ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

La asociatividad es una propiedad en el álgebra y la lógica proposicional que se cumple si, dados tres o más elementoscualquiera de un conjunto determinado, se verifica que existe una operación: ${\displaystyle \circ }$, que cumpla la igualdad:

${\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$

Es decir, en una expresión asociativa con dos o más ocurrencias seguidas de un mismo operador asociativo, el orden en que se ejecuten las operaciones no altera el resultado, siempre y cuando se mantenga intacta la secuencia de los operandos. En otras palabras, reorganizar los paréntesis en una expresión asociativa no cambia su valor final.

La suma y el producto de números reales cumplen la propiedad asociativa, siendo válidas las igualdades:

${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$

para la suma y:

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$

para la multiplicación.

En ambas, la ubicación de los paréntesis no altera el resultado. Nótese que los operandos han se han mantenido en su posición original dentro de la expresión. Muchas operaciones importantes son no asociativas, por ejemplo la resta y la exponenciación. Las expresiones que contienen tanto operaciones asociativas como operaciones no asociativasdan como resultado expresiones no asociativas.

No se debe confundir la asociatividad con la conmutatividad, la cual establece que si se puede cambiar el orden de los operandos sin afectar el resultado final.

Notación formal[editar]

Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna ○ tal que

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circ b\end{array}}}$

Se dice que la operación ${\displaystyle \circ }$ es asociativa si:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A\;:\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$

La ley asociativa también puede ser expresada en notación funcional así:

${\displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))\,}$

Suma y resta[editar]

Partiendo del conjunto de los números naturales

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}}$

para la operación suma, definida como:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}}$

${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)\,}$ tiene la propiedad asociativa, dado que:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a+(b+c)=(a+b)+c}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 5+(3+2)=(5+3)+2}$

Sin embargo, para la operación resta, definida como:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a-b\end{array}}}$

${\displaystyle (\mathbb {N} ,-)\,}$ no tiene la propiedad asociativa, dado que:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a-(b-c)\neq (a-b)-c}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 5-(3-2)\neq (5-3)-2}$

Ejemplos[editar]

La adición de numeros reales es asociativa.

• La concatenación de las cadenas de caracteres "hola", " ", "mundo" se puede computar concatenando las primeras dos cadenas de caracteres (resultando en "hola ") y luego la tercera cadena de caracteres ("mundo"), o alternativamente, uniendo la segunda y tercera cadena de caracteres (resultando en " mundo") y concatenando la primera cadena de caracteres ("hola") con ese resultado. Los dos métodos producen el mismo resultado final. La concatenación de cadenas de caracteres es asociativa (pero no es conmutativa).
• En aritmética, la adición y la multiplicación de números reales son asociativas. Debido a su asociatividad, la agrupación por paréntesis puede ser omitida sin ambigüedad. Esto es,

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{para todo }}x,y,z\in \mathbb {R} .}$

Un ejemplo de la asociatividad de la suma es

${\displaystyle (2+3)+7=5+7=12\quad =\quad 2+(3+7)=2+10=12}$

y de la asociatividad de la multiplicación

${\displaystyle (2\cdot 3)\cdot 7=6\cdot 7=42\quad =\quad 2\cdot (3\cdot 7)=2\cdot 21=42}$

Sin embargo, la resta no es asociativa,

${\displaystyle 2-(3-1)=0\quad \neq \quad (2-3)-1=-2}$

y tampoco lo es la división,

${\displaystyle (4:2):2=1\quad \neq \quad 4:(2:2)=4}$.

ni la exponenciación, que es igualmente no asociativa

${\displaystyle 2^{(2^{3})}=2^{8}=256\quad \neq \quad (2^{2})^{3}=4^{3}=64}$

• La adición y multiplicación de números complejos y cuaterniones son asociativas. La adición de octonionestambién es asociativa, pero la multiplicación de octoniones es no asociativa.
• Las funciones máximo común divisor y mínimo común múltiplo actuán de forma asociativa.

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\operatorname {mcd} (\operatorname {mcd} (x,y),z)=\operatorname {mcd} (x,\operatorname {mcd} (y,z))=\operatorname {mcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {mcm} (\operatorname {mcm} (x,y),z)=\operatorname {mcm} (x,\operatorname {mcm} (y,z))=\operatorname {mcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ para todo }}x,y,z\in \mathbb {Z} .}$

• La intersección o la unión de conjuntos son asociativas.

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{para todos los conjuntos }}A,B,C.}$

• SI M es algún conjunto y S denota el conjunto de todas las cunciones de M a M, entonces la operación de composición funcional sobre S es asociativa.

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{para todo }}f,g,h\in S.}$

• Más generalmente, dados cuatro conjuntos M, N, P y Q, con h: M a N, g: N a P, y f: P a Q, entonces

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h}$

tal como en el ejemplo anterior. En resumen, la composición de aplicaciones siempre es asociativa.

• Para un conjunto con tres elementos A, B, y C, la siguiente operación es asociativa.

×	A	B	C
A	A	A	A
B	A	B	C
C	A	A	A

De esta manera, por ejemplo, A(BC)=(AB)C = A. Esta operación no es conmutativa.

• Ya que las matrices representan funciones de transformación lineal, con la multiplicación matricialrepresentando composición funcional, se puede concluir inmediatamente que la multiplicación matricial es asociativa.¹​

En lógica proposicional[editar]

Regla de reemplazo[editar]

En la lógica proposicional estándar, la asociación,²​³​ o asociatividad⁴​ son dos reglas de reemplazo válidas. Estas reglas permiten mover los paréntesis en expresiones lógicas usadas en pruebas lógicas. Las reglas son:

${\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}$

y

${\displaystyle (P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),}$

donde "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba por."

Conectivas de funciones de verdad[editar]

Asociatividad es una propiedad de algunas conectivas lógicas en las funciones de verdad de la lógica proposicional. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la asociatividad es una propiedad de conectivas lógicas particulares. Son asimismo tautologías de funciones de verdad.

Asociatividad de la disyunción:

${\displaystyle ((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))}$

${\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}$

Asociatividad de la conjunción:

${\displaystyle ((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))}$

${\displaystyle (P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land R)}$

Asociatividad de la equivalencia:

${\displaystyle ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))}$

${\displaystyle (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)}$

En matemáticas, un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático en sí mismo. Usualmente el conjunto de automorfismos de un objeto puede recibir una estructura de grupo con la operación de composición, tal grupo recibe el nombre de grupo de automorfismos y es, a grandes rasgos, el grupo de simetría del objeto.

Ejemplos[editar]

Si las estructuras son conjuntos, entonces los isomorfismos entre dos conjuntos X, Y son simplemente funciones biyectivas.

Los automorfismos son funciones biyectivas de X en X, es decir, permutaciones del conjunto.

Considerando el conjunto Z de números enteros con la estructura de grupo abeliano (con la operación suma), los automorfismos son funciones biyectivas f:Z→Z tales que ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$. Existen dos únicas funciones con dicha propiedad: ${\displaystyle f(x)=x}$ y ${\displaystyle f(x)=-x}$.

Si ahora tomamos de nuevo el conjunto Z de números enteros pero con la estructura de anillo (operaciones suma y producto) entonces los automorfismos serán funciones biyectivas que cumplan ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ y ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$. En este caso, la única función posible es la identidad, ya que ${\displaystyle f(x)=-x}$ sólo cumple la primera condición y no la segunda.

En los tres casos, el grupo de automorfismos sugiere cierta simetría en el objeto. En el caso de conjuntos, al carecer de estructura, se toma cualquier reordenamiento de sus elementos (permutaciones). En el caso de los números enteros, cuando se considera únicamente la estructura de la suma se obtiene una simetría entre los números positivos y negativos, pero tal simetría desaparece cuando se toma en cuenta la estructura que impone la multiplicación, puesto que el comportamiento de los números positivos y negativos es diferente respecto a ella.

biálgebra sobre un cuerpo K es un espacio vectorial sobre K que es un álgebra asociativaunitaria y una coálgebra. Las estructuras algebraica y coalgebraica deberán cumplir varios axiomas para decirse compatibles. En particular, la comultiplicación y la counidad deben ser ambos homomorfismos de álgebras o, equivalentemente, la multiplicación y la unidad del álgebra deben ser morfismos de la coálgebra (ambas condiciones son equivalentes ya que están expresadas por el mismo diagrama conmutativo).

Las biálgebras similares están relacionadas por homomorfismos de biálgebras. Un homomorfismo de biálgebras es una aplicación lineal que es al mismo tiempo homomorfismo de álgebras y homomorfismo de coálgebras.

Como se refleja en la simetría de los diagramas conmutativos, la definición de biálgebras es autodual, de forma que si se define un dual de B (lo cual es siempre posible si B es de dimensión finita), entonces es automáticamente una biálgebra.

Definición formal[editar]

(B, ∇, η, Δ, ε)  es una biálgebra sobre K si tiene las siguientes propiedades:

• B es un espacio vectorial sobre K;
• existen aplicaciones K-lineales (multiplicación) ∇: B ⊗ B → B (o, equivalentemente, aplicaciones K-multilineales ∇: B × B → B) y una unidad η: K → B, tales que (B, ∇, η) es un álgebra asociativa unitaria;
• existen aplicaciones K-lineales (comultiplicación) Δ: B → B ⊗ B y counidad ε: B → K, tales que (B, Δ, ε) es una coálgebra coasociativa counitaria;
• condiciones de compatibilidad expresadas por los siguientes diagramas conmutativos:

1. Multiplicación ∇ y comultiplicación Δ¹​

   

   donde τ: B ⊗ B → B ⊗ B es la aplicación lineal definida por τ(x ⊗ y) = y ⊗ x para todo x e y en B,

2. Multiplicación ∇ y counidad ε

   

3. Comultiplicación Δ y unidad η²​

   

4. Unidad η y counidad ε

   

Coasociatividad y counidad[editar]

The aplicación K-lineal Δ: B → B ⊗ B es coasociativa si ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$.

La aplicación K-lineal ε: B → K es una counidad si ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$.

La coasociatividad y la counidad están expresadas por la conmutatividad de los siguientes dos diagramas (que son los duales de los diagramas que expresan asociatividad y unidad en un álgebra).

Condiciones de compatibilidad[editar]

Los cuatro diagramas conmutativos se pueden leer también como «la comultiplicación y la counidad son homomorfismos de álgebras» o, equivalentemente, «la multiplicación y la unidad son homomorfismos de coálgebras».

Estas afirmaciones toman significado dadas las estructuras naturales de álgebra y coálgebra en todos los espacios vectoriales involucrados ya que B: (K, ∇₀, η₀) es un álgebra asociativa unitaria de forma trivial y (B ⊗ B, ∇₂, η₂) es un álgebra asociativa unitaria con unidad y multiplicación

${\displaystyle \eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)}$

${\displaystyle \nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)}$,

de forma que ${\displaystyle \nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})}$u omitiendo ∇ y escribiendo la multiplicación como yuxtaposición, ${\displaystyle (x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}}$;

análogamente, (K, Δ₀, ε₀) es una coálgebra de forma trivial y B ⊗ B es una coálgebra con counidad y comultiplicación

${\displaystyle \epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K}$

${\displaystyle \Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)}$.

Así, los diagramas 1 y 3 afirman que Δ: B → B ⊗ B es un homomorfismos entre las álgebras asociativas unitarias (B, ∇, η) y (B ⊗ B, ∇₂, η₂)

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)}$, o simplemente Δ(xy) = Δ(x) Δ(y),

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)}$, o simplemente Δ(1_B) = 1_B ⊗ B;

los diagramas 2 y 4 afirman que ε: B → K es un homomorfismo entre las álgebras asociativas unitarias (B, ∇, η) y (K, ∇₀, η₀):

${\displaystyle \epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K}$, o simplemente ε(xy) = ε(x) ε(y)

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K}$, o simplemente ε(1_B) = 1_K.

Equivalentemente, los diagramas 1 y 2 afirman que ∇: B ⊗ B → B es un homomorfismo entre las coálgebras coasiciativas counitarias (B ⊗ B, Δ₂, ε₂) y (B, Δ, ε):

${\displaystyle \nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla :(B\otimes B)\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla :(B\otimes B)\to K}$;

y los diagramas 3 y 4 afirman que η: K → B es un homomorfismo entre las coálgebras coasociativas counitarias (K, Δ₀, ε₀) y (B, Δ, ε):

${\displaystyle \eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K}$.

Ejemplos[editar]

Biálgebra de grupo[editar]

Un ejemplo de biálgebra es el conjunto de funciones de un grupo G (o, de forma más general, de cualquier monoide) en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, que podemos representar como un espacio vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$consistente en las combinaciones lineales finitas de vectores base e_g para cada g ∈ G, lo que representaría una distribución de probabilidad sobre G en el caso de vectores cuyos coeficientes son todos no negativos y suman 1. Un ejemplo de operadores de comultiplicación y counidades que llevan a una coálgebra counital son

${\displaystyle \Delta (\mathbf {e} _{g})=\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{g}\,,}$

lo que representa una copia de una variable aleatoria (que se puede extender a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$por linealidad), y

${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {e} _{g})=1\,,}$

(de nuevo extendido linealmente a todo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$) lo que representa la traza de una variable aleatoria (esto es, olvidar el valor de una variable aleatoria, representada por un único factor tensorial, para obtener una distribución marginal sobre las variables restantes, los factores tensoriales restantes). Dada la interpretación de (Δ,ε) en términos de distribuciones de probabilidad anterior, las condiciones de consistencia de biálgebra, dadas como condiciones sobre (∇,η), son las siguientes:

1. η es un operador que prepara una distribución de probabilidad normalizada independiente de las demás variables aleatorias;
2. El producto ∇ lleva una distribución de probabilidad en dos variables a una distribución de probabilidad en una variable;
3. Copiar una variable aleatoria en la distribución dada por η es equivalente a tener dos variables aleatorias independientes en la distribución η;
4. Tomar el producto de dos variables aleatorias y preparar una copia de la variable aleatoria resultante tiene la misma distribución que preparar copias de cada variable aleatoria independientemente y multiplicarlas por pares.

Un par (∇,η) que satisface estas condiciones es el operador de convolución

${\displaystyle \nabla {\bigl (}\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{h}{\bigr )}=\mathbf {e} _{gh}\,,}$

de nuevo extendido a todo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}\otimes \mathbb {R} ^{G}}$por linealidad; esto produce una distribución de probabilidad normalizada de una distribución sobre dos variables aleatorias, y tiene como unidad la distribución delta ${\displaystyle \eta =\mathbf {e} _{i}\;,}$donde i ∈ Gdenota el elemento identidad del grupo G.

Otros ejemplos[editar]

Otro ejemplo de biálgebra es el álgebra tensorial, que puede convertirse en biálgebra añadiendo una comultiplicación y una counidad adecuadas.

En ocasiones se puede extender las biálgebras en álgebras de Hopf, si se puede encontrar una antípoda apropiada. Así, todas las álgebras de Hopf son ejemplos de biálgebras.³​ Estructuras similares con diferentes condiciones de compatibilidad sobre la multiplicación y la comultiplicación, o diferentes tipos de estas, incluyen las biálgebras de Lie y las álgebras de Frobenius.