ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

 álgebra de optimización hace referencia a una estructura algebraica definida en el conjunto de reales positivos extendido.

Definición[editar]

En el conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} _{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ se definen las operaciones binarias:¹​

Suma

${\displaystyle a\boxplus b={\begin{cases}\min\{a,b\}&,\;si:&a,b\in \mathbb {R} \\b&,\;si:&a=\infty \\a&,\;si:&b=\infty \end{cases}}}$

Producto

${\displaystyle a\boxdot b={\begin{cases}a+b&,\;si:&a,b\in \mathbb {R} \\\infty &,\;si:&los\;otros\;casos\end{cases}}}$

La estructura algebraica resultante se denomina álgebra de optimización y es un semicuerpo puesto que satisface todos los axiomas de un cuerpo con excepción del axioma de existencia de inversos aditivos.

Las álgebras no asociativas son álgebras que aplican específicamente a estructuras matemáticas (como cuerpos u anillos) en las cuales la propiedad de asociatividad no se define o no tienen por qué cumplirse, es decir: las operaciones

${\displaystyle \left(a_{1}\otimes a_{2}\right)\otimes \ a_{3}}$
y
${\displaystyle a_{1}\otimes \left(a_{2}\otimes \ a_{3}\right)}$

no tienen necesariamente el mismo resultado, para un operador de producto ${\displaystyle \otimes }$. Por ejemplo, en un álgebra no asociativa que operara sobre los reales, las expresiones ${\displaystyle (5*3)*9}$ y ${\displaystyle 5*(3*9)}$ tendrían diferentes resultados.

Las estructuras en las cuales operan álgebras no asociativas son llamadas análogamente estructuras no asociativas.

El hecho que una estructura algebraica sea no asociativa, no impide que pueda ser conmutativa, o incluso, distributiva, pero sí puede impedir la existencia de elementos neutros absolutos.

Un ejemplo comúnmente usado actualmente de álgebras no asociativas es la de los octoniones (una extensión de los cuaterniones).

Otro ejemplo son las álgebras de Jordan.

Los cuerpos o estructuras algebraicas que operan en forma no asociativa reciben actualmente poca atención respecto de aquellos que respetan la propiedad asociativa.

Álgebra sobre un cuerpo

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En matemáticas, un álgebra sobre un cuerpo K, o una K -álgebra, es un espacio vectorial A sobre K equipado con una noción compatible de multiplicación de elementos de A. Una generalización directa admite que K sea cualquier anillo conmutativo. Algunos autores^{[cita requerida]} utilizan el término "álgebra" como sinónimo de "álgebra asociativa".

Definiciones[editar]

Para ser exactos, sea ${\displaystyle (V_{\mathbb {K} },+)}$ un espacio vectorial sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, y supongamos que existe una operación binaria definida entre vectores:

${\displaystyle \cdot :V_{\mathbb {K} }\times V_{\mathbb {K} }\to V_{\mathbb {K} }}$

Tal que es bilineal, es decir, tal que para todo ${\displaystyle u,v,w\in V,\lambda \in \mathbb {K} }$:

1. ${\displaystyle u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w}$
2. ${\displaystyle (v+w)\cdot u=v\cdot u+w\cdot u}$
3. ${\displaystyle u\cdot (\lambda v)=(\lambda u)\cdot v=\lambda (u\cdot v)}$

Entonces con esta operación, ${\displaystyle V_{\mathbb {K} }}$ se convierte en un álgebra sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es el cuerpo base del álgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(V_{\mathbb {K} },+,\cdot )}$.

Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo unitario ${\displaystyle R}$: necesitamos un módulo ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sobre ${\displaystyle A}$ y una operación bilineal sobre el espacio vecorial como la arriba descrita; entonces ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ es una ${\displaystyle R}$-álgebra, y ${\displaystyle R}$ es el anillo bajo ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Dos álgebras ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ son isomorfas si existe una K biyección - función lineal f: ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ tal que f (xy) = f(x)f(y) para todo x, y en ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.

Características[editar]

Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de ${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ es determinada totalmente por la multiplicación de los elementos de la base de A. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo K, cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión(digamos n), y especificar los n³ coeficientes de estructura c_i,j,k, que son escalares. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ vía la regla siguiente:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}}$

Donde e₁,...e_n una base de A. El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión n es un número infinito, entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación). Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo c_i,j^k, y se escribe usando el convenio de sumación de Einstein como

e_i e_j = c _i,j^k e_k.

Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en

(xy)^k = c _i,j ^k xⁱ y^j.

Si K es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ es un módulo libresobre K. Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generador de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no específica el álgebra módulo isomorfismo.

Clases de álgebra y ejemplos[editar]

Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa; un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa. Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.

Álgebras asociativas[editar]

Entre los ejemplos de álgebra asociativa podemos destacar:

• • el álgebra de todas las matrices n-por-n sobre el cuerpo (o anillo conmutativo) K. Aquí la multiplicación es multiplicación ordinaria de matrices.
  • las álgebra grupo, donde un grupo sirve de base del espacio vectorial y la multiplicación del álgebra amplía la multiplicación del grupo.
  • el álgebra conmutativa K[x] de todos los polinomios sobre K, es un espacio vectorial de dimensión infinita (alef-0) sobre el cuerpo en el que se definen.
  • las álgebras de funciones, tales como el R-álgebra de todas las funciones continuas real-valoradas definidas en el intervalo [0, 1], o la C-álgebra de todas las funciones holomórficas definidas en algún conjunto abierto en el plano complejo. Éstas son también conmutativos.
  • las álgebras de incidencia se construyen sobre ciertos conjuntos parcialmente ordenados.
  • las álgebras de operadores lineales, por ejemplo en un espacio de Hilbert. Aquí la multiplicación del álgebra viene dada por la composición de operadores. Estas álgebras también llevan una topología; se definen muchas de ellas en un espacio subyacente de Banach que las convierte en un álgebra de Banach. Si una involución se da también, obtenemos B-estrella-álgebras y C-estrella-álgebras. Éstas se estudian en análisis funcional.

Álgebras no asociativas[editar]

Las clases más conocidas de álgebras no-asociativas son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos. Éstos incluyen:

• Álgebra de Lie, para las cuales requerimos la identidad de Jacobi z ( xy ) + (yz) x + (zx) y = 0 y anticonmutatividad: xx = 0. Para estas álgebra el producto se llama el corchete de Lie y se escribe [ x,y ] en vez de xy. Los ejemplos incluyen:
  • Espacio euclidiano R³ con la multiplicación dada por el producto vectorial (con K el cuerpo R de los números reales);
  • Álgebra de los campos vectoriales en una variedad diferenciable (si K es R o los números complejos C) o una variedad algebraica (para el general K);
  • Cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie usando el conmutador como corchete de Lie. De hecho cada álgebra de Lie se puede construir de esta manera, o es una subálgebra de un álgebra de Lie así construida.

• Álgebra de Jordan, para las cuales requerimos (xy)x² = x(yx²) y también xy = yx.
  • Cada álgebra asociativa sobre un cuerpo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan definiendo una nueva multiplicación x*y = (1/2)(xy + yx). En contraste con el caso del álgebra de Lie, no toda álgebra de Jordan se puede construir de esta manera. Las que si se pueden se llaman especiales.

• Álgebras alternativas, para las cuales requerimos que (xx)y =x(xy) y (yx)x = y(xx). Los ejemplos más importantes son los octoniones (un álgebra sobre los reales), y generalizaciones de los octoniones sobre otros cuerpos. (todas las álgebras asociativas son obviamente alternativas.) Salvo isomorfismo las únicas álgebras alternativas reales finito-dimensionales son los reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.

• Álgebras potencia-asociativas, para las cuales requerimos que x^mxⁿ = x^m+n, donde m ≥ 1 y n ≥ 1. (aquí definimos formalmente xⁿ⁺¹ recurrentemente como x (x ⁿ).) Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, y los sedeniones.

Más clases de álgebra[editar]

• Las álgebras de división, en las cuales el inverso multiplicativo existe o la división puede ser realizada. Las álgebras finito-dimensionales de división sobre el cuerpo de los números reales se pueden clasificar bien.

• Álgebras cuadráticas, para las cuales requerimos xx=re + sx, para algunos elementos r y s en el cuerpo de base, y e una unidad para el álgebra. Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas finito-dimensionales, y el álgebra de las matrices reales 2-por-2. Salvo un isomorfismo las únicas álgebras reales alternativas, cuadráticas sin divisores de cero son los reales, los complejos, los cuaterniones, y los octoniones.

• Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R, que comienzan con:
  • C (una álgebra conmutativa y asociativa);
  • los cuaterniones H (una álgebra asociativa);
  • los octoniones (un álgebra alternativa);
  • los sedeniones (un álgebra potencia-asociativa, como todas las álgebras de Cayley-Dickson).

• Las álgebras de Poisson se consideran en la cuantización geométrica. Tienen dos multiplicaciones, haciéndolas álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diversas maneras.

anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto no vacío y dos operaciones internas, llamadas usualmente «suma» y «producto», que cumplen ciertas propiedades.

En términos más específicos, un anillo es una terna (A, +, •), donde A es un conjunto no vacío y + y • son operaciones binarias internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva bilátera respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a.

El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida,¹​ a diferencia de otras estructuras algebraicas como el cuerpo. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina «anillo conmutativo». Además, si existe un elemento neutro para el producto, se dice que el anillo es unitario ya que, en este caso, se emplea el número 1 para designar al elemento neutro del producto.

Historia[editar]

La teoría de anillos surgió de la exploración de asuntos vinculados con la divisibilidad entre números enteros, del estudio simultáneo de divisibilidad de polinomios y hasta del caso de los cuerpos, concretamente, de los números racionales, números reales, números complejos y de los números algebraicos, de los cuaterniones, fracciones racionales y otros. En la etapa inicial, fueron las materias de la teoría de números y de la geometría algebraica las que propiciaron los conceptos de anillo, cuerpo e ideal. En su estructuración axiomatica , tales ideas fueron fruto del esfuerzo de Dedekind y otros matemáticos a fines del siglo XIX. Sus aplicaciones al análisis matemático muestran los enfoques modernos de algebrización de tal disciplina matemática, que ocurren recién en el segundo cuarto del siglo XX.²​

El término anillo fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert en Der Zahlbericht (Informe sobre los números 1897). La frase anillo booleano pertenece a al matemático británico Arthur Harold Stone (1938).³​

Noción de anillo[editar]

Artículo principal: Número entero

Véase también: Propiedades de los números enteros

Considérese el conjunto de números enteros:

... –8, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 8, ...

provisto de dos de las operaciones binarias: la adición y la multiplicación conocidas desde la matemática escolar. Históricamente, el conjunto ℤ de los enteros con sus dos operaciones sirvió de base para la formulación del concepto de anillo^{[cita requerida]}. La razón por la cual los enteros forman un anillo es que poseen las siguientes propiedades:

1. Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + bes un número entero.
2. La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.
5. La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.
6. Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.
7. La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).
8. Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.
9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Definición[editar]

Sea A un conjunto no vacío, y sean ${\displaystyle \star }$ y ${\displaystyle \circ }$ dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto ${\displaystyle (A,\star ,\circ )\,}$ es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

1.	A es cerrado bajo la operación ${\displaystyle \star }$.	${\displaystyle \forall a,b\in A,a\star b\in A}$	Magma
2.	La operación ${\displaystyle \star }$ es asociativa.	${\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a\star b)\star c=a\star (b\star c)}$	Semigrupo
3.	La operación ${\displaystyle \star }$ tiene a n como elemento neutro.	${\displaystyle \forall a\in A,a\star n=n\star a=a}$	Monoide
4.	Existe un elemento simétrico para ${\displaystyle \star }$.	${\displaystyle \forall a\in A,\exists b\in A,a\star b=b\star a=n}$	grupo

Una quinta condición define un grupo abeliano:

5.

La operación ${\displaystyle \star }$ es conmutativa.

${\displaystyle \forall a,b\in A,a\star b=b\star a}$

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más, las que conciernen acerca de la segunda operación binaria:

6.	A es cerrado bajo la operación ${\displaystyle \circ }$.	${\displaystyle \forall a,b\in A,a\circ b\in A}$
7.	La operación ${\displaystyle \circ }$ es asociativa.	${\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$
8.	La operación ${\displaystyle \circ }$ es distributiva respecto de ${\displaystyle \star }$.	${\displaystyle \forall a,b,c\in A,\quad \left\{{\begin{array}{l}a\circ (b\star c)=(a\circ b)\star (a\circ c)\\(a\star b)\circ c=(a\circ c)\star (b\circ c)\\\end{array}}\right.}$

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9.

La operación ${\displaystyle \circ }$ es conmutativa.

${\displaystyle \forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a}$

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).

Definición sintética[editar]

Un anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:⁴​

• R1. R es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;
• R2. R es un monoide conmutativo para la multiplicación;
• R3. La multiplicación es distributiva (por los dos lados) respecto de la adición.

Ejemplos[editar]

• El conjunto de los enteros gaussianos H = {m+ni: m,n ∈ ℤ}, con la adición y múltiplicación usuales es un anillo unitario. Es un subanillo de los números complejos ℂ.
• El conjunto M de las matrices reales de orden 2 con la adición y multiplicación de matrices es un anillo no conmutativo.
• El conjunto Q(${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {3}}}$) de los números reales: m+n${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {3}}}$ donde m, n ∈ ℚ (son racionales), con la adición y multiplicación, es un anillo unitario conmutativo.⁵​
• El conjunto Z[6] de los enteros módulo 6; con la adición y multiplicación modular, es un anillo finito con divisores de 0.
• El conjunto F[x] de los polinomios con coeficientes en ℤ (conjunto de los enteros), con la adición y multiplicación, es un anillo unitario.

Sustracción[editar]

Una operación vinculada a la adición se puede definir en un anillo: la sustracción.

• La diferencia de a y b se define como d = a +(-b), resultado garantizado por la existencia y unicidad del opuesto de b. La operación que al par ordenado a, b le asigna su diferencia se llama sustracción. Y se considera operación inversa de la adición en el sentido de a = d+b = [a+(-b)]+b = a+[(-b)+b]= a+0. La sustracción resuelve la ecuación b+x = a , con diferencia de a y b.

distributiva con la sustracción

a(b-c) = ab-ac; (b-c)a = ba-bc.

producto con opuestos

1. (-a)b = a(-b) = -ab

2. (-a)(-b) = -a(-b) = ab

Elementos destacados en un anillo[editar]

• Elemento cero, denotado por ${\displaystyle 0}$, es el elemento neutro para la suma. Para este elemento se verifica lo siguiente:

Sea A un anillo arbitrario. ${\displaystyle 0\cdot x=0\qquad \forall x\in A}$

mostrarDemostración

• Múltiplo de un elemento: para cualquier número entero positivo ${\displaystyle n}$ y el elemento ${\displaystyle a}$ del anillo se define ${\displaystyle na=a+...+a.{}(nveces)}$ y a ${\displaystyle na}$ se llama múltiplo de a. Se cumple también que ${\displaystyle 0a=0_{A}}$. De modo que el número entero cero por cualquier elemento de un anillo es igual al cero del anillo. Finalmente, ${\displaystyle n(-a)=-na}$ donde ${\displaystyle n}$ es entero positivo y ${\displaystyle -a}$ es el opuesto de ${\displaystyle a}$.⁶​

• Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple ${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$ para todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario. El elemento cero y el elemento unitario (caso de existir) sólo coinciden en el caso de que el anillo sea trivial:

mostrarDemostración

• Inverso multiplicativo: en un anillo unitario, se pueden definir elementos inversos multiplicativos de la siguiente manera:
  • el elemento ${\displaystyle b}$ es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por la izquierda) de ${\displaystyle a}$ si ${\displaystyle b\cdot a=1}$.
  • Así mismo, el elemento ${\displaystyle c}$ es inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de ${\displaystyle a}$ si ${\displaystyle a\cdot c=1}$.

No todos los elementos tienen inverso, e incluso es posible que un elemento tenga inverso por la izquierda pero no por la derecha, o viceversa. Sin embargo, cuando un elemento a tiene elemento inverso por la izquierda y por la derecha, entonces ambos son iguales, y se denota simplemente como elemento inverso (${\displaystyle a^{-1}}$).

• Elemento inversible, elemento invertible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.

• Divisor de cero: un elemento ${\displaystyle a\neq 0}$ es divisor del cero por la izquierda, si existe algún ${\displaystyle b\neq 0}$, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un ${\displaystyle c\neq 0}$ distinto de 0 tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.

• Elemento regular: un elemento ${\displaystyle a\neq 0}$ de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular.

• Elemento idempotente: es cualquier elemento ${\displaystyle e}$ del anillo que al multiplicarse por sí mismo no varía, es decir, tal que ${\displaystyle e\cdot e=e}$ (o alternativamente ${\displaystyle e^{2}=e}$). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es unitario, también el 1 es idempotente.

• Elemento nilpotente (o nihilpotente): es cualquier elemento ${\displaystyle x}$ del anillo para el que existe un número natural ${\displaystyle n}$ de forma que ${\displaystyle x^{n}=0}$ (donde ${\displaystyle x^{n}}$ se define por recurrencia: ${\displaystyle x^{0}=1}$, ${\displaystyle x^{n}=x\cdot x^{n-1}}$). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento nilpotente es divisor de cero.

Algunos tipos importantes de anillos[editar]

• Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es conmutativo, esto es, a·b=b·a para todos a y b (no debe confundirse con anillo abeliano). Como ejemplo: el conjunto ${\displaystyle P}$ de los números enteros pares con la suma y producto de enteros es un anillo conmutativo no unitario.
• Anillo no conmutativo es aquel en el cual el producto no es conmutativo. Por ejemplo, el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2\times 2}}$ de las matrices reales cuadradas de orden 2, con la suma y producto de matrices es un anillo unitario no conmutativo.

• Anillo unitario: aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del neutro de la suma.

• Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a excepción del 0, tiene inverso.

• Anillo con leyes de simplificación: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificación, y el recíproco también es cierto.

• Dominio de integridad: si un anillo no posee divisores del cero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigir que además se trate de anillos conmutativos y unitarios, pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).

• Cuerpo: se trata de un anillo de división conmutativo.

• Anillo abeliano: es un anillo en el que todo elemento idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.

• Anillo euclídeo⁷​ o dominio euclídeo es un dominio de integridad R junto con una norma euclídea N. El anillo de los enteros, el de los enteros gaussianos y los anilllos de polinomios son ejemplos de dominios euclídeos.

Subsistemas notables[editar]

Subanillos[editar]

Un subanillo ${\displaystyle S}$ de un anillo ${\displaystyle R}$ =(A,+,·) es un subconjunto ${\displaystyle S\subset R}$ que cumple que es cerrado para la suma y la multiplicación en el anillo, esto es, si ${\displaystyle a,b\in S}$, entonces ${\displaystyle a+b\in S}$ y ${\displaystyle a\cdot b\in S}$. Si ${\displaystyle 1\in R}$ (es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigirá además que ${\displaystyle 1\in S}$. Nótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no será subanillo de ${\displaystyle R}$, y sí lo será si ${\displaystyle R}$ no es unitario.

Un subanillo ${\displaystyle S}$ es propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, si ${\displaystyle R\neq S}$.

Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular, ${\displaystyle (S,+)}$ es un subgrupo de ${\displaystyle (R,+)}$.

Ejemplos:

1. ℤ es un subanillo de ℚ; de la misma manera, ℚ es un subanillo de ℝ; y ℝ es un subanillo de ℂ.
2. El conjunto de los números complejos algebraicos es un subanillo de ℂ.

Proposición[editar]

Un subconjunto K de un anillo A es subanillo de A si y solamente si

1. K es subgrupo aditivo de A.
2. De x, y elementos de K se colige que xy elemento de K.⁸​

Ideales[editar]

De mucho mayor interés en teoría de anillos son los ideales, puesto que no sólo son cerrados respecto de la multiplicación respecto de los elementos del ideal, sino también cuando un elemento del ideal se multiplica por cualquier elemento del anillo:

• Un subconjunto ${\displaystyle I\subset R}$ es ideal por la izquierda de un anillo (A,+,·) si ${\displaystyle (I,+)}$ es subgrupo de ${\displaystyle (R,+)}$ y dados cualesquiera ${\displaystyle r\in R}$ y ${\displaystyle x\in I}$ se tiene que ${\displaystyle r\cdot x\in I}$.

• Un subconjunto ${\displaystyle I\subset R}$ es ideal por la derecha de un anillo (A,+,·) si ${\displaystyle (I,+)}$ es subgrupo de ${\displaystyle (R,+)}$ y dados cualesquiera ${\displaystyle r\in R}$ y ${\displaystyle x\in I}$ se tiene que ${\displaystyle x\cdot r\in I}$.

Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal bilátero, o simplemente ideal. La propiedad conmutativa asegura que en los anillos conmutativos todo ideal por la izquierda lo es también por la derecha, y todo ideal por la derecha es ideal por la izquierda, esto es, todos los ideales (por la izquierda o por la derecha) de un anillo conmutativo son ideales biláteros.

Un ideal no tiene por qué ser necesariamente un subanillo. Un ideal ${\displaystyle I}$ se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es, ${\displaystyle I\neq R}$.

Unidades[editar]

El conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario ${\displaystyle (R,+,\cdot ,1_{R})}$, llamados unidades de R, forma un gruporespecto de la multiplicación del anillo, que recibe el nombre de grupo de unidades de R, denotado ${\displaystyle U(R)}$.

Si ${\displaystyle I}$ es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio de un anillo unitario ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle U(R)}$ es el grupo de unidades de R, entonces ${\displaystyle I\cap U(R)=\varnothing }$, esto es, ningún ideal propio tiene elementos invertibles. En particular, ningún ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos de anillos unitarios.

Por ejemplo, las unidades del anillo de los enteros son 1 y -1 (isomorfo al grupo de dos elementos), y el grupo de unidades de las matrices cuadradas de orden n es el grupo lineal general de orden n, que contiene a las matrices con determinante distinto de 0.

Centro[editar]

El centro de un anillo ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ (denotado por ${\displaystyle Z(R)}$) es el conjunto de elementos que conmutan para el producto, es decir ${\displaystyle Z(R):=\{r\in R:r\cdot s=s\cdot r,\forall s\in R\}}$. El centro de un anillo viene a ser como "la parte conmutativa del anillo". Nótese que siempre se tiene que ${\displaystyle 0\in Z(R)}$. Los anillos conmutativos son aquellos que coinciden con su centro, i.e., ${\displaystyle R=Z(R)}$.

Por ejemplo, el centro del anillo de las matrices cuadradas de orden n está constituido únicamente por las matrices escalares, aquellas que son iguales a la matriz identidad multiplicada por un escalar..