ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

En álgebra abstracta un conjunto ${\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}}$ consistente en estructuras algebraicas ${\displaystyle A_{i}}$ (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y ${\displaystyle \delta _{i}}$ morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas si la construcción

${\displaystyle \ldots \to A_{n+1}{\begin{matrix}\delta _{n+1}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}\delta _{n}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n-1}\to \ldots }$

satisface ${\displaystyle \delta _{n}\circ \delta _{n+1}=0\,}$. Esta última condición implica ${\displaystyle \operatorname {im} \delta _{n+1}\subseteq \ker \delta _{n}\,}$ para toda ${\displaystyle n}$. Este concepto es clave para entender lo que es la homología.

Notación[editar]

El símbolo ${\displaystyle A_{\bullet }}$ se utiliza para designar al par ${\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}}$.

La homología[editar]

A las estructuras cociente

${\displaystyle H_{n}(A_{\bullet })={\frac {\ker \delta _{n}}{{\rm {im\,}}\delta _{n+1}}}\,}$

se les llama grupos de homología del complejo de cadenas ${\displaystyle A_{\bullet }}$

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.

Morfismo entre cadenas[editar]

cadeno-morfismo ${\displaystyle f_{\bullet }=\{f_{i}\}}$.

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos ${\displaystyle A_{\bullet }=\{A_{q},\,\delta _{q}\}}$ y ${\displaystyle B_{\bullet }=\{B_{q},\,\gamma _{q}\}}$ es un conjunto ${\displaystyle f_{\bullet }=\{f_{q}\}}$de morfismos entre las estructuras algebraicas ${\displaystyle A_{q}{\stackrel {f_{q}}{\to }}B_{q}}$ tales que ${\displaystyle f_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ f_{q+1}}$. Simbólicamente ${\displaystyle f_{\bullet }\colon A_{\bullet }\to B_{\bullet }}$ indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos ${\displaystyle A_{q}{\stackrel {g_{q}}{\to }}B_{q-d}}$ con la misma propiedad ${\displaystyle g_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ g_{q+1}}$

Como categoría[editar]

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico ${\displaystyle (X,A)}$ una familia de grupos abelianos ${\displaystyle \{H_{n}(X,A)\}}$ que formarán una complejo de cadenas ${\displaystyle \cdots \to H_{i}(A)\to H_{i}(X)\to H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)\to \cdots }$ y donde un mapeo continuo ${\displaystyle f\colon (X,B)\to (Y,B)}$ entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos ${\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(A)\to H_{i}(B)}$, ${\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$ y ${\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X,A)\to H_{i}(Y,B)}$ con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.

 coproducto o suma categórica de dos (o más) objetos es una noción que captura la esencia detrás de otras construcciones en otras áreas de las matemáticas tales como la unión disjunta en conjuntos y de espacios topológicos, el producto libre de grupos, la suma directa de módulos y espacios vectoriales, entre otras el coproducto de una familia de objetos es esencialmente el menos general de los objetos en el cual cada uno de los objetos de la familia dada admite un morfismo. El coproducto es la noción dual del producto categórico, esto es la definición de coproducto es la misma que la de producto solo que con las flechas invertidas.

Definición[editar]

Sea ${\displaystyle C}$ una categoría, ${\displaystyle \{X_{j}:j\in J\}}$una familia indicada de objetos de ${\displaystyle C}$. Un objeto ${\displaystyle X}$es un coproducto de ${\displaystyle \{X_{j}:j\in J\}}$si y solo si existen morfismos ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$llamadas inyecciones canónicas, tal que para cualquier otro objeto ${\displaystyle Y}$y una familia de morfismos ${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$ indicados por J existe un único morfismo f de X a Y tal que f_j = f ∘ i_j. Esto es, el siguiente diagrama conmuta para cualquier ${\displaystyle j\in I}$:

El coproducto de la familia ${\displaystyle \{X_{j}:j\in J\}}$es usualmente denotado por

${\displaystyle X=\coprod _{j\in J}X_{j}}$

o

${\displaystyle X=\bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

Es usual denotar al morfismo ${\displaystyle f}$ por

${\displaystyle f=\coprod _{j\in J}f_{j}:\coprod _{j\in J}X_{j}\to Y}$

para indicar la dependencia de los morfismos f_j.

Si la familia de objetos consiste de solo dos objetos el coproducto es usualmente denotado por X₁ ∐ X₂ o X₁ ⊕ X₂ y el diagrama toma la siguiente forma:

En este caso f es denotada por f₁ ∐ f₂ or f₁ ⊕ f₂.

si J es finito digamos J = {1,...,n} entonces el coproducto de los objetos X₁,...,X_n se suele denotar por X₁⊕...⊕X_n. y f se denota por f₁⊕...⊕f_n.

Ejemplos[editar]

• En la categoría Con (la categoría de conjuntos), el coproducto para la categoría es la unión disjunta con los morfismos inclusión i_j las funciones de inclusión.
• En la categoría R-Mod (la categoría de módulos sobre algún anillo R), el coproducto categórico está dado por la suma directa de módulos.
• En la categoría de espacios topológicos Top, el coproducto para la categoría es el espacio topológico cuyo conjunto subyacente es la unión disjunta de los conjuntos subyacentes de los espacios topológicos y cuyos abiertos son los los subconjuntos de este conjunto tal que al interceptarlos con los espacios son abiertos.
• En la categoría de grupos Grp, el coproducto categórico es el producto libre de grupos.
• Un conjunto parcialmente ordenado puede ser considerado como una categoría, usando la relación de orden como los morfismos. En este caso los productos y coproductos son los ínfimos y supremos del conjunto.
• Un producto vacío (i.e. I es el conjunto vacío) es un objeto inicial.

Discusión[editar]

La definición de coproducto dada anteriormente se puede ver como un caso particular de un colímite en teoría de categorías. El coproducto en una categoría C puede ser definido como el colímite de cualquier funtor de una categoría discreta J en C. En general el coproducto de cualquier familia {X_j} no necesariamente existe, pero si existe entonces es único salvo un único isomorfismo, esto es si i_j : X_j → X y k_j : X_j → Y son dos coproductos de la familia {X_j}, entonces (por la definición de coproducto) existe un único isomorfismo f : X → Y tal que fi_j = k_j  para cualquier j en J.

Sea Hom(A,B) el conjunto de morfismo de A en B en una categoría C entonces tenemos un isomorfismo natural

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$.

Este isomorfismo se debe a que el funtor Hom(_,A):C^op → Con preserva límites para cualquier objeto A. y el coproducto de una familia de objetos es un límite en la categoría opuesta C^op.

Sea C una categoría en el cual para cualquier conjunto finito de objetos ' el coproducto existe. y 0 denota el objeto inicial de la categoría entonces tenemos los siguientes isomorfismos:

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$.

Estas propiedades son similares a aquellas dadas en un monoide conmutativo; una categoría que tiene coproductos finitos forma una categoría simétrica monoidal.

Distributividad[editar]

En una categoría con productos y coproductos finitos existe un morfismo canónico X×Y+X×Z → X×(Y+Z), donde el signo aditivo denota el coproducto, para comprender esto observe que tenemos varias proyecciones e inyecciones canónicas que completan el diagrama:

La propiedad universal para X×(Y+Z) garantiza un único morfismo X×Y+X×Z → X×(Y+Z),. Una categoría distributiva es aquella en el cual este morfismo es realmente un isomorfismo

${\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z).}$.

 diagrama conmutativo es un diagrama de objetos (también conocidos como vértices) y morfismos (también conocidos como flechas o aristas) tales que todas las rutas directas en el diagrama con los mismos puntos finales conducen al mismo resultado por composición. Los diagramas conmutativos juegan un papel fundamental en teoría de categorías al igual que las ecuaciones lo hacen en álgebra.

Nótese que un diagrama puede ser no conmutativo, por ejemplo la composición de diferentes rutas en el diagrama puede no dar el mismo resultado. Para clarificar, frases como «este diagrama conmutativo» o «el diagrama conmuta» pueden ser usadas.

Ejemplos[editar]

En el siguiente diagrama se expresa el primer teorema de isomorfía, conmutativamente significa que ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$:

A continuación se muestra un cuadrado conmutativo genérico, en el cual ${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$

Símbolos[editar]

En los textos de álgebra, el tipo de morfismos puede ser denotado mediante el uso de diferentes flechas: monomorfismos con una ${\displaystyle \hookrightarrow }$, epimorfismos con una ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$, e isomorfismos con una ${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$. La flecha a trazos típicamente representa la afirmación de que el morfismo indica que existe cada vez que el resto del esquema se cumple. Esto es bastante común que los textos a menudo no expliquen el significado de los diferentes tipos de flechas.

Verificación de conmutatividad[editar]

Conmutatividad da sentido a un polígono de cualquier número finito de caras (incluso únicamente 1 o 2), y un diagrama es conmutativo si cada subdiagrama poligonal es conmutativo.

Persecución de diagramas[editar]

La persecución o cacería de diagramas es un método de demostración matemática usado sobre todo en álgebra homológica. Dado un diagrama conmutativo, una demostración mediante persecución de diagramas implica el uso formal de las propiedades del diagrama, tales como los mapas injectivos o suprayectivos, o sucesiones exactas. Se construye un silogismo, para el cual se usa la representación gráfica del diagrama sólo como ayuda visual. De aquí se deduce que uno termina por "cazar" o "atrapar" elementos en torno al diagrama, hasta que el elemento o resultado deseado se verifica o se demuestra constructivamente.

Algunos ejemplos de demostración mediante cacería de diagramas son aquellas que usan el lema de los cinco, el lema de la serpiente, el lema zig-zag, y el lema de los nueve.

Diagramas como funtores[editar]

Artículo principal: Diagrama (teoría de categorías)

Un diagrama conmutativo en una categoría C puede ser interpretado como un functor de una categoría indexada J en C; uno llama a ese functor diagrama.

Más formalmente, un diagrama conmutativo es una visualización de un diagrama indexado por una categoría poset:

• Se dibuja un nodo para cada objeto en la categoría indexada,
• Una flecha para la generación del conjunto de morfismos,

  omitiendo la identidad de mapas y morfismos que puede ser expresados mediante composiciones,

• y la conmutatividad del diagrama (la igualdad de diferentes composiciones de mapas entre dos objetos) corresponde a la unicidad de un mapa entre dos objetos en una categoría poset.

Al contrario, dado un diagrama conmutativo, éste define una categoría poset:

• los objetos son los nodos,
• hay un morfismo entre dos objetos cualesquiera si y sólo si existe un camino (directo) entre los nodos,
• con la relación de que este morfismo es único (cualquier composición de mapas se define por su dominio y destino: este es el axioma de conmutatividad).

Sin embargo, no cada diagrama conmuta (la noción de diagrama estrictamente generaliza al diagrama conmutativo): más simplemente, el diagrama de un objeto simple con un endomorfismo (${\displaystyle f\colon X\to X}$), o con dos flechas paralelas (${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$; ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$), como el usado en la definición de ecualizador es necesario que no conmute. Además, los diagramas pueden ser un incómodos o imposibles de representar cuando el número de objetos y morfismos es grande (o incluso infinito).