ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - MEDIA

La mediala es una medida estadística de dispersión que nos define la observación a partir de la cual divide lo observado en dos partes iguales.

La mediala (Md o Ml) se usa principalmente para variables continuas agrupadas en intervalos.

Definición matemática[editar]

La mediala viene definida a partir de los cálculos necesarios para la curva de Lorenz, de manera que es el valor de la variable para el cual Qi es igual a 0,5 siendo:

${\displaystyle Q_{i}={\frac {(X_{i}*n_{i})+(X_{i-1}*n_{i-1})+(X_{i-2}*n_{i-2})+{...}+(X_{1}*n_{1})}{SumaTotalX_{i}}}}$

Si al calcular los valores de Qi tenemos uno exactamente igual a 0,5, la mediala será el extremo superior del intervalo. En caso contrario, para un intervalo (i, I] se debe sacar el dato por extrapolación lineal mediante la fórmula

${\displaystyle {\frac {I-i}{Q_{i}-Q_{i-1}}}={\frac {Mediala-i}{0.5-Q_{i-1}}}}$

Con lo que:

${\displaystyle MEDIALA=Md=i+{\frac {(I-i)*(0.5-Q_{i-1})}{Q_{i}-Q_{i-1}}}}$

Propiedades[editar]

La mediala siempre es mayor o igual que la mediana.

En caso de que una distribución esté completamente equidistribuida, la mediala y la mediana serán iguales.

Ejemplos[editar]

Ejemplo explicativo:

Si estamos realizando una encuesta sobre los salarios de una empresa, la mediala será aquel valor que si sumamos todos los sueldos de los empleados que cobran por debajo de la mediala supondrá la mitad de los que la empresa se gasta en salarios.

Ejemplo numérico:

La empresa Salaitos y Cojines S.A. siempre ha presumido de tener una política de sueldos a favor de los empleados, sin que sus directivos cobren grandes sueldos. Una compañía que mide la felicidad de los trabajadores ha decidido comprobar este punto de los estatutos de Salaitos y Cojines S.A., para ello ha realizado una encuesta entre los trabajadores de todas las categorías de la empresa, obteniendo los siguientes datos una vez ordenados y calculados los descriptivos:

SALARIO		${\displaystyle n_{i}}$	${\displaystyle N_{i}}$	${\displaystyle f_{i}}$	${\displaystyle F_{i}}$	${\displaystyle X_{i}*n_{i}}$	${\displaystyle u_{i}}$	${\displaystyle Q_{i}}$
Intervalo	${\displaystyle X_{i}}$		${\displaystyle n_{i}+N_{i-1}}$	${\displaystyle {\frac {n_{i}}{N}}}$	${\displaystyle f_{i}+f_{i-1}}$		${\displaystyle (X_{i}*n_{i})+u_{i-1}}$	${\displaystyle {\frac {u_{i}}{SumaTotalx_{i}}}}$
500- 600	550	3	3	0,1	0,1	1650	1650	0,04
601 - 700	650	2	5	0,07	0,17	1300	2950	0,06
701 - 800	750	3	8	0,1	0,27	2250	5200	0,11
801 - 900	850	4	12	0,13	0,4	3400	8600	0,18
901 - 1000	950	3	15	0,1	0,5	2850	11450	0,24
1001-1100	1050	4	19	0,13	0,63	4200	15650	0,33
1101-1200	1150	5	24	0,17	0,8	5750	21400	0,46
1201-1500	1350	2	26	0,07	0,87	2700	24100	0,51
1501-8000	4750	3	29	0,1	0,97	14250	38350	0,82
8001-9000	8500	1	30	0,03	1	8500	46850	1

Según la definición sabemos que la mediala se encuentra en el intervalo (1200-1500], pero a no ser el valor exactamente 0,5 debemos hacer una interpolación lineal:

${\displaystyle Md={\frac {(I-i)*(0.5-Q_{i-1})}{Q_{i}-Q_{i-1}}}=}$ ${\displaystyle ={\frac {(1500-1200)*(0.5-0.46)}{0.51-0.46}}=1440}$

Es decir, la suma de los salarios de aquellas personas que cobran 1.440 € o menos suponen aproximadamente la mitad de lo que la empresa se gasta en salarios mensualmente.

Un corolario de esto es que cuatro empleados (el número de personas que se encuentran por encima del intervalo de los 1.440 €) cobran la mitad de lo que se gasta la empresa en sueldos.

Con esto podemos decir que la empresa Salaitos y Cojines S.A. no cumple su supuesta política de sueldos.'

mediana (del latín mediānus 'del medio'¹​) representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Visualización geométrica de la moda, la mediana y de la media de una función arbitraria de densidad de probabilidad.

Cálculo[editar]

Cálculo de la mediana:

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Mediana = 5

3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12 Me = 9,5

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

A continuación veamos cada una de ellas:

Datos sin agrupar[editar]

Sean ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}}$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como ${\displaystyle M_{e}}$, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición ${\displaystyle (n+1)/2}$ una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: ${\displaystyle M_{e}=x_{(n+1)/2}}$.

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$ => El valor central es el tercero: ${\displaystyle x_{(5+1)/2}=x_{3}=7}$. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$) y otros dos por encima de él (${\displaystyle x_{4}}$, ${\displaystyle x_{5}}$).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando ${\displaystyle n}$ es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones ${\displaystyle n/2}$ y ${\displaystyle (n/2)+1}$. Es decir: ${\displaystyle M_{e}=(x_{\frac {n}{2}}+x_{{\frac {n}{2}}+1})/2}$.

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$, ${\displaystyle x_{6}=10}$. Aquí dos valores que están por debajo del ${\displaystyle x_{\frac {6}{2}}=x_{3}=7}$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato ${\displaystyle x_{{\frac {6}{2}}+1}=x_{4}=8}$. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: ${\displaystyle M_{e}={\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}={\frac {7+8}{2}}=7,5}$.

Datos agrupados[editar]

Al tratar con datos agrupados, si ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$ coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

${\displaystyle {\frac {N_{i}-N_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{p}}\Rightarrow p={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{N_{i}-N_{i-1}}}(a_{i}-a_{i-1})}$

Donde ${\displaystyle N_{i}}$ y ${\displaystyle N_{i-1}}$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que ${\displaystyle N_{i-1}<{\frac {n}{2}}$, ${\displaystyle a_{i-1}}$ y ${\displaystyle a_{i}}$ son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y ${\displaystyle M_{e}=a_{i-1}+p}$ es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que ${\displaystyle a_{i}-a_{i-1}}$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Ejemplos para datos sin agrupar[editar]

Ejemplo 1: cantidad (N) impar de datos[editar]

xi	fi	Ni
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	8	21 > 19,5
6	9	30
7	3	33
8	4	37
9	2	39

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas ${\displaystyle N_{i}}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, se obtiene ${\displaystyle X(39+1)/2=X20}$.

• Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19,5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19,5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo 2: cantidad (N) par de datos[editar]

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	6	9	4	4	2

xi	fi	Ni+w
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	6	19 = 19
6	9	28
7	4	32
8	4	36
9	2	38

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas ${\displaystyle N_{i}}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene la siguiente fórmula: ${\displaystyle X=n/2==>X=(38/2)=>X=19}$ (Donde n= 38 alumnos divididos entre dos).

• Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más.

Método de cálculo general[editar]

xi	fi	Ni
[x11-x12]	f1	N1
.	.	.
.	.	.
.	.	N(i-2)
[x(i-1)1-x(i-1)2]	f(i-1)	f(i-1)-N(i-2)=${\displaystyle N_{i-1}}$
[xi1-xi2]	${\displaystyle f_{i}}$	fi-Ni-1=Ni
[x(i+1)1-x(i+1)2]	f(i+1)	f(i+1)-Ni=N(i+1)
.	.	.
.	.	.
.	.
[xM1-xM2]	fM	fM-N(M-1)=NM

Consideramos:

- x₁₁ valor mínimo< Entonces:

${\displaystyle Mediana=x_{i1}+\left({\cfrac {(N_{M}/2)-N_{i-1}}{f_{i}}}\right).(x_{i2}-x_{i1})}$

donde:

${\displaystyle x_{i1}}$ = es el límite inferior de la clase de la mediana.

${\displaystyle ({\cfrac {N_{M}}{2}})}$ = es la posición de la mediana.

${\displaystyle N_{i-1}}$ = es la frecuencia acumulada de la clase premediana.

${\displaystyle f_{i}}$ = es la frecuencia absoluta de la clase de la mediana.

${\displaystyle (x_{i2}-x_{i1})}$ = ${\displaystyle A_{i}}$ = Amplitud del intervalo de la clase de la mediana.