Geometría elemental

El ovoide es una curva cerrada simétrica con respecto a su eje cóncava hacia él, y conformada por cuatro arcos de circunferencia: uno de ellos es una semicircunferencia y otros dos son iguales y simétricos. Su nombre deriva de su parecido con la sección longitudinal de un huevo.

Posee dos ejes ortogonales, denominados mayor y menor. Tiene cuatro centros de curvatura. A diferencia del óvalo, sólo tiene un eje de simetría.

En redes de saneamiento se utilizan tuberías de alcantarillado cuya sección tiene forma de ovoide. Esta forma particular, por estrecharse proporcionalmente hacia la parte inferior, impide la sedimentación de residuos pues optimiza la relación de la velocidad máxima del agua con su caudal (ley de Poiseuille).

Esta forma de alcantarillado surge en la época victoriana, en Brighton, Inglaterra.

Los ovoides son curvas planas, cerradas y simétricas solo con respecto a su eje mayor. Están formados por cuatro arcos de circunferencia.

Trazado de un ovoide del que se conoce su eje menor :

1. Se dibuja la mediatriz del eje conocido AB, y se obtiene el punto O.

2. Con centro en O y radio OA, se traza una circunferencia que cortará a la mediatriz en el punto P.

3. Se unen los puntos A y B con P con lo que se llega a las rectas r y s.

4. Se dibujan dos arcos con radio AB y centro en los puntos A y B,y se obtienen así los puntos M y M'.

5. Con centro en P y radio PM o PM', se traza el último arco que configura el ovoide que se pide.

paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ninguna recta.

Dos rectas paralelas.

Rectas paralelas

Construcción de una línea paralela, a un punto dado, usando sólo regla y compás

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

También se le denomina así a aquellos pares de líneas que nunca se unen o cruzan.

Axioma de unicidad

El axioma que distingue a la geometría euclidiana de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades

Dado el conjunto P de rectas en el plano, podemos definir la relación binaria: ${\displaystyle \parallel }$ que representamos del siguiente modo:

${\displaystyle a\parallel b\quad ,\quad \parallel (a,b)\quad ,\quad (a,b)\in \parallel }$

Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:

• Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

${\displaystyle \forall a\in P:\quad a\parallel a}$

• Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

${\displaystyle \forall a,b\in P:\quad a\parallel b\longrightarrow \quad b\parallel a}$

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

• Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

${\displaystyle \forall a,b,c\in P:\quad {\Big (}\;a\parallel b\;\land \;b\parallel c\;{\Big )}\longrightarrow \quad a\parallel c}$

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.

Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.

Teoremas

• En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

• Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta (en un plano).

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Planos paralelos.

perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana.

El perímetro es la distancia alrededor de una figura de dos dimensiones, o la medición de la distancia en torno a algo; la longitud de la frontera.

La palabra viene del griego peri (alrededor) y metro (medida). El término puede ser utilizado tanto para la distancia o longitud, como para la longitud del contorno de una forma. El perímetro de un círculo se llama longitud de la circunferencia. La mitad del perímetro es el semiperímetro.

Calculando el perímetro tiene considerables aplicaciones prácticas. El perímetro se puede utilizar para calcular la longitud de la valla requerido para rodear un patio o jardín.

Aplicaciones prácticas

El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o una figura geométrica; se utiliza para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área se utiliza cuando podemos obtener la superficie interior de un perímetro que se desea cubrir con algo, tal como césped o fertilizantes.

Polígonos

Los polígonos regulares son necesarios para determinar los perímetros, no solo porque son las formas más simples, también porque los perímetros de muchas formas se calculan mediante la aproximación de ellos.

El primer matemático conocido por haber utilizado este tipo de razonamiento es Arquímedes, que se aproxima al perímetro de un círculo rodeándola con polígonos regulares. El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus bordes. En particular, el perímetro de un rectángulo que es ancho (a) y longitud (l) es igual a 2a + 2 l. Un polígono equilátero es un polígono que tiene todos los lados de la misma longitud (por ejemplo, un rombo es un polígono equilátero de 4 lados).

Para calcular el perímetro de un polígono equilátero, uno debe multiplicar la longitud común de los lados por el número de lados. Un polígono regular puede ser definido por el número de sus lados y por su radio, es decir, la distancia constante entre su centro y cada uno de sus vértices.

Ecuaciones

Perímetro de un polígono

El perímetro de un polígono se calcula sumando las longitudes de todos sus lados. Así pues, la fórmula para los triángulos es P = a + b + c, donde ${\displaystyle \scriptstyle a}$, ${\displaystyle \scriptstyle b}$ y ${\displaystyle \scriptstyle c}$ son las longitudes de cada lado. Para los cuadriláteros, la ecuación es P = a + b + c + d. Más en general, para un polígono de ${\displaystyle \scriptstyle n}$ lados:

${\displaystyle P=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}}$

un ejemplo de como se calcula el perimetro

donde ${\displaystyle \scriptstyle n}$ es el número de lados y ${\displaystyle \scriptstyle a_{i}}$ es la longitud del lado ${\displaystyle \scriptstyle i}$. Es entonces que para un polígono equilátero o regular, siendo que todos los lados son iguales:

${\displaystyle P=na}$

Círculos

El perímetro de un círculo es una circunferencia y su longitud es:

${\displaystyle P=2\pi r=2r\cdot \pi }$

donde:

${\displaystyle P\,}$ es la longitud del perímetro

${\displaystyle \pi \,}$ es la constante matemática pi (${\displaystyle \pi =3.1416...}$)

${\displaystyle r\,}$ es la longitud del radio

${\displaystyle d\,}$ es la longitud del diámetro

Para obtener el perímetro de un círculo se multiplica el diámetro por el número π.

Semicírculo

Un semicírculo es delimitada por un diámetro y la mitad de una circunferencia, por eso su perímetro es:

${\displaystyle P=2r+r\cdot \pi =r(2+\pi )}$

o

${\displaystyle P=d+(d\cdot \pi )/2=d(1+\pi /2)}$

donde:

• ${\displaystyle P\,}$ es la longitud del perímetro
• ${\displaystyle \pi \,}$ es la constante matemática pi (${\displaystyle \pi =3.14159265...}$)
• ${\displaystyle r\,}$ es la longitud del radio
• ${\displaystyle d\,}$ es la longitud del diámetro