ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra asociativa es un módulo que también permite la multiplicación de vectores de manera distributiva y asociativa.

Definición general[editar]

Sean ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ y ${\displaystyle (S,+,\cdot )}$ dos anillos unitarios, y ${\displaystyle f:R\longrightarrow S}$ un homomorfismo entre anillos unitarios (es decir, un homomorfismo de anillos de manera que ${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$). Definimos la operación externa:

${\displaystyle {\begin{matrix}*:&R\times S&\longrightarrow &S\\&(r,s)&\mapsto &f(r)\cdot s\\\end{matrix}}}$

Esta operación ${\displaystyle *}$ dota al grupo abeliano ${\displaystyle (S,+)}$ de estructura de ${\displaystyle R}$-módulo por la izquierda. Esta operación es, además, compatible con el producto ${\displaystyle \cdot }$ del anillo ${\displaystyle S}$ en el siguiente sentido: dados ${\displaystyle a,b,\alpha \in S}$, se tiene que ${\displaystyle \alpha *(a\cdot b)=(\alpha *a)\cdot b}$.

Caso especial en el que el anillo es un cuerpo[editar]

Si tenemos un cuerpo ${\displaystyle K}$, un anillo ${\displaystyle R}$ y un homomorfismo unitario de anillos ${\displaystyle f:K\longrightarrow R}$, tenemos entonces que ${\displaystyle Kerf=0}$, luego ${\displaystyle f}$ es monomorfismo y podemos considerar que ${\displaystyle K}$ es un subanillo de ${\displaystyle R}$ (mediante el primer teorema de isomorfía, ${\displaystyle K}$ es isomorfo a un subanillo de ${\displaystyle R}$). Un álgebra asociativa sobre un cuerpo K, entonces, puede definirse de manera equivalente como un espacio vectorial sobre K junto con una multiplicación K-bilineal A x A -> A (donde la imagen de (x, y) se escribe como xy) tal que la ley asociativa valga:

• (x y) z = x (y z) para todo x, y y z en A.

La bilinealidad de la multiplicación se puede expresar como

• (x + y) z = x z + y z; para todo x, y, z en A,

• x (y + z) = x y + x z; para todo x, y, z en A,

• a (x y) = (a x) y = x (a y); para todo x, y en A y a en K.

Si A contiene un elemento identidad, es decir un elemento 1 tales que 1x = x1 = x para todo x en A, entonces llamamos a A un álgebra asociativa con uno o unitaria (o unital). Tal álgebra es un anillo y contiene una copia del cuerpo de base K en la forma {a1: a en K}.

La dimensión del álgebra asociativa sobre el cuerpo K es su dimensión como espacio K-vectorial.

Ejemplos[editar]

• Las matrices cuadradas n-por-n con las entradas del cuerpo K forman un álgebra asociativa unitaria sobre K.

• Los números complejos forman un álgebra asociativa unitaria de 2 dimensiones sobre los números reales.

• Los cuaterniones forman un álgebra asociativa unitaria 4-dimensional sobre los reales (pero no un álgebra sobre los números complejos, puesto que los números complejos no conmutan con los cuaterniones).

• Los polinomios con coeficientes reales forman un álgebra asociativa unitaria sobre los reales.

• Dado cualquier espacio de Banach X, los operadores lineales continuos (AB): X → ABX forman un álgebra asociativa unitaria (que usa la composición de operadores como multiplicación); esto es de hecho un álgebra de Banach.

• Dado cualquier espacio topológico X, las funciones continuas valoradas en los reales (o los complejos) en Xforman un álgebra asociativa unitaria real (o compleja); aquí sumamos y multiplicamos las funciones punto a punto.

• Un ejemplo de un álgebra asociativa no unitaria viene dado por el conjunto de todas las funciones f: R -> Rcuyo límite cuando x se acerca a infinito es cero.

• Las álgebras de Clifford son útiles en geometría y física.

• Las álgebras de incidencia de conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos son álgebras asociativas unitarias son consideradas en combinatoria.

Homomorfismos de álgebra[editar]

Si A y B son álgebras asociativas sobre el mismo anillo R un homomorfismo de álgebras h: A -> B es un homomorfismo de R-módulos que también es multiplicativa en el sentido que h(xy) = h(x) h(y) para todo x, y en A. Con esta noción de morfismo, la clase de todas las álgebras asociativas sobre R se convierte en una categoría.

Tome por ejemplo el álgebra A de todas las funciones continuas real-valuadas ${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$, y el B = ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ambos son álgebras sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$, y la función que asigna a cada función continua ${\displaystyle f}$ el número ${\displaystyle f(0)}$ (evaluación en 0) es un homomorfismo de álgebras de A a B.

Coálgebras[editar]

Un álgebra asociativa unitaria sobre R se basa en un morfismo A x A→ A que tiene 2 entradas (multiplicador y multiplicando) y una salida (el producto), así como un morfismo R→A que identificaba los múltiplos escalares de la identidad multiplicativa. Estos dos morfismos pueden ser dualizados con dualidad categorial invirtiendo todas las flechas en los diagramas conmutativos que describen los axiomas del álgebra; esto define una estructura de coálgebra.

álgebra conmutativa es el campo de estudio de los anillos conmutativos, sus ideales, módulos y álgebras. Es una materia fundacional tanto para la geometría algebraica como para la teoría algebraica de números.

Se considera que el fundador real de la materia, en la época en la que se llamaba teoría de ideales, es David Hilbert. Parece que él piensa sobre ella (alrededor del 1900) como un enfoque alternativo a la entonces de moda teoría de funciones complejas. Este enfoque sigue cierta "línea" de pensamiento que considera que los aspectos computacionales son secundarios respecto a los estructurales. El concepto adicional de módulo, presentado de alguna manera en el trabajo de Kronecker, es técnicamente un paso adelante si lo comparamos con trabajar siempre directamente en el caso especial de los ideales. Este cambio se atribuye a la influencia de Emmy Noether.

Dado el concepto de esquema, el álgebra conmutativa es pensada, comprendida, de forma razonable, bien como la teoría local o bien como la teoría afín de la geometría algebraica.

El estudio general de anillos sin requerir conmutatividad se conoce como álgebra no conmutativa; es materia de la teoría de anillos, de la teoría de la representación y también de otras áreas como la teoría de las álgebras de Banach.

álgebra cuántica afín (o grupo afín cuántico) es un álgebra de Hopf que cumple ser una q-deformación del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie afín. Fueron introducidas de forma independiente por Drinfeld (1985) y Jimbo (1985) como un caso particular de su construcción general de un grupo cuántico de una matriz de Cartan. Una de sus principales aplicaciones ha sido a la teoría de modelos de red resolubles en mecánica cuántica estadística, donde la ecuación de Yang-Baxter ocurre con un parámetro espectral. Los aspectos combinatorios de la teoría de representación de álgebras cuánticas afines se puede describir simplemente utilizando bases cristalográficas, lo que se corresponde con el caso degenerado en el que el parámetro de deformación q se cancela y el hamiltoniano del modelo de red asociado no se puede diagonalizar explícitamente.

 álgebra de Banach es un espacio de Banach que además es un álgebra sobre un cuerpo. Las álgebras de Banach aparecen en el análisis funcional.

Las siguientes secciones definen axiomáticamente las álgebras de Banach.

Axiomas[editar]

Un álgebra compleja es un espacio vectorial A sobre el cuerpo complejo C en el que está definida una multiplicación que satisface

a1. Asociativa u(vt)= (uv)t

a2. Distributiva (u + v)t = ut + vt, u(v + t) = uv + ut

a3. Asociativa mixta α(uv) = (αu)v= u(αv)

donde u, v, t son elementos arbitrarios de A y α un escalar cualquiera. Cuando, asimismo, A es un espacio de Banach respecto de una norma que cumple:

a4. ||uv|| ≤ ||u|| ||v|| (u ∈ A, v ∈ A).

a5. Y si A contiene un elemento unidad tal que ue = eu = u (u ∈ A).

a6. Finalmente, ||e|| = 1,

A se llama álgebra de Banach.

Ejemplo[editar]

• Sea C(K) el espacio de Banach de todas las funciones complejas sobre un espacio de Hausdorff compacto no vacío con la norma del supremo. Se define la múltiplicación de manera usual :

${\displaystyle (gh)(q)=g(q)h(q)\,}$

Ello hace a C(K) un álgebra de Banach conmutativa; el elemento unidad es la función constante 1.

Usos[editar]

Los espacios de Banach, lo mismo que las álgebras de Banach, se utilizan en la solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Su estudio se realiza en las áreas de ingeniería, economía, física y en la propia matemática.

álgebra de Jordan es un álgebra sobre un cuerpo (no necesariamente asociativa) cuya multiplicación satisface los siguientes axiomas:

1. ${\displaystyle xy=yx}$ (ley conmutativa)
2. ${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$ (Identidad de Jordan).

El producto de los elementos x e y en un álgebra de Jordan álgebra se escribe como x ∘ y, para evitar una confusión con el producto relacionado a un álgebra asociativa.

Las álgebras de Jordan fueron introducidas inicialmente por Pascual Jordan (1933) para formalizar la noción de un álgebra de observables en mecánica cuántica.