ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - MEDIA

media heroniana H^{[cita requerida]} de dos números reales no negativos A y B se expresa como:

${\displaystyle H={\frac {1}{3}}(A+{\sqrt {AB}}+B)\,.}$

Recibe su nombre de Herón de Alejandría, y se usa para calcular el volumen de un tronco de pirámide o de cono. El volumen es igual al producto de la altura del tronco por la media heroniana de las áreas de las dos caras paralelas que forman sus bases.

La media heroriana de dos números A y B es una media ponderada de su media aritmética y su media geométrica:

${\displaystyle H={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {A+B}{2}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\sqrt {AB}}\,.}$

 media ponderada es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación (peso) para luego sumarlos, obteniendo así una suma ponderada; después se divide esta entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada.

Definición matemática[editar]

Para una serie de datos numéricos no vacía:

${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},x_{3}...,x_{n}\}\,}$

a la que corresponden los pesos:

${\displaystyle W=\{w_{1},w_{2},w_{3},...,w_{n}\}\,}$

la media ponderada se calcula de la siguiente manera:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+x_{3}w_{3}+...+x_{n}w_{n}}{w_{1}+w_{2}+w_{3}+...+w_{n}}}}$

Ejemplo[editar]

Se puede usar una media ponderada para calcular la nota final de un curso escolar, en donde se asigna distinta importancia (peso) a los distintos exámenes que se realicen. Por ejemplo, los dos primeros exámenes tienen un peso o valor de 30% y 20% respectivamente, y el último del 50%; las calificaciones respectivas son de 6.4, 9.2 y 8.1, entonces la nota final corresponde a la siguiente media ponderada:

Datos: ${\displaystyle X=\{6.4,9.2,8.1\}\,}$

Pesos: ${\displaystyle W=\{0.3,0.2,0.5\}\,}$

Media Ponderada: ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {6.4\cdot 0.3+9.2\cdot 0.2+8.1\cdot 0.5}{0.3+0.2+0.5}}=7.81\,}$

Métrica definida por los pesos[editar]

Con la métrica que definen los pesos, la media ponderada se comporta geométricamente igual que sin ponderar, quedando definida por el pie de la perpendicular desde x a la recta <(1, 1, ... , 1)>. La perpendicular desde x a la recta <(1, 1, ... , 1)> cae en ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {x}},...,{\bar {x}})}$.

La fórmula siguiente es válida para la media con o sin ponderación, la diferencia es la métrica considerada.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x\cdot (1,1,...,1)}{(1,1,...,1)\cdot (1,1,...,1)}}}$

Analogía[editar]

Si se consideran ${\displaystyle n}$ puntos diferentes en el plano, con sus respectivas masas, es posible hallar un punto, llamado baricentro, que representa la masa promedio.

La media ponderada (MP) es una medida de centralización. Consiste en otorgar a cada observación del conjunto de datos (X₁,X₂,…,X_N) unos pesos (p₁,p₂,…,p_N) según la importancia de cada elemento.

Cuanto más grande sea el peso de un elemento, más importante se considera que es éste.

La media ponderada tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo, la nota de una asignatura donde el examen final tiene un peso mayor al de un trabajo. O en el cálculo del IPC (Índice de Precios de Consumo). El IPC es un indicador de los precios de los bienes y servicios básicos que consume la población. Para calcularlo, se otorga pesos a los diferentes bienes (pan, fruta, vivienda,…) y se calcula la media ponderada.

La media aritmética es un caso particular de media ponderada, en la que todos los pesos son uno, ya que a todos los elementos se les otorga la misma importancia.

Ejercicio

ANUNCIOS

La nota final de una asignatura es una media ponderada de las notas que han obtenido los alumnos en los cuatro elementos evaluables que determina el profesor. El responsable de la asignatura otorga un peso de 3 al examen inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al trabajo final y 4 al examen final. Las notas de un alumno han sido las siguientes:

Se hace la suma de los productos de las notas por el peso de cada nota y se divide por la suma de los pesos.

La nota final del alumno en esta asignatura es de 6,14. Se puede ver en el siguiente gráfico como la nota es muy próxima a las notas sacadas en los exámenes. Esto es a causa de que los exámenes eran más importantes y tenían unos pesos mucho mayores que los de los trabajos.

https://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/media-ponderada/

f-media generalizada o media cuasi-aritmética es una generalización del concepto de media que generaliza tanto a la media aritmética, como la media geométrica, la media cuadrática o la media armónica, por medio de una función ${\displaystyle f}$.

También recibe el nombrde de media de Kolmogorov en honor al científico ruso Andrey Kolmogorov.

Definición[editar]

Sea una función ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ que es continua e inyectiva entonces se define la f-media de dos números como:

${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I,}$ como ${\displaystyle M_{f}(x_{1},x_{2})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}\right)}$

Para n números:

${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$, su f-media es ${\displaystyle M_{f}x=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}$

La f-media está bien definida gracias a que se ha requerido que f sea inyectiva para asegurar que existe la función inversa ${\displaystyle f^{-1}}$. Además puesto que ${\displaystyle f}$ está definida en un intervalo, ${\displaystyle {\frac {f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}}}$ estará en el dominio de ${\displaystyle f^{-1}}$.

Puesto que f es inyectiva y continua, se deduce que f es estrictamente monótona, y por tanto que la f-media está entre el máximo y el mínimo del conjunto de datos:

${\displaystyle \min\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}\leq f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)\leq \max\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}}$