ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

 funtor exacto es un funtor de una categoría abeliana a otra que preserva sucesiones exactas.

Definición formal[editar]

Sea A y C categorías abelianas y sea :F: A→C un funtor, sea :0→A→B→C→0 una sucesión exacta corta de objetos de A entonces F es exacto si 0→F(C)→F(B)→F(A)→0 es de nuevo una sucesión exacta.

Otras definiciones relativas a el funtor F son:

• semi-exacto si F(A)→F(B)→F(C) es una sucesión exacta.
• exacto izquierdo si 0→F(A)→F(B)→F(C) es una sucesión exacta.
• exacto derecho si F(A)→F(B)→F(C)→0 es una sucesión exacta.

• De hecho no es necesario empezar siempre con una sucesión exacta para garantizar ciertas propiedades del funtor F, se demuestra que son equivalente las siguientes definiciones.

• F es un funtor exacto si A→B→C es una sucesión exacta entonces F(A)→F(B)→F(C) es una sucesión exacta.
• F es un funtor exacto izquierdo si 0→A→B→C es una sucesión exacta enntonces 0→F(A)→F(B)→F(C) es una sucesión exacta.
• F es un funtor exacto derecho si A→B→C→0 es una sucesión exacta entonces F(A)→F(B)→F(C)→0 es una sucesión exacta.

Ejemplos[editar]

• El ejemplo más importante de funtor exacto izquierdo es el funtor Hom. Si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A entonces F_A(X) = Hom_A(A,X) es un funtor de A en Ab (la categoría de grupos abelianos este funtor es un funtor exacto izquierdo F es exacto si y solo si A es proyectivo. El funtor G_A(X) = Hom_A(X,A) es un funtor de A^op en Ab también es un funtor exacto derecho y es exacto si y solo si A es inyectivo.

• Si K es un cuerpo y V es un espacio vectorial sobre K sea V* = Hom_k(V,k), con lo que obtenemos un funtor exacto de la categoría de K-Vec (la categoría de espacios vectoriales en sí misma. (la exactitud se debe a que K es un espacio vectorial inyectivo). De forma alterna uno puede argumentar que toda sucesión exacta corta de K-espacios vectoriales se factoriza y que cualquier funtor aditivo envía sucesiones factorizadas en sucesiones factorizadas).

• Si X es una espacio topológico, podemos considerar la categoría de gavillas de grupos abelianos en X. El funtor que asocia a cada gavilla G el grupo de secciones globales G(X) es exacto izquierdo.

• Si R es un anillo y M es un R módulo, podemos definir un funtor H_T de la categoría de módulos R-Mod a la categoría de grupos abelianos Ab usando el producto tensorial sobre R: 'HT(X) = T ⊗ X. Esto nos da un funtor exacto derecho de la categoría de R-Mod en Ab. Es exacto si y solo si T es plano.

Si A y B son dos categorías abelianas, podemos considerar la categoría de funtores B^A cuyos objetos son funtores de A en B y los morfismos entre dos objetos son transformaciones naturales entonces tenemos un funtor E_A de B^A a B evaluando funtores en A. Este funtor 'EA es exacto.

Algunos hechos[editar]

Un funtor (no necesariamente aditivo) es exacto izquierdo si y solo si lleva límites finitos en límites. Análogamente un funtor (no necesariamente aditivo) es exacto derecho si y solo si lleva colimites finitos en colimites.

El grado con el cual un funtor exacto izquierdo falla de ser exacto puede ser medido con sus funtores derivados derechos y el grado con el cual un funtor exacto derecho falla de ser exacto puede ser medido con sus funtores derivados izquierdos.

Existe un teorema que nos asegura que si F y G son funtores y F es adjunto izquierdo de G entonces F es exacto derecho y G es exacto izquierdo.

 funtores Tor son los funtores derivados del funtor producto tensor.

Específicamente, supongamos que R es un anillo, y denotemos como R-Mod la categoría de los R-módulos izquierdos y por Mod-R la categoría de los R-módulos derechos (si R es conmutativo, las dos categoríascoinciden). Ahora fijamos un módulo B en R-Mod. Para A en Mod-R, sea T(A) = A ⊗ B. Entonces T es un functor exacto derecho de Mod-R a la categoría de los grupos abelianos Ab (en el caso en el que R sea conmutativo, será un functor exactor derecho de Mod-R a Mod-R) y sus funtores izquierdos derivados, L_nT estarán definidos. Sea:

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}$

es decir, tomamos una resolución proyectiva de A

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0}$

y entonces eliminamos el término A y tensamos la resolución proyectiva con B, obteniendo el complejo:

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$

(nótese que A⊗B no aparece y la última flecha es precisamente el morfismo cero) y tomamos la homología de este complejo para definir el funtor Tor.

 homología (en Griego homos = idéntico) es un procedimiento general para asociar un objeto matemático dado (por ejemplo un espacio topológico o un grupo) con una sucesión de grupos abelianos (o en contextos más generales módulos o cualquier elemento sobre una categoría abeliana), es decir una acción functorial.

Para un espacio topológico, los grupos de homología son generalmente mucho más fáciles de computar que los grupos de homotopía, y consecuentemente, uno habitualmente tendrá un trabajo más simple con homología para ayudar en la clasificación de espacios.

La motivación original de homología era definir y clasificar los agujeros de un espacio topológico. En este caso, los grupos de homología describen agujeros del espacio topológico. Cada generador indica la existencia de un agujero y las propiedades del grupo indica la estructura del espacio topológico como dimensión y orientabilidad.

Definición[editar]

Se define el n-ésimo grupo de homología asociado a un complejo de cadenas

${\displaystyle \ldots \to A_{n+1}{\stackrel {\delta _{n+1}}{\to }}A_{n}{\stackrel {\delta _{n}}{\to }}A_{n-1}\to \ldots }$

donde ${\displaystyle \delta _{n}\circ \delta _{n+1}=0}$

como el grupo abeliano

${\displaystyle H(A_{n})={\frac {\ker(\delta _{n})}{\rm {im(\delta _{n+1})}}}.}$

También se utiliza la notación

${\displaystyle H_{n}(A)}$, donde ${\displaystyle A}$ es el complejo de cadenas respectivo.

Se llama ${\displaystyle \ker(\delta _{n})}$ los ciclos en ${\displaystyle A_{n}}$ y se llama ${\displaystyle {\rm {im(\delta _{n+1})}}}$ las fronteras de ${\displaystyle A_{n}}$.

Se dice que la homología mide la falta de exactitud de un complejo de cadenas en cada uno de sus eslabones. Por ejemplo si tenemos un complejo de cadenas corto

${\displaystyle 0\to A_{1}{\stackrel {a_{1}}{\to }}A_{2}{\stackrel {a_{2}}{\to }}A_{3}\to 0}$

entonces sus correspondientes grup(os de homología son:

${\displaystyle H(A_{1})=\ker a_{1},\qquad H(A_{2})={\frac {{\rm {ker}}\ a_{2}}{{\rm {im}}\ a_{1}}},\qquad H(A_{3})={\frac {A_{3}}{{\rm {im}}\ a_{2}}}}$

Es obvio que si la sucesión fuese exacta, entonces estos grupos serían triviales (=0).

 homología (y cohomología) de Hochschild es una teoría de homología para álgebrasasociativas sobre anillos. Existe también una teoría de la homología de Hochschild sobre ciertos funtores. La cohomología de Hochschild fue introducida por Gerhard Hochschild para álgebras sobre un cuerpo, y generalizada sobre anillos por Cartan y Eilenberg (1956).

Definición de la homología de Hochschild de un álgebra[editar]

Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa, y M un A-bimódulo. El álgebra envolvente de A es el producto tensor A^e=A⊗A^o de A con su álgebra opuesta. Los bimódulos sobre A son esencialmente los módulos sobre el álgebra envolvente de A, así que, en particular, A y M pueden considerarse como A^e-módulos. Cartan y Eilenberg (1956)definieron el grupo de homología y cohomología de Hochschild de A con coeficientes en M en términos del funtor Tor y el funtor Ext como

${\displaystyle HH_{n}(A,M)={\text{Tor}}_{n}^{A^{e}}(A,M)}$

${\displaystyle HH^{n}(A,M)={\text{Ext}}_{A^{e}}^{n}(A,M)}$

Complejo de Hochschild[editar]

Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa que es un k-módulo proyectivo, y M un A-bimódulo. Escribiremos el producto tensor de n copias de A sobre k como A^⊗n . El complejo de cadenas que da lugar a la homología de Hochschild viene dado por

${\displaystyle C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}}$

con operadores de frontera d_i definidos por

${\displaystyle d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}}$

${\displaystyle d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$

${\displaystyle d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}}$

Donde a_i está en A para cada 1 ≤ i ≤ n y m ∈ M. Si tomamos

${\displaystyle b=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},}$

entonces b ° b = 0, así que (C_n(A,M), b) es un complejo de cadenas llamado complejo de Hochschild, y su homología es la homología de Hochschild de A coeficientes en M.

Observación[editar]

Las aplicaciones d_i son operadores frontera que hacen a la familia de módulos C_n(A,M) un objeto simplicial en la categoría de k-módulos. Esto es, hay un funtor Δ^o → k-mod, donde Δ es la categoría simplicial y k-mod es la categoría de los k-módulos. Aquí, Δ^o es la categoría opuesta de Δ. Las aplicaciones degeneradas están definidas por s_i(a₀ ⊗ ··· ⊗ a_n) = a₀ ⊗ ··· a_i ⊗ 1 ⊗ a_i+1 ⊗ ··· ⊗ a_n. La homología de Hochschild es la homología de este módulo simplicial.