la diagonal espacial del ortoedro de la siguiente forma:

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Los ortoedros son paralelepípedos que tienen todas sus caras rectangulares.

Desarrollo de un ortoedro

Diagonal de un ortoedro

Área de un ortoedro

Volumen de un ortoedro

Ejercicios de ortoedros

Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.

Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.

1 Cuánto costará pintarla.

2 Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar?

¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?