CÁLCULO

INTEGRALES

regularización de Hadamard (también llamada parte finita de Hadamard) es un método de regularización de integrales divergentes en el cual se eliminan ciertos términos divergentes de la integral para quedarnos con resultado finito. Este método fue introducido por el matemático francés Jacques Hadamard en 1923. Riesz mostró que este procedimiento puede interpretarse como tomar como resultado de la integral divergente la extensión analítica de una integral convergente.

Si el valor principal de Cauchy de la integral:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt}$

existe, entonces la parte finita de Hadamard puede definirse como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt.}$

También puede calcularse a partir de la definición:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt-{\frac {2f(x)}{\varepsilon }}\right\}.}$

Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.

Sólido de revolución (Matemateca Ime-Usp)

Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que es contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del planoalrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos[editar]

Sólidos en reposo

Sólidos giratoria, formación de la revolución de sólidos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Rotación paralela al eje (x)[editar]

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}([f(x)-K]^{2}-[g(x)-K]^{2})\,dx}$

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y = f(x), y = 0, x = a y x = b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}[f]^{2}(x)\,dx}$ método de discos.

Ambas expresiones se deducen de que al hacer girar un área formada por innumerables rectángulos de base dxy altura f(x), alrededor del eje X, se forman discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el volumen de todo el sólido. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como si fuera una moneda acomodada verticalmente, es decir, V=Πr²h donde el radio de la base del cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen del cilindro resulta ser V = πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenes parciales, es el volumen total que resulta en la expresión:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,{\text{d}}x}$

Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor (R) menos el volumen menor (r)

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}([R(x)]^{2}-[r(x)]^{2})\,dx}$

Pero si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: y=K, entonces la expresión resultante es (siempre que K

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}([f(x)-K]^{2}-[g(x)-K]^{2})\,dx}$

en el caso en el que K>X, es decir la recta y=K que se encuentre debajo de las funciones, se debe aplicar:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}([K-f(x)]^{2}-[K-g(x)]^{2})\,dx}$

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)[editar]

Éste es otro método permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b], con f(x) > g(x) en el intervalo [a,b].Alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula generaldel volumen de estos sólidos es:

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}(x-k)[f(x)-g(x)]\,dx}$

Nótese que ${\displaystyle x-k>0}$, por ende, esta fórmula funciona si la recta se encuentra a la izquierda de la región Rcomprendida entre las curvas f(x) y g(x), para que nuestra integral sea positiva.

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}$ (método de cilindros o capas)

teorema de la convergencia dominada también conocido como el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue es uno de los principales teoremas que involucran la integral de Lebesgue. Tiene grandes aplicaciones en la construcción de espacios funcionales como el espacio ${\displaystyle L^{p}}$.

Teorema[editar]

Sea ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ una sucesión de funciones integrables, la cual converge puntualmente a una función medible ${\displaystyle f}$. Si existe una función ${\displaystyle g}$ integrable cumpliendo que para todo ${\displaystyle n}$ se da la desigualdad ${\displaystyle |f_{n}|\leq g}$; entonces la función ${\displaystyle f}$es integrable con ${\displaystyle \int fd\mu =\lim \int f_{n}d\mu .}$

El teorema de Robbins, nombrado en honor al matemático estadounidense Herbert Robbins que lo estableció en 1939, dice:

Una función f es Riemann super-integrable en un intervalo [a, b] si y sólo si es continua en dicho intervalo.

en donde la condición Riemann de super-integrabilidad establece:

Una función real f es Riemann super-integrable en un intervalo [a, b] si existe un número I tal que para toda ε>0 y C>0, existe δ>0 tal que ${\displaystyle \left|I-\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})\right|<\varepsilon }$ para cualquier elección de puntos ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ y ${\displaystyle \xi _{i},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}}$en el intervalo [a, b] que satisfagan ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}-x_{i-1}|\leq C}$, en donde ${\displaystyle x_{0}=a,x_{n}=b}$, ${\displaystyle 0<|x_{i}-x_{i-1}|<\delta }$ y cada ${\displaystyle \xi _{i}}$ está en el intervalo con puntos extremos ${\displaystyle x_{i},x_{i+1}}$ (observando que los puntos no necesariamente están ordenados). valor principal Cauchy, es un método que permite asignar valores a ciertas integrales impropias que si no resultarían indefinidas. Su nombre hace honor al matemático Augustin Louis Cauchy. Definiciones[editar] Dependiendo del tipo de singularidad en la integral, el valor principal de Cauchy se define por las siguientes expresiones: el número finito ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left[\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,{\rm {d}}x\right]}$ donde b es un punto en el cual la función f se comporta de forma tal que ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=\pm \infty }$ para todo a < b y ${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,{\rm {d}}x=\mp \infty }$ para todo c > b (un signo es "+" y el otro es "−"; véase signo más o menos para la utilización precisa de la notación ±, ∓). o el número finito ${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,{\rm {d}}x}$ donde ${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,{\rm {d}}x=\pm \infty }$ y ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}x=\mp \infty }$ (nuevamente véase signo más o menos para una explicación detallada de la notación utilizada ±, ∓). En algunos casos es necesario gestionar simultáneamente singularidades tanto en un número finito b y en infinito. Normalmente para ello se utiliza un límite del tipo ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\int _{b-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\varepsilon }}}f(x)\,{\rm {d}}x~.}$ o en función de integrales de contorno de una función compleja f(z); z = x + iy, con un polo en el contorno. El polo es rodeado con un círculo de radio ε y un trozo del camino fuera de este círculo es designado L(ε). Siempre que la función f(z) es integrable sobre L(ε) sin importar cuan pequeño sea ε, entonces el valor principal de Cauchy es el límite:1​ ${\displaystyle \mathrm {P} \int _{L}f(z)\,{\rm {d}}z=\int _{L}^{*}f(z)\,{\rm {d}}z=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{L(\varepsilon )}f(z)\,{\rm {d}}z~,}$ donde dos de las expresiones más usuales del valor principal de Cauchy aparecen en el lado izquierdo de esta ecuación.